📘 Resumo — Hidráulica I · MAP1 (Aulas 01–11)

Parent project: Hidráulica I · Plano de construção: 0. Plano do Resumo MAP1

Âmbito

O que cobre: toda a matéria do MAP1 de Hidráulica I, que são os PDFs das Aulas 01 a 11: propriedades dos fluidos, hidrostática, hidrocinemática e leis de conservação na forma integral.

Onde está a matéria: esta nota é o hub. A teoria e os exercícios resolvidos estão nas 4 notas de capítulo (ver Notas de capítulo, abaixo); aqui ficam o Mapa da Matéria, a Checklist de Estratégia, a Ordem de ataque e os Erros a evitar.

Livro: a matéria é reforçada com Cardoso, Covas, Ferreira & Almeida, Hidráulica: Fundamentos e Aplicações, Caps. 1–4, e com Quintela, Hidráulica.

MAP1: 28/10/2026, 10h30 · 60 min · só calculadora científica não gráfica.

O que ficou de fora: a matéria que só aparece no livro e não nas aulas (coeficientes $α$ / $β$ , linhas de energia e piezométrica, rendimentos, metacentro e estabilidade, rotação de corpo rígido) e toda a matéria do MAP2.

Resoluções: as marcadas [resolução própria] foram feitas por nós e não são oficiais; as marcadas (resolução do livro) vêm do livro.

Notas-irmãs: 🎯 Guia de Estudo MAP1 · 📐 Formulário MAP1 · Plano de construção

🗺️ Mapa da Matéria

Aula / Capítulo	Tema	Ferramenta central	Nota
Aula 01B · Cap. 1	1. Propriedades dos fluidos	$τ = μ \frac{d u}{d y}$ , $ε$ , $σ$ , $t_{v}$	Cap. 1
Aula 02 · §2.1–2.6	2. Hidrostática: lei fundamental, fluido acelerado, manómetros	$\frac{p}{γ} + z = cte$ ; $\nabla p = ρ (g - a)$	Cap. 2
Aula 03 · §2.7–2.8	3. Impulsão em superfícies planas	$Π = γ h_{0} S$ ; $y^{'} = \frac{I _{G}}{S y _{0}}$	Cap. 2
Aulas 04–05 · §2.9–2.10	4. Arquimedes e superfícies curvas	$Π_{h} = γ h_{0} S_{v}$ ; $Π_{v} = γ \forall$	Cap. 2
Aula 06 · §3.1–3.6	5. Hidrocinemática I: descrição, aceleração, linhas	$\frac{D}{D t} = \frac{\partial}{\partial t} + (u \cdot \nabla)$	Cap. 3
Aula 07 · §3.7–3.10	6. Hidrocinemática II: tubo de fluxo, caudal, classificação	$Q = \int u \cdot n d S$ ; $\nabla \cdot u = 0$ ; $\nabla \times u$	Cap. 3
Aula 08 · §4.1–4.5	7. Conservação da massa e TTR	$\sum \pm ρ_{k} U_{k} S_{k} = 0$	Cap. 4
Aula 09 · §4.6.1	8. Quantidade de movimento (Teorema de Euler)	$G + Π + I + M_{1} - M_{2} = 0$	Cap. 4
Aula 10 · §4.6.2	9. Momento da quantidade de movimento	$Γ_{G} + Γ_{Π} + Γ_{I} + Γ_{M_{1}} - Γ_{M_{2}} = 0$	Cap. 4
Aula 11 · §4.7	10. Energia: carga hidráulica, perdas, máquinas	$H = \frac{p}{γ} + z + \frac{U ^{2}}{2 g}$ ; $P = γ Q H$	Cap. 4

Fio condutor

Tudo começa nas propriedades que distinguem um fluido de um sólido: ele deforma-se continuamente sob qualquer tensão tangencial. Por isso, em repouso só pode haver pressão, e essa pressão cresce linearmente com a profundidade ( $p / γ + z = cte$ ). Daí saem os manómetros, as impulsões sobre superfícies planas e curvas e o princípio de Arquimedes. Quando o fluido se move, descreve-se primeiro o campo de velocidades $u (x, t)$ , de onde vêm a aceleração, as linhas de corrente e trajetórias, o caudal e a classificação do escoamento. Depois aplica-se a um volume de controlo o Teorema de Transporte de Reynolds, com a grandeza transportada igual à massa, à quantidade de movimento, ao momento angular e à energia. Os quatro balanços dão a continuidade, o Teorema de Euler (forças sobre estruturas), os momentos e a carga hidráulica $H$ com as perdas e as potências de turbinas e bombas.

📚 Notas de capítulo

Cap. 1: Propriedades dos fluidos — a Aula 01B e o Cap. 1 do livro (Cardoso et al.); §1 (1.1–1.9): definição de fluido, massa volúmica, compressibilidade, tensão superficial, viscosidade, tensão de vapor e efeito da temperatura.
Cap. 2: Hidrostática — as Aulas 02–05 e o Cap. 2 do livro (§2.1–2.10); §2, §3 e §4: lei fundamental, fluido acelerado, manómetros, impulsão em superfícies planas e curvas e Arquimedes.
Cap. 3: Hidrocinemática — as Aulas 06–07 e o Cap. 3 do livro (§3.1–3.10); §5 e §6: descrições euleriana/lagrangiana, aceleração, trajetórias e linhas de corrente/filamento, caudal, classificação, incompressibilidade e rotação.
Cap. 4: Leis de conservação — as Aulas 08–11 e o Cap. 4 do livro (§4.1–4.7); §7, §8, §9 e §10: TTR e continuidade, Teorema de Euler, momento da quantidade de movimento e energia (carga, perdas, máquinas).

🧭 Checklist de Estratégia

Como usar esta tabela

Lê o enunciado e procura o sinal. A tabela diz que ferramenta usar e onde está a teoria. Num problema de escoamento, a ordem de ataque é quase sempre a mesma: massa → energia → Euler (ver o [!tip] a seguir à tabela).

Sintoma no enunciado	Ferramenta	Onde
”duas placas”, “folga”, “lubrificante”, força para arrastar uma placa	Newton $τ = μ d u / d y$ com perfil linear $d u / d y = U / h$ ; $F = τ S$	§1.7
$μ$ dado e pede-se $ν$ (ou o contrário)	$ν = μ / ρ$ (m²/s vs Pa·s)	§1.7
”gota”, “jato”, “bolha”, “sobrepressão no interior”	Laplace: gota $4 σ / D$ , jato $2 σ / D$ , bolha $8 σ / D$	§1.6
”tubo fino”, “subida capilar”, $D < 15$ mm	$δ h = 4 σ cos θ / (γ D)$	§1.6
”comprimido”, “variação de volume/massa volúmica” com $Δ p$	$Δ ρ / ρ \approx Δ p / ε$ , $ε = 2, 2 \times 1 0^{9}$ Pa	§1.5
”pressão mínima”, “cavitação”, “fervura a baixa pressão”	comparar $p_{ab s}$ com $t_{v} (T)$	§1.8
Recipiente/tubo em U acelerado horizontalmente	Euler da hidrostática: isobáricas com $tan β = - a_{x} / g$ ; conservação do volume	§2.2
Pressão num ponto de um líquido em repouso	$p / γ + z = cte$ ; $p = p_{0} + γ h$	§2.3
”absoluta”, “barómetro”, “mmHg”, “m c.a.”	$p_{ab s} = p_{r e l} + p_{a t m}$ ; converter unidades	§2.4
Tubo em U, vários líquidos, “manómetro diferencial”	percorrer o circuito: descer $+ γ Δ z$ , subir $- γ Δ z$	§2.5
Força numa placa/comporta plana com um só líquido	$Π = γ h_{0} S$ ; $y^{'} = I_{G} / (S y_{0})$ + Tabela de $I_{G}$	§3.1–3.3
Placa retangular com o topo e o fundo a cotas conhecidas; braço de momento	diagrama de pressões (trapézio)	§3.4
Gás pressurizado sobre o líquido, ou dois líquidos	superfície livre equivalente ( $γ$ do líquido em contacto) ou diagrama	§3.5
”flutua”, “submerso”, “peso aparente”, “densidade do corpo”	Arquimedes $Π = γ \forall_{im er so}$ + equilíbrio vertical	§4.1
Corpo entre dois líquidos (interface)	$Π = γ_{1} \forall_{1} + γ_{2} \forall_{2}$	§4.2
Comporta/superfície curva	$Π_{h} = γ h_{0} S_{v}$ (projeção) + $Π_{v} = γ \forall$ (real ou fictício)	§4.3
Superfície que “dobra para trás” ou é um arco circular	dividir a superfície; resultante passa pelo centro do arco	§4.4
”força para abrir”, “tensão no cabo”, “reação na articulação”	momentos em torno da articulação; anular a reação do apoio	§4.5
Campo $u (x, y, z, t)$ dado, pede-se a aceleração	$a = \partial u / \partial t + (u \cdot \nabla) u$	§5.4
”trajetória”, “posição da partícula que em $t_{0}$ estava em…”	EDO $d x / d t = u (x, t)$ , $t$ varia; eliminar $t$	§5.5
”linha de corrente no instante $t$ ”	$d x / u = d y / v$ com $t$ fixo	§5.6
”linha de filamento”, “corante injetado”, “fumo”	EDO das trajetórias com os limites trocados	§5.7
Caudal através de uma superfície; “velocidade média”	$Q = \int u \cdot n d S$ ; $U = Q / S$ ; em 2D $q$ (m²/s)	§6.2
”permanente?”, “uniforme?”, “uni/bi/tridimensional?”	$\partial / \partial t = 0$ ?; variação ao longo da linha de corrente?; nº de coordenadas	§6.3
”incompressível?”	$\nabla \cdot u = 0$	§6.4
”rotacional?”, “vorticidade”, “velocidade angular”	$ω = \frac{1}{2} \nabla \times u$ ; $Ω = 2 ω$	§6.5
”reservatório a esvaziar”, “tempo para…”, " $d h / d t$ "	continuidade em regime variável (Vc fixo ou deformável)	§7.4, §7.6
Ramificação, junção, “caudal noutro ramo”, mistura	$\sum (\pm) ρ_{k} U_{k} S_{k} = 0$ ; $Q_{1} = Q_{2} + Q_{3}$	§7.5
”força sobre a curva/bifurcação/bocal/placa”	Teorema de Euler $G + Π + I + M_{1} - M_{2} = 0$ ; $F = - R$	§8.3, §9.1
Canal com “ressalto”, “comporta”, “soleira”	Euler com impulsões hidrostáticas $γ B h^{2} /2$	§8.4
”pá/carro/placa a mover-se com velocidade $u_{s}$ “	Vc móvel com velocidades relativas $u_{r} = u - u_{s}$	§8.5
”binário”, “momento na base/no apoio”, “aspersor”, “torniquete”	Teorema dos momentos $Γ_{G} + Γ_{Π} + Γ_{I} + Γ_{M_{1}} - Γ_{M_{2}} = 0$	§9.2–9.4
Rotor a girar livremente, “velocidade de rotação”	velocidade absoluta $u = W - ω r$ ; massa com $W$	§9.4
”pressão a jusante”, “sentido do escoamento”, “carga”	$H = p / γ + z + U^{2} /2 g$ nas duas secções	§10.3
”perda de carga”, “perda unitária”, “potência dissipada”	$Δ H = H_{1} - H_{2}$ ; $J = Δ H / L$ ; $P = γ Q Δ H$	§10.4
”turbina”, “bomba”, “potência”, “altura de elevação”	$H_{u} = H_{1} - H_{2}$ , $H_{t} = H_{2} - H_{1}$ ; $P_{h} = γ Q H$	§10.5
Máquina numa conduta e força no invólucro	energia (dá $p_{2}$ ) e depois Euler (dá a força)	§10.6

Ordem de ataque num problema de escoamento

Volume de controlo: desenha-o com as secções de entrada/saída perpendiculares ao escoamento e marca a normal exterior (§7.1).

Massa: tira as velocidades a partir dos caudais ( $U = Q / S$ ) e fecha os caudais em falta (§7.5).

Energia: com as velocidades, tira as pressões que faltam (ou a potência/perda) pela carga $H$ (§10).

Euler (forças) / momentos (binários): só agora, com $p$ e $U$ conhecidos em todas as secções (§8, §9).

Resposta: força sobre a estrutura $= - R$ , com sentido e unidades; confirma pela carga que os dados são coerentes.

Erros a evitar (lê antes do teste)

Gerais (em todo o teste)

Pressão relativa vs absoluta: não as misturar. Usar as mesmas nas duas secções e o mesmo plano de referência. $t_{v}$ é sempre absoluta; no Teorema de Euler usam-se pressões relativas (jato livre com $p = 0$ ).

$g$ coerente: o curso usa $γ_{w} = 9800$ N/m³ ( $g = 9, 8$ ); não alternar com 9,81 a meio.

$h$ é sempre vertical. $p_{1} - p_{2} = γ h$ só com $ρ$ constante.

Não arredondar áreas nem velocidades quando o resultado vem de uma diferença ( $u_{1}^{2} - u_{2}^{2}$ , $p_{1} S_{1} - p_{2} S_{2}$ ).

Força por cabo/pilar/metro vs total: ler o que o enunciado pede.

Braços medem-se perpendicularmente à linha de ação da força.

§1 Propriedades

Densidade $d$ (adimensional) ≠ massa volúmica $ρ$ (kg/m³).

Gota (esfera, uma superfície): $Δ p = 4 σ / D$ ; jato (cilindro, $R_{2} \to \infty$ ): $2 σ / D$ ; bolha (esfera, duas superfícies): $8 σ / D$ . Não trocar $D$ com $R$ .

Capilaridade: sem $θ$ dado, água/vidro $θ \approx 0$ e Hg $θ \approx 130°$ – $140°$ . Só conta se $D < 15$ mm.

Não confundir $μ$ (Pa·s) com $ν = μ / ρ$ (m²/s); $μ$ depende muito de $T$ .

$d u / d y = U / h$ só vale com perfil linear (folga pequena).

§2 Hidrostática fundamental

Com aceleração, a pressão aumenta para trás (lado oposto a $a$ ); a superfície livre sobe atrás.

Recipiente aberto acelerado: a conservação do volume fixa a superfície livre.

Mesma cota ⇒ mesma pressão só no mesmo fluido contínuo.

Desprezar $γ_{g \overset{a}{ˊ} s} h$ , mas nunca a coluna de um líquido leve (óleo).

Manómetros multi-líquido: seguir o percurso (desce → +, sobe → −), incluindo o óleo.

Meniscos que se deslocam $y$ ⇒ cada desnível varia $2 y$ .

§3 Superfícies planas

$h_{0}$ é a profundidade vertical do centroide; $y_{0}$ e $y^{'}$ medem-se ao longo do plano ( $y_{0} = h_{0} / sin θ$ ).

$I_{G}$ é em relação ao eixo pelo centroide paralelo a Ox (a horizontal do plano).

O centro de impulsão fica sempre abaixo do centroide (exceto em placas horizontais, onde coincidem).

Com gás pressurizado ou 2 líquidos, as fórmulas de um só líquido não servem: diagrama de pressões ou superfície livre equivalente com o $γ$ do líquido em contacto com a placa.

Paradoxo hidrostático: a força no fundo ≠ peso do líquido no recipiente.

§4 Arquimedes e superfícies curvas

$Π_{v}$ : volume fictício ⇒ força para cima. O $h_{0}$ de $Π_{h}$ é o da projeção vertical.

Arquimedes: $γ$ do fluido e volume imerso. Corpo submerso suspenso: $T = (γ_{c} - γ) \forall$ . Corpo assente e vedado no fundo: não há Arquimedes.

Superfície circular: a resultante passa pelo centro (momento nulo se a articulação estiver no centro).

Na abertura de uma comporta, anula-se a reação do apoio, e não a da articulação.

§5 Hidrocinemática I

Linha de corrente: $t$ fixo (é parâmetro). Trajetória: $t$ varia. Em ambas, eliminar $t$ no fim.

Linha de filamento: as EDO das trajetórias com os limites trocados ( $x_{0}$ no instante de emissão $t$ ; $x$ no instante de observação $t_{0}$ ).

Permanente ⇒ as 3 linhas coincidem; o recíproco é falso (Ex 3.12).

Permanente não implica aceleração nula: a convectiva pode existir.

Aceleração convectiva: todos os termos $u \partial_{x} + v \partial_{y} + w \partial_{z}$ em cada componente.

§6 Hidrocinemática II

Uniforme (espaço) ≠ permanente (tempo); são independentes. Uma só grandeza constante no tempo não prova regime permanente (reservatório a esvaziar).

Secção reta (normal às linhas de corrente, pode ser curva) ≠ secção transversal (plana, ⊥ ao eixo).

Só a componente normal transporta caudal: $d Q = u cos α d S$ , com $α$ medido à normal. Em 2D o caudal é por metro ( $q$ , m²/s).

Vorticidade $Ω = 2 ω$ . Componente $z$ do rotacional: $\partial v / \partial x - \partial u / \partial y$ (não trocar a ordem).

Irrotacional ≠ trajetórias retas (Couette: rotacional com trajetórias retas; vórtice livre e Prob 3.3: irrotacionais com trajetórias curvas).

$\nabla \cdot u$ usa só as derivadas diagonais; cuidado com sinais ( $\partial (- y z) / \partial z = - y$ ).

§7 Massa e TTR

Normal exterior: − nas entradas, + nas saídas. Só a componente normal transporta massa.

Vc móvel: o caudal usa $u_{r}$ , não $u$ .

Com dois fluidos, massa ≠ volume: são duas equações.

Esvaziamento: $u_{1} = - d h / d t$ ; $h$ mede-se ao eixo do orifício; $u \propto 1/ D^{2}$ .

§8 Quantidade de movimento

$M_{k}$ tem o sentido de $u_{k}$ . Desenhar $M_{1}$ , $- M_{2}$ e $p_{k} S_{k}$ todos para dentro do Vc.

$F = - R$ . Um $R$ negativo só inverte o sentido arbitrado.

Uma válvula/comporta fechada é parede (entra em $R$ , não tem $M$ ).

Uma entrada perpendicular a x não traz quantidade de movimento em x, mas conta na massa.

Projetar cada vetor com cos/sin. Regime permanente ⇒ $I = 0$ .

Referencial móvel só é inercial com $u_{s}$ constante; no referencial fixo, a saída tem $u_{s} i$ .

Num canal, a impulsão numa secção é $γ B h^{2} /2$ (centro de gravidade a $h /2$ ).

§9 Momento angular

Com O no eixo: $Γ_{M_{1}}$ com + e $Γ_{M_{2}}$ com −. Só a componente tangencial dá momento.

Torniquete: a massa usa a velocidade relativa $W$ ; a q.d.m. usa a absoluta $u_{2} = W - ω r$ .

rpm → rad/s: $ω = 2 π N /60$ .

§10 Energia

$e$ (J/kg) ≠ $H$ (m). Sinais de $d W_{v} / d t$ : turbina +, bomba −.

O sentido do escoamento decide-se pela carga, não pela pressão. Numa contração, comparar cargas.

$P_{h} = γ Q H$ é a potência hidráulica (sem rendimentos); a dissipação interna da máquina soma-se.

O binário do veio não dá força axial.

$J = Δ H / L$ (adimensional) ≠ $d E_{T} / d x$ .

📎 Recursos

Ficheiros da cadeira

Livro: Cardoso et al. — Hidráulica: Fundamentos e Aplicações

Programa: ProgramaDisciplina_26-27

Aulas: 01B · 02 · 03 · 04 · 05 · 06 · 07 · 08 · 09 · 10 · 11

MAPs anteriores (para o Guia de Estudo): 2025-26 Enunciado · resoluções P1 · P2 · P3 · 2024-25 Enunciado · resoluções P1 · P3

Extrações das aulas (fonte do Resumo): A · Aulas 01B–02 · B · Aulas 03–05 · C · Aulas 06–07 · D · Aulas 08–09 · E · Aulas 10–11 · F · Laboratório · G · Índice do livro

Notas relacionadas (Dataview)

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