1.1 Resumo HI - Propriedades

📘 Resumo — Hidráulica I · Cap. 1: Propriedades dos fluidos

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Âmbito

O que cobre: a Aula 01B e o Cap. 1 do livro (Cardoso et al.), isto é, as secções §1 (1.1–1.9) do Resumo MAP1: definição de fluido, massa volúmica, compressibilidade, tensão superficial, viscosidade, tensão de vapor e efeito da temperatura.

Ligações: Hub do Resumo MAP1 (Mapa da Matéria, Checklist de Estratégia e Erros a evitar) · ← (primeiro capítulo) · Cap. 2: Hidrostática →

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💧 1. Propriedades dos fluidos (Aula 01B · Cap. 1)

1.1 Sólidos, líquidos, gases e definição de fluido

Ideia

O que separa os três estados é a distância média entre moléculas, $\ell$, comparada com o tamanho da molécula, ${\ell }_0$ (para a água, ${\ell }_0\approx 10^{-10}$ m). Quanto maior $\ell /{\ell }_0$, mais fracas são as forças de coesão e mais compressível é a matéria.

• Um sólido resiste a uma força tangencial: deforma-se um pouco e para, num novo equilíbrio.
• Um fluido não resiste: enquanto houver tensão tangencial, continua a deformar-se. É isto que define um fluido. Daí a consequência central da Hidrostática: em repouso, um fluido só pode ter pressão, porque qualquer $\tau \ne 0$ o poria em movimento.

Armadilha

• Errata do slide 6: a lei de Hooke aparece como "$\epsilon =E\sigma$". O correto é $\sigma =E\epsilon$ (ou $\epsilon =\sigma /E$).
• O símbolo $\epsilon$ tem dois significados nesta aula: extensão (slide 6, Hooke) e módulo de elasticidade volumétrica (slide 11, ver 1.5). Em Hidráulica, $\epsilon$ é quase sempre o segundo.
• “Líquido = incompressível” é uma aproximação, não uma propriedade: falha no golpe de aríete e a grandes profundidades oceânicas. E os gases podem comportar-se como compressíveis ou como incompressíveis.

Estados da matéria e definição de fluido (Cardoso et al., §1.1 e §1.3)

Estado	$\ell$ vs ${\ell }_0$	Comportamento
Sólido	$\ell <{\ell }_0$ ou $\ell \approx {\ell }_0$	Forças de atração muito fortes; moléculas em posições fixas; forma própria
Líquido	$\ell =O({\ell }_0)$	As moléculas não escapam do conjunto: volume bem definido, mas compressível; toma a forma do recipiente; comporta-se, geralmente, como incompressível
Gás	$\ell \gg {\ell }_0$	Forças intermoleculares desprezáveis; muito compressível (mas pode comportar-se como incompressível)

Fluido: substância que se deforma continuamente quando sujeita a uma tensão tangencial $\tau$, por mais pequena que esta seja. Não oferece resistência estática ao corte.

• Sólido (elástico): deforma-se até atingir um novo equilíbrio. Abaixo do regime plástico, a deformação é proporcional à tensão (Hooke, $\sigma =E\epsilon$) e o sólido recupera a forma quando a força é retirada.
• Fluido: deforma-se continuamente enquanto a força atuar (figura das placas: as linhas inclinam-se cada vez mais em $t_0<t_1<t_2$). Para cada fluido há uma relação bem definida entre $\tau$ e a velocidade de deformação $d\theta /dt$; essa relação é a viscosidade (1.7).
• Consequências (livro): um fluido não tem forma própria, e um fluido em repouso não consegue manter descontinuidades nem “buracos” na superfície.

Quando usar

Em perguntas conceptuais como “porque é que um fluido em repouso não tem tensões tangenciais?” ou “pode tratar-se este líquido/gás como incompressível?”. A resposta parte sempre da definição de fluido: deformação contínua sob qualquer $\tau$.

1.2 Fluido como meio contínuo; tensões e pressão

Ideia

Ao engenheiro interessa o comportamento médio (macroscópico) de enormes quantidades de moléculas, não o de cada uma. Por isso trata-se o fluido como um meio contínuo: cada ponto tem um valor de $\rho$, $p$, $\vec{u}$, … Para isso, o “volume-ponto” tem de ter moléculas suficientes para a média estabilizar, mas tem de ser minúsculo face ao escoamento:

• volume demasiado pequeno → poucas moléculas → $\rho$ oscila (incerteza microscópica);
• volume demasiado grande → o fluido pode ser heterogéneo (incerteza macroscópica);
• entre os dois há um patamar, cujo limite inferior é $\delta {\forall }^{\ast }\approx 10^{-9}$ mm³. O livro chama partícula de fluido a um volume desta ordem, com cerca de 1 µm de lado.

Armadilha

• Pressão mecânica e pressão termodinâmica só coincidem em repouso (ou em movimento de corpo rígido), quando as três tensões normais são iguais. Em movimento podem diferir; isso é tratado no Cap. 5 do livro (fora do MAP1).
• A pressão é um escalar e é puramente compressiva: não tem direção. A força de pressão é que tem direção, a da normal à superfície.
• Sinal: os slides escrevem $\bar{p}=\frac{1}{3}({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33})$, tomando as tensões normais como compressões positivas. Com a convenção de Resistência de Materiais (tração positiva), escreve-se com um ”−”, como abaixo. O significado é o mesmo: a pressão é a média das tensões normais de compressão.

Hipótese do contínuo, tensões e pressão (Cardoso et al., §1.2)

Validade: a menor dimensão característica do escoamento tem de ser muito superior à trajetória média livre das moléculas (ordem de grandeza $\ell$). Exemplo: no ar à pressão atmosférica há $2\times 10^8$ moléculas num cubo de 2 µm de lado, e a trajetória média livre é de 0,05 µm. $\rho ={\lim }_{\delta \forall \to \delta {\forall }^{\ast }}\frac{\delta m}{\delta \forall },\delta {\forall }^{\ast }\approx 10^{-9}{\text{mm}}^3$ Uma força elementar $\delta \vec{F}$ sobre uma superfície $\delta S$ de normal $\vec{n}$ decompõe-se numa parte normal e numa tangencial: $\underset{\text{tensa˜o normal}}{\underbrace{{\sigma }_n=\frac{\delta F_n}{\delta S}}}\underset{\text{tensa˜o tangencial}}{\underbrace{\tau ={\sigma }_t=\frac{\delta F_t}{\delta S}}}\sigma ={\lim }_{\delta S\to 0}\frac{\delta F}{\delta S}=\frac{dF}{dS}[\text{Pa}={\text{N/m}}^2]$ $\underset{\text{pressa˜o mecaˆnica (qualquer estado)}}{\underbrace{\bar{p}=-\frac{1}{3}\left({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}\right)}}\underset{\text{pressa˜o termodinaˆmica (fluido em repouso)}}{\underbrace{p=-{\sigma }_{11}=-{\sigma }_{22}=-{\sigma }_{33}}}$

• Em repouso, a pressão é independente da direção e puramente compressiva.
• Origem física (livro): a força do fluido sobre uma parede é a resultante da variação da quantidade de movimento das moléculas que nela embatem. Generaliza-se a qualquer ponto interior com uma “fronteira virtual”.
• Pressão atmosférica normal = pressão do ar a 20 °C ao nível médio do mar; os slides e o livro usam $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa.

Quando usar

Justifica que se descreva o fluido por campos contínuos ($\rho (\vec{x})$, $p(\vec{x})$, …), que é o que se faz em toda a matéria seguinte. Pergunta conceptual típica: “quando falha a hipótese do contínuo?” → quando a dimensão do escoamento se aproxima da trajetória média livre (gases muito rarefeitos, canais microscópicos).

1.3 Sistema material, propriedades extensivas e intensivas, unidades

Ideia

Um sistema material é uma porção de fluido “marcada com corante” (imagem do livro): pode deslocar-se, mudar de forma e de volume, mas é sempre a mesma matéria. É esta ideia que, no §7, dá o Teorema de Transporte de Reynolds. As propriedades de um sistema dividem-se num teste simples: se cortar o sistema ao meio, a propriedade passa a metade? Se sim, é extensiva; se não, é intensiva.

Armadilha

• O peso é extensivo, mas o peso volúmico é intensivo. Dividir uma grandeza extensiva pela massa ou pelo volume dá uma intensiva.
• Valor de $g$: os slides usam $g=9,8$ m/s² (${\gamma }_{\text{aˊgua}}=9800$ N/m³); o livro usa $g=9,81$ ($\gamma =9810$). Usar o valor da aula (ou o do enunciado) e mantê-lo em todo o problema.

Definições e sistema MLT (Cardoso et al., §1.4 e §1.5)

• Sistema material: porção de matéria fluida suficiente para representar o meio contínuo; pode deslocar-se e mudar de forma e de volume ao longo do tempo.
• Propriedades extensivas: proporcionais à massa total do sistema (ex.: energia, peso).
• Propriedades intensivas: independentes da quantidade de massa (ex.: massa volúmica, pressão, temperatura).

SI = sistema MLT(Θ), com as grandezas fundamentais massa M (kg), comprimento L (m), tempo T (s) e temperatura Θ (K). Dimensões das grandezas desta secção:

Grandeza	Símbolo	Dimensões	Unidade SI
Massa volúmica	$\rho$	$M{L}^{-3}$	kg/m³
Peso volúmico	$\gamma$	$M{L}^{-2}{T}^{-2}$	N/m³
Pressão, tensão, $\epsilon$	$p,\tau ,\epsilon$	$M{L}^{-1}{T}^{-2}$	Pa = N/m²
Tensão superficial	$\sigma$	$M{T}^{-2}$	N/m
Viscosidade dinâmica	$\mu$	$M{L}^{-1}{T}^{-1}$	Pa·s = kg m⁻¹ s⁻¹
Viscosidade cinemática	$\nu$	$L^2{T}^{-1}$	m²/s

Prefixos (livro): escolhem-se de modo que o valor numérico fique entre 0,1 e 1000 (ex.: $3\times 10^6$ N = 3 MN). O número de casas decimais deve corresponder à precisão garantida pelos dados.

Quando usar

Verificação dimensional no fim de cada exercício: se o resultado de uma pressão não sair em $M{L}^{-1}{T}^{-2}$ (Pa), há um erro na fórmula. É uma verificação de 10 segundos que apanha muitos erros de unidades no teste.

1.4 Massa volúmica, peso volúmico e densidade

Ideia

Três maneiras de dizer “quão pesado é o fluido”:

• $\rho$ diz quanta massa cabe num m³;
• $\gamma =\rho g$ diz quanto pesa um m³, e é esta a grandeza que entra na Hidrostática;
• $d$ diz quantas vezes o fluido é mais pesado do que a água a 4 °C.

Os enunciados quase sempre dão a densidade (óleo $d=0,85$, mercúrio $d=13,6$), e o primeiro passo é convertê-la em $\gamma =d{\gamma }_{\text{aˊgua}}$.

Armadilha

• Densidade ≠ massa volúmica. Em inglês, density é $\rho$; em português, densidade é o $d$ adimensional.
• $\rho$, $\gamma$ e $d$ variam muito pouco com a temperatura (água: 1000 kg/m³ a 4 °C → 958 kg/m³ a 100 °C). Na prática usa-se 1000 kg/m³ e 9800 N/m³.

$\rho$, $\gamma$ e $d$ (Cardoso et al., §1.6.1)

$\underset{[{\text{kg/m}}^3]}{\underbrace{\rho =\frac{m}{\forall }}}\underset{[{\text{N/m}}^3]}{\underbrace{\gamma =\frac{mg}{\forall }=\rho g}}\underset{[-]}{\underbrace{d=\frac{{\rho }_{\text{fluido}}}{{\rho }_{\text{aˊgua},4°C}}=\frac{{\gamma }_{\text{fluido}}}{{\gamma }_{\text{aˊgua},4°C}}}}$

• $\forall$ = volume (notação da cadeira). Se $\rho$ variar no espaço: $\rho =\frac{dm}{d\forall }$ e $m={\int }_{\forall }\rho d\forall$; se for constante, $m=\rho \forall$.

Fluido	$\rho$ (kg/m³)	$\gamma$ (N/m³)	$d$
Água (4 °C)	1000	9800 (slides) · 9810 (livro)	1
Ar (20 °C)	1,204	≈ 11,8	≈ 0,0012
Mercúrio (20 °C)	13 600	≈ 133 280	13,6

Passos para obter o peso volúmico de um fluido

1. Ler a densidade $d$ do enunciado.
2. $\gamma =d{\gamma }_{\text{aˊgua}}=d\times 9800$ N/m³.
3. Se for pedida a massa volúmica: $\rho =d\times 1000$ kg/m³.

Quando usar

Sempre que o enunciado dá “óleo de densidade 0,9”, “mercúrio ($d=13,6$)”, etc. É o primeiro passo de todos os problemas de manómetros (§2).

Exercício resolvido (Cardoso et al., §1.6.1)

Quantas vezes é a água (4 °C) mais pesada do que o ar (20 °C), por unidade de volume? Use $g=9,81$ m/s².

Resolução passo-a-passo

1. Peso volúmico do ar: ${\gamma }_{ar}={\rho }_{ar}g=1,204\times 9,81=11,8$ N/m³. 2. Razão: $\frac{{\gamma }_{\text{aˊgua}}}{{\gamma }_{ar}}=\frac{9810}{11,8}\approx \boxed{830}$ (resolução do livro)

Lição

O ar pesa cerca de 830 vezes menos do que a água. É por isso que, nos manómetros e reservatórios, se despreza o peso das colunas de gás (${\gamma }_{g\acute{a}s}h\approx 0$, §2).

1.5 Compressibilidade e módulo de elasticidade volumétrica

Ideia

O módulo $\epsilon$ é a “rigidez” do fluido à compressão, o análogo do módulo de Young $E$ para variações de volume. Quanto maior $\epsilon$, mais pressão é preciso para comprimir o fluido:

• água: $\epsilon =2,2$ GPa, logo para variar 1 % a sua massa volúmica são precisos 22 MPa ≈ 220 atmosferas → na prática é incompressível;
• gases: $\epsilon$ é igual à pressão a que estão sujeitos (ar: $\epsilon \approx 1,01\times 10^5$ Pa), cerca de 20 000 vezes menos rígidos do que a água → compressíveis.

Armadilha

• O sinal ”−”: um aumento de $p$ provoca uma diminuição de volume ($d\forall /dp<0$). O ”−” na definição garante $\alpha >0$ e $\epsilon >0$. Na forma com $\rho$ não há sinal, porque $\rho$ aumenta com $p$.
• As definições são a temperatura constante.
• $\epsilon$ e $\alpha$ variam muito pouco com a temperatura (água: 2,04 GPa a 0 °C, 2,2 a 20 °C, máximo 2,3 a 50 °C, 2,07 a 100 °C).

Coeficiente de compressibilidade e módulo $\epsilon$ (Cardoso et al., §1.6.2)

$\underset{\text{coef. de compressibilidade }[{\text{Pa}}^{-1}]}{\underbrace{\alpha =-\frac{1}{\forall }{\left(\frac{d\forall }{dp}\right)}_{\Theta }}}\underset{\text{moˊdulo de elasticidade volumeˊtrica }[\text{Pa}]}{\underbrace{\epsilon =\frac{1}{\alpha }=-\forall {\left(\frac{dp}{d\forall }\right)}_{\Theta }}}$ Forma com $\rho$. A massa é constante: $m=\rho \forall =\text{cte}\Rightarrow \rho d\forall +\forall d\rho =0\Rightarrow \frac{d\forall }{\forall }=-\frac{d\rho }{\rho }$. Substituindo: $\epsilon =\rho {\left(\frac{dp}{d\rho }\right)}_{\Theta }⟹\frac{\Delta \rho }{\rho }\approx \frac{\Delta p}{\epsilon }(\text{variac¸o˜es pequenas})$

• Valores: ${\epsilon }_{\text{aˊgua},20°C}=2,20\times 10^9$ N/m²; ${\epsilon }_{ar}\approx 1,01\times 10^5$ N/m².
• Exceções à incompressibilidade dos líquidos: golpe de aríete; aumento de $\rho$ a grandes profundidades oceânicas.
• Nota do livro: a velocidade do som num fluido é $c=\sqrt{\epsilon /\rho }$; na água a 20 °C, $c\approx 1450$ m/s.

Passos para estimar uma variação de massa volúmica

1. Identificar o acréscimo de pressão $\Delta p$ (e a pressão inicial, se o acréscimo vier em %).
2. Se $\Delta p\ll \epsilon$: $\Delta \rho \approx \rho \Delta p/\epsilon$.
3. Forma exata, integrando $d\rho /\rho =dp/\epsilon$: $\Delta \rho =\rho \left(e^{\Delta p/\epsilon }-1\right)$.
4. Concluir se o fluido pode ou não ser tratado como incompressível.

Quando usar

Sinais no enunciado: “variação da massa volúmica”, “aumento de pressão de X %”, “pode a água ser considerada incompressível?”, ou a menção de $\epsilon =2,2\times 10^9$ Pa.

Exercício resolvido (Ex 1.1 do livro)

Água à pressão atmosférica normal tem $\rho =998$ kg/m³ e $\epsilon =2,20\times 10^9$ N/m². Calcule o aumento de massa volúmica correspondente a um aumento de pressão de 100 %.

Resolução passo-a-passo

1. Acréscimo de pressão: de $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa para $2p_{atm}$, logo $\Delta p=1,012\times 10^5$ Pa. 2. Integrar $\epsilon =\rho dp/d\rho$: ${\int }_{\rho }^{\rho +\Delta \rho }\frac{d\rho }{\rho }={\int }_p^{2p}\frac{dp}{\epsilon }\Rightarrow \ln \left(1+\frac{\Delta \rho }{\rho }\right)=\frac{p}{\epsilon }=\frac{1,012\times 10^5}{2,2\times 10^9}=4,6\times 10^{-5}$ 3. Resultado: $\Delta \rho =\rho \left(e^{p/\epsilon }-1\right)=998\times 4,6\times 10^{-5}\Rightarrow \boxed{\Delta \rho \approx 0,046{\text{kg/m}}^3}(<0,005\%)$ (resolução do livro)

Lição

Duplicar a pressão altera a massa volúmica da água em menos de 0,005 %. É esta a justificação numérica para tratar a água como incompressível em quase toda a Hidráulica. Como $\Delta p\ll \epsilon$, a forma linearizada $\Delta \rho /\rho \approx \Delta p/\epsilon$ dá o mesmo resultado.

1.6 Tensão superficial e capilaridade

Ideia

Uma molécula no interior do líquido é puxada igualmente em todas as direções pelas vizinhas (coesão em equilíbrio). Uma molécula à superfície só tem vizinhas líquidas de um lado. O desequilíbrio entre coesão (entre moléculas iguais) e aderência (entre meios diferentes) deixa a superfície tracionada, e ela comporta-se como uma membrana tendida.

• Uma membrana curva tendida aperta o que está dentro dela. Por isso, a pressão é maior do lado côncavo (dentro de uma gota). É a equação de Laplace.
• Junto a uma parede sólida, a “membrana” agarra-se à parede (água: aderência > coesão) e puxa a coluna de líquido para cima. Se a coesão ganhar (mercúrio), a coluna desce. Isto é a capilaridade.
• A tensão superficial explica também a agulha de aço a flutuar, os insetos que andam sobre a água e a forma das gotas e bolhas.

Armadilha

• Gota vs bolha: uma gota tem uma interface, $p_i=4\sigma /D$. Uma bolha (película de água com ar dos dois lados) tem duas, $p_i=8\sigma /D$ (Prob 1.1).
• As fórmulas usam o diâmetro $D$; com o raio, $4\sigma /D=2\sigma /R$. Não trocar.
• Se $\theta$ não for dado: água em vidro limpo, $\theta \approx 0°$ ($\cos \theta =1$); mercúrio, $\theta \approx 180°$ (livro). Os slides só dizem $\theta >90°$.
• Na Hidráulica despreza-se a capilaridade em tubos com $D>15$ mm (para $D=15$ mm, $\delta h\approx 2$ mm). Abaixo disso não é desprezável, por exemplo em piezómetros finos e em solos granulares finos.
• $\sigma$ diminui com a temperatura (água: 0,0736 N/m a 20 °C → 0,060 N/m a 100 °C).

Tensão superficial, Laplace e capilaridade (Cardoso et al., §1.6.3)

Tensão superficial $\sigma$: força tangencial à interface, aplicada na linha de fronteira, por unidade de comprimento [N/m].

• ${\sigma }_{\text{aˊgua-ar},20°C}=0,0736$ N/m; ${\sigma }_{\text{mercuˊrio-ar},20°C}=0,48$ N/m.

Equação de (Young-)Laplace. O equilíbrio de um elemento $\delta S=\delta {\ell }_1\delta {\ell }_2$ da interface curva, com raios principais $R_1$ e $R_2$, dá: $\Delta p=\underset{\text{salto de pressa˜o}}{\underbrace{p_{\text{coˆncavo}}-p_{\text{convexo}}}}=\sigma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\{\begin{array}{ll}\text{esfera }(R_1=R_2=R):& \Delta p=\frac{2\sigma }{R}=\frac{4\sigma }{D}\\ \text{cilindro }(R_2\to \infty ):& \Delta p=\frac{\sigma }{R}\end{array}$ Capilaridade: fenómeno associado às tensões superficiais em interfaces líquido-sólido. O ângulo de contacto $\theta$ decide o sentido:

	Coesão vs aderência	$\theta$	Menisco	Coluna
Água	coesão < aderência (“molha”)	$<90°$	côncavo	sobe
Mercúrio	coesão > aderência (“não molha”)	$>90°$	convexo	desce

O equilíbrio vertical da coluna (força de tensão superficial no perímetro $\pi D$ = peso da coluna) dá: $\underset{\text{tensa˜o superficial}}{\underbrace{\sigma \pi D\cos \theta }}=\underset{\text{peso da coluna}}{\underbrace{\gamma \frac{\pi D^2}{4}\delta h}}⟹\delta h=\frac{4\sigma \cos \theta }{\gamma D}$ (despreza-se o volume do menisco). Com $\theta >90°$, $\cos \theta <0$ e $\delta h<0$: é uma depressão.

Passos para problemas de tensão superficial

1. Isolar um corpo: meia gota ou meia bolha (corte pelo plano diametral), a coluna capilar, ou a agulha.
2. Força de tensão superficial = $\sigma$ × comprimento da linha de contacto × (cos do ângulo, para tirar a componente útil). Numa bolha, contar as duas interfaces.
3. Equilibrar com a força de pressão (pressão × área projetada no plano de corte) ou com o peso.
4. Resolver em ordem à incógnita e verificar as unidades (σ em N/m).

Quando usar

Sinais no enunciado: “gota”, “bolha”, “tubo capilar”, “diâmetro de 1 mm”, “ascensão/depressão capilar”, “agulha que flutua”, ou um valor de $\sigma$ (0,0736 N/m) nos dados.

Exercício resolvido (Ex 1.2 do livro / Aula 01B)

Calcule a pressão no interior de uma gota de água esférica com 1 mm de diâmetro. A ação da gravidade é desprezável (ou o peso é equilibrado por uma ação externa); $\sigma =0,0736$ N/m; a pressão exterior é nula.

Resolução passo-a-passo

1. Corpo livre: meia gota, cortada pelo plano diametral. No círculo de corte atua a pressão interior $p_i$; ao longo do perímetro $\pi D$ atua a tensão superficial $\sigma$, que segura o hemisfério. 2. Equilíbrio segundo a normal ao plano de corte: $p_i\frac{\pi D^2}{4}-\sigma \pi D=0\Rightarrow p_i=\frac{4\sigma }{D}$ 3. Valor: $p_i=\frac{4\times 0,0736}{0,001}\Rightarrow \boxed{p_i=294,4\text{Pa}}(\text{pressa˜o relativa aˋ exterior})$ Verificação: Laplace com $R_1=R_2=D/2$ dá $\Delta p=2\sigma /R=4\sigma /D$. ✔ (resolução do livro)

Lição

O corte pelo plano diametral transforma um problema 3D num equilíbrio de forças simples: pressão × área projetada = σ × perímetro. Quanto mais pequena a gota, maior a pressão interior ($\propto 1/D$).

Exercício resolvido (Ex 1.3 do livro / Aula 01B)

Calcule a subida capilar $\delta h$ da água num tubo de vidro com $D=1$ mm, sabendo que $\sigma =0,0736$ N/m e $\gamma =9800$ N/m³. O ângulo $\theta$ não é dado.

Resolução passo-a-passo

1. Ângulo de contacto: água em vidro limpo → $\theta \approx 0°$, $\cos \theta \approx 1$. 2. Equilíbrio vertical da coluna elevada: $\sigma \pi D\cos \theta =\gamma \frac{\pi D^2}{4}\delta h\Rightarrow \delta h=\frac{4\sigma \cos \theta }{\gamma D}$ 3. Valor: $\delta h=\frac{4\times 0,0736}{9800\times 0,001}=\frac{0,2944}{9,8}\Rightarrow \boxed{\delta h\approx 0,030\text{m}=30\text{mm}}$ (resolução do livro) O livro usa $\gamma =9792$ N/m³ (água a 20 °C) e obtém $h=0,0301$ m. 4. Variante do livro (mercúrio): $d=13,6$, $\sigma =0,48$ N/m, $\theta \approx 180°$ → a coluna desce $h=\frac{4\times 0,48}{13,6\times 9810\times 0,001}=0,0144$ m.

Lição

Num tubo de 1 mm a água sobe 3 cm, o que é enorme face ao diâmetro. Como $\delta h\propto 1/D$, para $D=15$ mm já só sobe ~2 mm. Daqui vem a regra “capilaridade desprezável para $D>15$ mm”. Num piezómetro fino, a leitura viria errada por este valor.

Exercício resolvido (Prob 1.1 do livro)

Determine a sobrepressão $p_i$ no interior de uma bolha de água (película fina com ar dos dois lados) de diâmetro $D$, relativamente à atmosfera. Despreze a gravidade e a espessura da película.

Resolução passo-a-passo

1. Duas interfaces: a película tem uma superfície interior e uma exterior, ambas com raio ≈ $D/2$ (espessura desprezável). Cada uma contribui com $\sigma \pi D$ no perímetro de corte. 2. Equilíbrio da meia bolha: $p_i\frac{\pi D^2}{4}=2\sigma \pi D\Rightarrow \boxed{p_i=\frac{8\sigma }{D}}$ 3. Verificação por Laplace: $2\times \frac{2\sigma }{R}=\frac{4\sigma }{R}=\frac{8\sigma }{D}$. ✔ [resolução própria], que bate com a solução do livro ($8\sigma /D$).

Lição

Antes de escrever o equilíbrio, contar as interfaces. Uma bolha de sabão tem o dobro da sobrepressão de uma gota com o mesmo diâmetro.

Exercício resolvido (Prob 1.2 do livro)

Uma agulha cilíndrica de diâmetro $D$, comprimento $\ell \gg D$ e densidade $d_a$ é pousada horizontalmente sobre água. Despreze a impulsão. a) Qual é o diâmetro máximo para que não afunde ($\theta =0$)? b) Calcule-o para aço ($d=7,84$) em água a 20 °C.

Resolução passo-a-passo

1. Peso da agulha: $G=d_a\rho g\frac{\pi D^2}{4}\ell$. 2. Tensão superficial: atua ao longo das duas linhas de contacto de comprimento $\ell$ (as pontas desprezam-se, porque $\ell \gg D$). Com $\theta =0$, a força é vertical: $F=2\sigma \ell$. 3. a) Equilíbrio limite $F=G$: $2\sigma \ell =d_a\rho g\frac{\pi D^2}{4}\ell \Rightarrow \boxed{D_{max}=\sqrt{\frac{8\sigma }{\pi d_a\rho g}}}$ 4. b) Valor: $D_{max}=\sqrt{\frac{8\times 0,0736}{\pi \times 7,84\times 9810}}=\sqrt{2,44\times 10^{-6}}\Rightarrow \boxed{D_{max}\approx 1,56\text{mm}}$ [resolução própria]. O livro dá 1,55 mm. A diferença vem do valor de $\sigma$: o livro deve usar ~0,0728 N/m, da sua tabela.

Lição

A tensão superficial só segura objetos pequenos: a força cresce com $\ell$ e o peso com $D^2\ell$, logo há sempre um $D$ máximo. O método é o mesmo da coluna capilar: σ × comprimento de contacto = peso.

1.7 Viscosidade

Ideia

A viscosidade é o atrito interno do fluido. Pense num baralho de cartas empurrado pela carta de cima: cada camada de fluido arrasta a camada de baixo, e a resistência a esse deslizamento é a viscosidade.

• Princípio de aderência (livro): o fluido junto a uma parede sólida cola-se a ela, sem velocidade relativa. Entre uma placa fixa e uma móvel, a velocidade passa de 0 a $U$, e o perfil é linear (escoamento de Couette).
• Num fluido newtoniano (água, ar, óleo), a tensão tangencial é proporcional à rapidez com que o fluido se deforma: duplica-se a velocidade, duplica-se a força.

Armadilha

• $\mu$ e $\nu$ diminuem significativamente com a temperatura (água: $1,73\times 10^{-3}$ Pa·s a 0 °C, $1\times 10^{-3}$ a 20 °C, $0,28\times 10^{-3}$ a 100 °C). Usar o valor da temperatura do enunciado.
• Não confundir $\mu$ [Pa·s] com $\nu =\mu /\rho$ [m²/s].
• $du/dy=U/h$ só se o perfil for linear (o enunciado di-lo). $y$ é a coordenada normal ao escoamento; o livro chama-lhe $z$.
• $\tau$ é uma tensão: a força na placa é $F=\tau S$.

Lei de Newton da viscosidade (Cardoso et al., §1.6.4)

Dedução (livro). Entre duas placas, em $\delta t$ a camada de cima avança mais $\delta \ell =\delta u\delta t$ do que a de baixo. A deformação angular é $\delta \alpha \approx \delta \ell /\delta z$, logo $\frac{d\alpha }{dt}=\frac{du}{dz}$: o gradiente de velocidade é a velocidade de deformação. $\underset{\text{tensa˜o tangencial [Pa]}}{\underbrace{\tau }}=\underset{\text{viscosidade dinaˆmica}}{\underbrace{\mu }}\underset{\text{velocidade de deformac¸a˜o }d\theta /dt[{\text{s}}^{-1}]}{\underbrace{\frac{du}{dy}}}\underset{\text{viscosidade cinemaˊtica}}{\underbrace{\nu =\frac{\mu }{\rho }}}$

• $[\mu ]=M{L}^{-1}{T}^{-1}$ (Pa·s = N s/m² = kg m⁻¹ s⁻¹); $[\nu ]=L^2{T}^{-1}$ (m²/s). O $\nu$ não tem massa nas dimensões, daí o nome cinemática.
• Valores (água, 20 °C): $\mu \approx 1\times 10^{-3}$ Pa·s, $\nu \approx 10^{-6}$ m²/s. A 30 °C, $\mu =0,80\times 10^{-3}$ Pa·s (livro).
• Fluido newtoniano: a tensão tangencial é proporcional à velocidade de deformação, com constante de proporcionalidade $\mu$ (o “coeficiente de viscosidade dinâmica”, ou só “viscosidade”). No gráfico $\tau$ vs $d\theta /dt$ é uma reta pela origem, com inclinação $\mu$: óleo > água > ar.

Fluidos não-newtonianos (slide 17):

Tipo	Curva $\tau$ vs $du/dy$	Exemplo
Newtoniano	reta pela origem	água, ar, óleo
Dilatante (shear thickening)	côncava para cima: fica mais “viscoso” quanto mais depressa se deforma	água + amido de milho
Pseudoplástico (shear thinning)	côncava para baixo: fica mais “fluido”	tinta látex
Plástico de Bingham	reta que só começa depois de uma tensão de cedência	pasta de dentes

Passos para problemas de placas (escoamento de Couette)

1. Perfil de velocidade: se for linear entre $u=0$ (placa fixa) e $u=U$ (placa móvel) à distância $h$, então $du/dy=U/h$.
2. Tensão: $\tau =\mu du/dy$; ou, em ordem a $\mu$: $\mu =\tau /(du/dy)$.
3. Força na placa de área $S$: $F=\tau S$ (somar as faces, se a placa tiver fluido dos dois lados).
4. Viscosidade cinemática, se pedida: $\nu =\mu /\rho$.
5. Várias camadas: cada camada tem o seu perfil linear; a placa móvel em equilíbrio impõe a relação entre as tensões das camadas.

Quando usar

Sinais no enunciado: “placa móvel”, “perfil de velocidade linear”, “fluido viscoso entre placas”, “força por unidade de área”, “calcule a viscosidade”.

Exercício resolvido (Ex 1.4 do livro)

Duas placas paralelas distam 2 mm, com água a 30 °C entre elas ($\mu =0,80\times 10^{-3}$ Pa·s, $\rho =996$ kg/m³). A placa inferior está parada e a superior move-se a 0,30 m/s. A distribuição de velocidades é linear. Calcule a tensão tangencial nas placas.

Resolução passo-a-passo

1. Gradiente de velocidade: $\frac{du}{dz}=\frac{0,30}{0,002}=150{\text{s}}^{-1}$ 2. Lei de Newton: $\tau =\mu \frac{du}{dz}=0,80\times 10^{-3}\times 150\Rightarrow \boxed{\tau =0,12{\text{N/m}}^2}$ (resolução do livro) A massa volúmica não é necessária: é um dado a mais.

Lição

Com o perfil linear, $du/dz$ é constante, e por isso $\tau$ é igual em todo o fluido, também nas duas placas. Os dados que sobram (aqui o $\rho$) são normais: escolhe-se a fórmula primeiro e só depois se vai buscar os dados de que precisa.

Exercício resolvido (Prob 1.3 do livro / Aula 01B)

Um fluido viscoso escoa entre uma placa imóvel (inferior) e uma placa móvel (superior). Na placa superior aplica-se, no sentido do movimento, uma força por unidade de área $\tau =1,5\times 10^{-2}$ Pa. A distribuição vertical da velocidade é linear, a distância entre placas é $h=0,02$ m e a velocidade da placa superior é $u_1=0,1$ m/s. Calcule: a) a viscosidade do fluido; b) a viscosidade cinemática, para $\rho =1300$ kg/m³.

Resolução passo-a-passo

1. Gradiente de velocidade (perfil linear): $\frac{du}{dz}=\frac{u_1}{h}=\frac{0,1}{0,02}=5{\text{s}}^{-1}$ 2. a) Viscosidade dinâmica: $\mu =\frac{\tau }{du/dz}=\frac{1,5\times 10^{-2}}{5}\Rightarrow \boxed{\mu =3,0\times 10^{-3}\text{Pa⋅s}}$ 3. b) Viscosidade cinemática: $\nu =\frac{\mu }{\rho }=\frac{3,0\times 10^{-3}}{1300}\Rightarrow \boxed{\nu =2,31\times 10^{-6}{\text{m}}^2/\text{s}}$ [resolução própria]. ⚠️ O livro imprime “μ = 3,3×10⁻² kg m⁻¹ s⁻¹; ν = 2,54×10⁻⁵ m²/s”. Esses valores são coerentes entre si, mas não batem com os dados do enunciado: é uma gralha do livro. Fica o valor calculado acima.

Lição

É o problema de Couette ao contrário: dá-se a tensão e pede-se $\mu$. Ordem de grandeza: $\mu =3\times 10^{-3}$ Pa·s é cerca de 3 vezes a viscosidade da água, o que é plausível para um líquido com $\rho =1300$ kg/m³.

Exercício resolvido (Prob 1.4 do livro)

Uma placa move-se a velocidade constante $u$ entre duas placas fixas paralelas, sujeita apenas à força $F$. De um lado há uma camada de espessura $h_1$ e viscosidade ${\mu }_1$; do outro, espessura $h_2$ e viscosidade ${\mu }_2$. Os perfis são lineares e as tensões tangenciais nas duas faces da placa móvel são iguais. Que relação existe entre as viscosidades e as espessuras?

Resolução passo-a-passo

1. Tensão em cada camada (perfil linear de 0 a $u$): ${\tau }_1={\mu }_1\frac{u}{h_1},{\tau }_2={\mu }_2\frac{u}{h_2}$ 2. Impor ${\tau }_1={\tau }_2$: $\frac{{\mu }_1}{h_1}=\frac{{\mu }_2}{h_2}\Rightarrow \boxed{\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=\frac{h_1}{h_2}}$ 3. Força: $F=({\tau }_1+{\tau }_2)S=2\tau S$ (as duas faces resistem no mesmo sentido). [resolução própria], que bate com a solução do livro.

Lição

Com várias camadas, escreve-se uma lei de Newton por camada, cada uma com o seu $\mu$ e o seu $h$, e liga-se tudo pelo equilíbrio da placa. O fluido mais viscoso tem de estar na camada mais espessa para dar a mesma tensão.

1.8 Tensão de saturação do vapor e cavitação

Ideia

Um líquido ferve quando a pressão desce até à sua tensão de vapor, e não só quando aquece. A 20 °C a água ferve se a pressão absoluta descer a ~2,3 kPa. Por isso a água ferve abaixo de 100 °C em altitude, e a panela de pressão cozinha mais depressa: a ~2,5 $p_{atm}$, só ferve a 125–130 °C.

Armadilha

$t_v$ é uma pressão absoluta. Para saber se há risco de vaporização, compara-se a pressão absoluta local com $t_v$, e não a relativa. Uma pressão relativa de −9 m c.a. corresponde a uma absoluta de ≈1,3 m c.a. ≈ 13 kPa, que ainda está acima de $t_v$ (2,3 kPa a 20 °C). Ver 2.3.

Tensão de saturação do vapor (Cardoso et al., §1.6.5)

Definição: $t_v$ de um líquido é a pressão para a qual esse líquido passa ao estado gasoso, a uma dada temperatura. Aumenta significativamente com a temperatura (crescimento exponencial).

Temperatura da água	$t_v$
0 °C	610 Pa
~10 °C	≈ $\frac{1}{100}{p}_{atm}$
20 °C	2330 Pa
100 °C	$p_{atm}$ (≈ 1×10⁵ Pa)
120 °C	2,5×10⁵ Pa
125–130 °C	≈ 2,5 $p_{atm}$ (panela de pressão)

Cavitação (livro): quando, num escoamento, a pressão absoluta local desce até $t_v$, formam-se bolhas de vapor. São arrastadas para jusante e colapsam onde a pressão volta a subir. O colapso danifica condutas, válvulas e rodas de turbinas e bombas.

Quando usar

Sinais: pontos altos de sifões, aspiração de bombas, depressões grandes (pressões relativas muito negativas). Verificar sempre que $p_{abs}>t_v$. Aqui fica só a ideia; a análise de cavitação em instalações é matéria posterior ao MAP1.

1.9 Variação das propriedades com a temperatura

Síntese (slides 9–18; tabelas completas na contracapa do livro, que não está na cópia)

Propriedade	Água a 20 °C	Variação com $T$	Valores dos gráficos dos slides
$\rho$, $\gamma$, $d$	1000 kg/m³ (4 °C), 9800 N/m³	muito pouca	$\rho$: 1000 (0 °C) → 958 kg/m³ (100 °C); $d$: 1 → 0,96
$\epsilon$, $\alpha$	$\epsilon =2,2$ GPa	muito pouca	2,04 (0 °C) · 2,2 (20 °C) · 2,3 (50 °C, máx.) · 2,07 GPa (100 °C)
$\sigma$	0,0736 N/m	diminui	0,0736 (20 °C) → 0,060 N/m (100 °C)
$\mu$, $\nu$	$\mu =1\times 10^{-3}$ Pa·s, $\nu \approx 10^{-6}$ m²/s	diminuem significativamente	$\mu$: 1,73×10⁻³ (0 °C) · 1×10⁻³ (20 °C) · 0,28×10⁻³ Pa·s (100 °C)
$t_v$	2330 Pa	aumenta significativamente	610 (0 °C) · 2330 (20 °C) · 1×10⁵ (100 °C) · 2,5×10⁵ Pa (120 °C)

Como usar a tabela

Num teste, a pergunta típica é qualitativa: “o que acontece a X quando a água aquece?”. A mnemónica: a massa e a rigidez quase não mudam; a “pele” e o “atrito” enfraquecem; a vontade de ferver dispara.

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Notas relacionadas (Dataview)

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Recém-modificadas (DataviewJS)

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