Guia-Estudo-HI-MAP1

🎯 Guia de Estudo — Hidráulica I · MAP1

Parent project: Hidráulica I · Resumo: 📘 Resumo — MAP1 (hub)

De onde vem este guia

Provas analisadas: os dois MAP1 anteriores, lidos em imagem (enunciados + resoluções oficiais):

• MAP1 2024-25 (14/03/2025, 18h, 45 min): P1 6 val. · P2 10 val. · P3 4 val. Há resolução oficial do P1 e do P3; a do P2 é [resolução própria].
• MAP1 2025-26 (16/03/2026, 19h, 45 min): P1 4 val. · P2 10 val. · P3 6 val. Há resolução oficial dos três problemas.

Formato de ambos: 3 problemas, 20 valores, cada problema numa folha separada, com um formulário fornecido no enunciado (ver abaixo). As resoluções usam sempre ${\gamma }_{\acute{a}gua}=9800$ N/m³ e $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa.

MAP1 deste ano: 28/10/2026, 10h30 · 60 min · só calculadora científica não gráfica · matéria até à Aula 11 (energia), inclusive.

Notas-irmãs: Resumo (hub) — Cap. 1 · Cap. 2 · Cap. 3 · Cap. 4 · 📐 Formulário MAP1 · Plano de construção

O que muda este ano (e porquê importa)

Os dois MAP1 anteriores foram em março, com 45 min, e só tinham hidrostática + hidrocinemática: nenhuma alínea de leis de conservação. Este ano, o MAP1 tem 60 min e cobre a matéria até à Aula 11.

Inferência (não confirmada): é provável que apareça um problema de leis de conservação (massa + energia, e talvez Euler), além dos três clássicos, ou que um dos três seja trocado por ele. Ver Q4.

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🗺️ Estrutura do MAP1

Q	Tema dominante	Valores 2024-25	Valores 2025-26	Resumo	Probabilidade
Q1	Pressões: absoluta/relativa, vários líquidos, manómetro	6,0	4,0	§2.3–§2.5	Quase certo (2/2)
Q2	Impulsão em superfície curva + momentos (comporta/dique)	10,0	10,0	§4.3–§4.5 (+ §3.3)	Quase certo (2/2), e vale metade da nota
Q3	Hidrocinemática: campo $\vec{u}$ → aceleração, linha de corrente, classificação	4,0	6,0	§5.4, §5.6, §6.3, §6.4	Quase certo (2/2)
Q4	Leis de conservação: massa → energia → Euler	—	—	§7.5, §8.3, §10.3–§10.5	Provável (âmbito novo, sem histórico)
—	Propriedades dos fluidos (viscosidade, capilaridade…)	—	—	Cap. 1	Pouco provável (0/2); quando muito, uma alínea curta

O formulário que vem no enunciado (2024-25 e 2025-26)

• Hidrostática: $\frac{p}{\gamma }+z=\text{cte}$; $\frac{dp}{dz}=-\gamma$; $\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$.
• Impulsões: $\Pi =p_{0}S$; $\Pi =\gamma h_{0}S$; $Y=y_0+\frac{I_{G{G}^{\prime }}}{A{y}_0}$; $\Pi =\gamma \forall$.
• Figuras: retângulo ($bh$, $I_G=b{h}^3/12$); em 2025-26, também o quarto de círculo ($\pi r^2/4$, $I_G=0,0549r^4$, centroide a $0,4244r$ de cada lado reto); em 2024-25, o setor circular ($S=\pi r^2\theta /360$).
• Cinemática: $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$; $\frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{u}$; $\frac{DA}{Dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+u\frac{\partial A}{\partial x}+v\frac{\partial A}{\partial y}+w\frac{\partial A}{\partial z}$; $\nabla \times \vec{u}$ (determinante).

O que NÃO vem (tens de saber de cor): ${\gamma }_{\acute{a}gua}=9800$ N/m³; $\gamma =d{\gamma }_{\acute{a}gua}$; $\nabla \cdot \vec{u}=0$ (incompressível); as definições de permanente/uniforme; e todas as leis de conservação (o formulário pode ser alargado este ano, mas não contes com isso): $\sum \pm \rho US=0$, $H=\frac{p}{\gamma }+z+\frac{U^2}{2g}$, $P=\gamma QH$, $\vec{G}+\vec{\Pi }+\vec{I}+{\vec{M}}_1-{\vec{M}}_2=\vec{0}$.

Estratégia global de tempo (60 min, 20 val.)

1. Lê os 3–4 problemas (2 min) e marca as alíneas que são “de graça”: $p_{rel}=p_{abs}-p_{atm}$, $\gamma =d{\gamma }_{\acute{a}gua}$, $|\vec{u}|$ num ponto.
2. Q1 Pressões primeiro (~8 min): é o mais mecânico e dá confiança.
3. Q3 Cinemática (~10 min): substituições e uma EDO separável; quase nunca há armadilhas de geometria.
4. Q2 Superfície curva (~20–25 min): vale 10 val., por isso guarda-lhe o maior bloco. Faz o desenho com cotas, projeção vertical e volume real/fictício antes de qualquer conta.
5. Q4 Conservação (~15 min, se existir): massa → energia → Euler, pela Ordem de ataque.
6. Cada problema numa folha separada, com nome e número em todas.

Regra das cotações: as resoluções oficiais dão ~⅔ da alínea à expressão certa e ~⅓ ao número. Escreve sempre a fórmula com os símbolos antes de substituir.

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1️⃣ Q1 — Pressões: absoluta/relativa, vários líquidos, manómetros

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem: converter $p_{abs}\leftrightarrow p_{rel}$; exprimir em m c.a.; calcular $\gamma$ de um líquido a partir da densidade; somar colunas de vários líquidos; percorrer um manómetro em U.
• Não pedem: forças em superfícies (isso é a Q2), nem fluido acelerado (§2.2 nunca saiu no MAP1).

A lógica

Tudo sai da lei fundamental $p_2=p_1+\gamma (z_1-z_2)$ aplicada fluido a fluido: dentro de cada líquido contínuo, a pressão cresce $\gamma \Delta h$ ao descer; nas interfaces, a pressão é a mesma dos dois lados. Teoria em §2.3 (lei), §2.4 (referências e unidades) e §2.5 (manómetros). Checklist: linhas “Pressão num ponto”, “absoluta…m c.a.” e “Tubo em U”.

Passos

1. Passa tudo a relativa: $p_{rel}=p_{abs}-p_{atm}$ (com $p_{atm}=101200$ Pa). Superfície livre aberta ⇒ $p_{rel}=0$.
2. Pesos volúmicos: ${\gamma }_i=d_i\cdot 9800$ N/m³ (Hg: $d=13,6$ ⇒ $\gamma =133280$ N/m³).
3. Percorre o caminho do ponto conhecido até ao pedido: desce ⇒ $+\gamma \Delta z$, sobe ⇒ $-\gamma \Delta z$, com o $\gamma$ do líquido em que estás.
4. Gás: despreza o seu peso ⇒ pressão uniforme em todo o gás (a cota dentro do gás não entra).
5. m c.a.: divide por ${\gamma }_{\acute{a}gua}=9800$.

O truque que distingue 4 val. de 2 val.

• Sinal ao subir: em 2024-25 o ponto A está acima da interface 1, por isso $p_A=p_1-{\gamma }_{\acute{a}gua}\cdot 0,40$ (menor). Quem soma perde a alínea de 3 val.
• Distratores de cota: a cota de B dentro do gás (0,60 m) não entra; o escoamento na conduta também não (a distribuição na secção é hidrostática).
• Unidades: $\gamma$ vem em N/m³, não em Pa (a própria resolução oficial de 2024-25 tem esta gralha).

Exemplo real 1 (MAP1 14/03/2025 — P1, 6 val.)

Conduta vertical com água; no ponto A liga-se um manómetro em U com mercúrio ($d=13,6$), fechado do outro lado por um gás sob pressão. No ramo esquerdo, A está 0,40 m acima da interface água/Hg (ponto 1), e 1 está 0,60 m acima do fundo do U. No ramo direito, o Hg sobe até 2, a 1,10 m do fundo; B está no gás, 0,60 m acima de 2. $p_B=220$ kPa (absoluta); $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa. a) (1,5) $p_B$ relativa. b) (1,5) ${\gamma }_{Hg}$. c) (3,0) $p_A$ relativa, em m c.a.

Resolução passo-a-passo (oficial)

a) $p_B=220000-101200=\boxed{118,8\text{kPa}}$ (relativa).

b) ${\gamma }_{Hg}=13,6\times 9800=\boxed{133280{\text{N/m}}^3}$.

c) 1. Gás sem peso: $p_2=p_B=118800$ Pa. 2. Desce no Hg de 2 para 1 ($\Delta z=1,10-0,60=0,50$ m): $p_1=p_2+{\gamma }_{Hg}\cdot 0,50=118800+66640=185440\text{Pa}$ 3. Sobe na água de 1 para A (0,40 m): $p_A=p_1-{\gamma }_{\acute{a}gua}\cdot 0,40=185440-3920=181520\text{Pa}$ 4. Em m c.a.: $\frac{p_A}{\gamma }=\frac{181520}{9800}=\boxed{18,52\text{m c.a.}}$

Lição

Escreve a cadeia $p_A=p_B+{\gamma }_{Hg}(z_2-z_1)-{\gamma }_{\acute{a}gua}(z_A-z_1)$ de uma vez e só depois substitui. A cota dentro do gás é um distrator.

Exemplo real 2 (MAP1 16/03/2026 — P1, 4 val.)

Reservatório aberto com, de cima para baixo: água 0,5 m, líquido A 1,0 m e mercúrio ($d=13,6$) 0,1 m. $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa; pressão no fundo $=150$ kPa (absoluta). a) (1,0) Pressão relativa no fundo, em m c.a. b) (3,0) Densidade do líquido A.

Resolução passo-a-passo (oficial)

a) $p_{rel}=150000-101200=48800$ Pa ⇒ $\frac{48800}{9800}=\boxed{4,98\text{m c.a.}}$

b) Somar as colunas desde a superfície livre ($p_{rel}=0$), com ${\gamma }_i=d_i{\gamma }_{\acute{a}gua}$: $p_{rel}={\gamma }_{\acute{a}gua}\left(h_a+d_A{h}_A+d_{Hg}{h}_{Hg}\right)$ $48800=9800(0,5+1,0d_A+13,6\times 0,1)=4900+9800d_A+13328$ $d_A=\frac{30572}{9800}=\boxed{3,12}$

Lição

Com pressão dada em absoluta, o primeiro gesto é subtrair $p_{atm}$. Depois é só uma soma de ${\gamma }_i{h}_i$. O mercúrio (13 328 Pa) pesa mais do que a água toda (4900 Pa): não o esqueças.

Variantes que já saíram e que podem sair

• Já saíram: o manómetro em U com gás (2024-25) e o reservatório estratificado com a densidade como incógnita (2025-26).
• Podem sair (treina no Resumo): o manómetro diferencial entre dois pontos de uma conduta (§2.5, Ex 2.4 e Prob 2.5 do livro); o barómetro e as unidades (§2.4, Ex 2.2); a pressão absoluta comparada com $t_v$ (cavitação, §1.8).

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2️⃣ Q2 — Impulsão em superfície curva + momentos (comporta / dique)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem (sempre): ${\Pi }_H$ e ${\Pi }_V$ por metro (ou para a largura dada); depois uma pergunta de momentos: o peso mínimo contra o derrube (2025-26) ou o momento no servomotor/articulação (2024-25). Às vezes, o módulo e o ponto de aplicação da resultante.
• Não pedem: integrar pressões. Tudo se faz com a projeção vertical (${\Pi }_H$) e o volume real/fictício (${\Pi }_V$). Também não há subpressão quando a fundação é impermeável (dito no enunciado de 2025-26).

A lógica

• Horizontal: ${\Pi }_H=\gamma h_0{S}_v$ sobre a projeção vertical da parte molhada, aplicada no centro de impulsão dessa projeção ($y^{\prime }=y_0+I_G/(S{y}_0)$; num retângulo que começa na superfície livre fica a ⅓ da altura a contar do fundo).
• Vertical: ${\Pi }_V=\gamma \forall$, com $\forall$ = volume entre a superfície e o plano da superfície livre. Se a água está por cima, é o volume real e a força é para baixo; se está por baixo, é o volume fictício e a força é para cima. Aplica-se no centroide desse volume.
• Momentos: o derrube ou a abertura resolve-se com $\sum M=0$ em torno do ponto de rotação, com os braços perpendiculares às linhas de ação.

Teoria em §4.3 (componentes), §4.4 (arcos circulares: a resultante passa pelo centro), §4.5 (equilíbrio/abertura) e §3.3–§3.4 (centro de impulsão da projeção / diagrama). Checklist: linhas “Comporta/superfície curva”, “arco circular” e “força para abrir”.

Passos

1. Desenha a secção com a superfície livre, as cotas, a parte molhada (exclui o que está enterrado em rocha impermeável ou do lado seco) e o ponto de rotação.
2. ${\Pi }_H$: altura molhada da projeção vertical $a$ ⇒ $h_0$ = profundidade do seu centro ⇒ ${\Pi }_H=\gamma h_0(a\cdot b)$. Linha de ação: a $a/3$ acima da base da projeção (se o topo da projeção estiver na superfície livre); senão, Steiner.
3. ${\Pi }_V$: decompõe o volume em retângulo(s) + quarto(s) de círculo ($\pi R^2/4$, centroide a $4R/3\pi =0,4244R$ de cada lado reto, dado no formulário). Decide o sentido (real ↓ / fictício ↑).
4. Braço de ${\Pi }_V$: centroide composto $\bar{x}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}$, medido a partir do ponto de rotação.
5. Momentos: classifica cada força como estabilizadora ou derrubadora em torno do ponto e escreve $\sum M=0$.
6. Arco circular centrado na articulação? A resultante passa pelo centro ⇒ momento hidrostático nulo (verifica: ${\Pi }_H\cdot b_H={\Pi }_V\cdot b_V$).

O truque que distingue 10 val. de 5 val.

• A parte molhada certa: em 2025-26, o degrau de 0,5 m encostado à rocha não é molhado, mas o braço de ${\Pi }_H$ em relação a A ganha esses +0,5 m.
• O quarto de círculo soma ou subtrai? Depende de que lado está a água em relação ao arco. Desenha o volume antes de escrever $4+\pi /4$ ou $4-\pi /4$, ou $1-\pi /4$.
• Volume até à superfície livre: em 2024-25, a câmara por cima da comporta é seca, mas o volume fictício vai até à superfície livre: retângulo $1\times 2$ + quarto de círculo.
• ${\Pi }_V$ ajuda a estabilizar o dique (empurra a face de montante para baixo, à frente do pé A): não o ponhas do lado derrubador.
• Braços a partir de A: o centroide calcula-se a partir de um lado do volume, e depois converte-se ($b=4-\bar{x}$ em 2025-26).

Exemplo real 1 (MAP1 16/03/2026 — P2, 10 val.)

Dique assente em rocha impermeável, com água a montante (à esquerda). A face de montante tem, de baixo para cima: um degrau vertical de 0,50 m encostado à rocha (não molhado); um arco de quarto de círculo de $R=1$ m (sobe 1 m e avança 1 m); e uma face vertical até ao coroamento. A superfície livre está 4,00 m acima do topo do arco. O pé de jusante é o ponto A, que fica a 4,00 m (na horizontal) do início do arco; o peso do dique está aplicado em G, a 2,00 m de A. a) (6,0) ${\Pi }_H$ e ${\Pi }_V$ por metro. b) (4,0) O peso mínimo do dique para não derrubar em torno de A.

Resolução passo-a-passo (oficial)

a) 1. Horizontal: a projeção vertical molhada mede $4+1=5$ m, com o centro a $h_0=2,5$ m: ${\Pi }_H=\gamma h_{0}S=9800\times 2,5\times 5\times 1=\boxed{122500\text{N/m}}(\to )$ 2. Vertical: o volume de água acima do arco é um retângulo $4\times 1$ mais o quarto de círculo: ${\Pi }_V=\gamma \forall =9800\left(4\times 1+\frac{\pi \cdot 1^2}{4}\right)=\boxed{46897\text{N/m}}(\downarrow )$

b) No limite de derrube, $\sum M_A=0$ (G e ${\Pi }_V$ estabilizam; ${\Pi }_H$ derruba): $G{b}_G+{\Pi }_V{b}_{{\Pi }_V}-{\Pi }_H{b}_{{\Pi }_H}=0$ 1. Braços:

• $b_G=2$ m;
• $b_{{\Pi }_H}=0,5+\frac{5}{3}=2,167$ m (⅓ da altura molhada, mais o degrau);
• $b_{{\Pi }_V}=4-\frac{0,5\times 4+0,4244\times \frac{\pi }{4}}{4+\frac{\pi }{4}}=3,512$ m (centroide composto, medido da vertical do início do arco e convertido para A).

2. Peso mínimo: $G=\frac{122500\times 2,167-46897\times 3,512}{2}\approx \boxed{50,4\text{kN/m}}$ A resolução oficial dá $G=50404,5$ N/m. Refazendo as contas com os mesmos braços, obtém-se $\approx 50350$ N/m: é uma diferença aritmética de ~0,1 % na resolução oficial; o método está certo.

Lição

O derrube é sempre “momentos em torno do pé de jusante”. ${\Pi }_V$ sobre a face de montante é estabilizador. O braço de ${\Pi }_H$ conta-se a partir de A, que fica abaixo da zona molhada.

Exemplo real 2 (MAP1 14/03/2025 — P2, 10 val.)

Descarga de fundo $1,0\times 1,0$ m de um açude. Superfície livre a 3,00 m do fundo. Duas soluções, ambas articuladas em A (1,00 m acima do fundo), com o mesmo peso, e manobradas por um servomotor em A:

• (a) comporta cilíndrica: um quarto de cilindro de $R=1$ m centrado em A, com a água do lado convexo (em baixo/à esquerda) e o interior seco;
• (b) comporta plana: a corda diagonal do mesmo quadrante.

Para a cilíndrica: a) (3,0) ${\Pi }_H$. b) (3,0) ${\Pi }_V$. c) (1,0) O módulo e o ponto de aplicação. d) (3,0) O momento no servomotor é maior, menor ou igual na comporta plana? (qualitativo)

Example

a) A projeção vertical é $1\times 1$, com o centro a $h_0=2,5$ m: ${\Pi }_H=9800\times 2,5\times 1=\boxed{24,5\text{kN}}(\to ),h^{\prime }=2,5+\frac{1/12}{2,5}=2,533\text{m}$ A linha de ação fica 0,533 m abaixo de A.

b) A água está por baixo do arco, logo o volume é fictício e a força é para cima. Esse volume vai do arco até à superfície livre: retângulo $1\times 2$ acima de A + quarto de círculo: ${\Pi }_V=9800\left(2+\frac{\pi }{4}\right)=\boxed{27,3\text{kN}}(\uparrow ),\bar{x}=\frac{2(0,5)+0,785(0,4244)}{2,785}=0,479\text{m aˋ esquerda de A}$

c) $|\vec{\Pi }|=\sqrt{24500^2+27297^2}=\boxed{36,7\text{kN}},\theta =\arctan \frac{27297}{24500}=48,1^{\circ }$ Verificação: $24500\times 0,533=13067$ e $27297\times 0,479=13067$ N·m. Os momentos em A anulam-se, logo a resultante passa por A (as pressões são radiais). Ponto de aplicação no arco: $(-0,668;0,256)$ m, com origem no fundo por baixo de A.

d) Maior na comporta plana.

• Na cilíndrica, a impulsão passa pelo eixo ⇒ momento hidrostático nulo: o servomotor só vence o peso.

• Na plana, a impulsão é normal à placa e aplicada no centro de impulsão, que fica abaixo do centroide ⇒ não passa por A e gera um momento (≈ 1,6 kN·m) que se opõe à abertura.

Lição

Arco circular centrado na articulação ⇒ momento hidrostático nulo. É a razão de ser das comportas de segmento, e é a resposta “qualitativa” que vale 3 val.

Variantes para treinar (todas resolvidas no Resumo)

• Barragem com face inclinada ou triangular: Ex 2.9 (§4.3).
• Cilindro a reter água, ou entre dois líquidos: Prob 2.11 e Ex 2.11 (§4.4).
• Comporta de segmento, abertura e reação: Prob 2.9 e Ex 2.13 (§4.5).
• Comporta plana com momento na articulação: Prob 2.7 (Aula 03) e Ex 2.6 (§3.3); com dois líquidos, Prob 2.10 (§3.5).

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3️⃣ Q3 — Hidrocinemática: campo de velocidades

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem: um campo 2D $\vec{u}(x,y,t)$ e, com ele:
  • $|\vec{u}|$ num ponto;
  • o vetor aceleração num ponto e instante;
  • a linha de corrente que passa num ponto num instante;
  • a incompressibilidade;
  • a classificação (permanente/variável; uniforme/variado).
• Ainda não saiu: trajetória, linha de filamento, rotacional, caudal. O rotacional vem no formulário, por isso pode sair. Treina-os no Resumo (§5.5, §5.7, §6.5).

A lógica

• Aceleração = local + convectiva: $a_x={\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u+v{\partial }_{y}u$, e o mesmo para $a_y$ (§5.4).
• Linha de corrente: $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$ com $t$ fixo; separa as variáveis, integra com logaritmos e impõe o ponto (§5.6).
• Incompressível ⇔ $\nabla \cdot \vec{u}={\partial }_{x}u+{\partial }_{y}v+{\partial }_{z}w=0$ (§6.4).
• Permanente ⇔ $\partial \vec{u}/\partial t=0$; uniforme ⇔ $\vec{u}$ não varia no espaço (ao longo das linhas de corrente) (§6.3).

Passos

1. Escreve $u$ e $v$ separados e tabela todas as derivadas: ${\partial }_t$, ${\partial }_x$ e ${\partial }_y$ de cada uma.
2. Aceleração: monta as componentes simbolicamente e só depois substitui $(x,y,t)$.
3. Linha de corrente: $\int \frac{dx}{u(x)}=\int \frac{dy}{v(y)}$ ⇒ $\ln$ ⇒ família $F(x,y)=C$ ⇒ $C$ a partir do ponto. Se $t$ aparece, é uma constante que muitas vezes cancela.
4. Incompressibilidade: soma só as derivadas diagonais.
5. Classificação: responde às duas perguntas (tempo e espaço) e justifica com as derivadas.

O truque que distingue 6 val. de 3 val.

• Campo variável ($t$ no campo): $\partial u/\partial t\ne 0$ conta na aceleração (2024-25: $a_x=2x+4x{t}^2$, e não só $4x{t}^2$).
• O fator do integral: em $\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{-y}$ sai $\ln x=-2\ln y+C$ ⇒ $x{y}^2=C$. Esquecer o 2 dá a curva errada.
• “No instante $t=1$ s” num campo permanente é irrelevante (2025-26). Diz isso explicitamente.
• Permanente ≠ uniforme: são duas perguntas diferentes (tempo vs espaço), e cada uma vale 1 val.

Exemplo real 1 (MAP1 14/03/2025 — P3, 4 val.)

$\vec{u}=2xt\vec{i}+2yt\vec{j}$ (m/s). a) (2,0) Aceleração em (1,1), $t=1$ s. b) (2,0) Linha de corrente por (1,1) em $t=0$ s.

Resolução passo-a-passo (oficial)

a) $a_x=\underset{{\partial }_{t}u}{\underbrace{2x}}+\underset{u{\partial }_{x}u}{\underbrace{(2xt)(2t)}}+\underset{v{\partial }_{y}u}{\underbrace{0}}=2x+4x{t}^2,a_y=2y+4y{t}^2$ $\vec{a}(1,1,1)=\boxed{6\vec{i}+6\vec{j}{\text{m/s}}^2}$

b) Com $t$ fixo: $\frac{dx}{2xt}=\frac{dy}{2yt}\Rightarrow \ln \frac{x}{x_0}=\ln \frac{y}{y_0}\Rightarrow \boxed{y=x}$ Nota: em $t=0$ o campo é nulo em todo o lado. A resolução oficial cancela $t$ antes de substituir, e a linha $y=x$ vale para qualquer $t>0$.

Lição

Campo com $t$ ⇒ nunca esquecer a aceleração local. Na linha de corrente, $t$ é uma constante e costuma cancelar.

Exemplo real 2 (MAP1 16/03/2026 — P3, 6 val.)

$\vec{u}=2x\vec{i}-y\vec{j}$ (m/s).

• a) (1,0) $|\vec{u}|$ em (1,2), $t=0$.
• b) (1,5) Linha de corrente por (1,2) em $t=1$ s.
• c) (1,5) O fluido comporta-se como incompressível?
• d) (2,0) Classifica o escoamento no tempo e no espaço.

Resolução passo-a-passo (oficial)

a) $\vec{u}(1,2)=2\vec{i}-2\vec{j}$ ⇒ $|\vec{u}|=\sqrt{8}=\boxed{2,83\text{m/s}}$

b) $\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{-y}\Rightarrow \ln \frac{x}{x_0}=-2\ln \frac{y}{y_0}\Rightarrow x{y}^2=x_0{y}_0^2=4\Rightarrow \boxed{y=\frac{2}{\sqrt{x}}}$

c) $\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial (2x)}{\partial x}+\frac{\partial (-y)}{\partial y}=2-1=1\ne 0$ ⇒ Não é incompressível (comporta-se como compressível).

d)

• Permanente, porque $\partial \vec{u}/\partial t=0$.

• Variado (não uniforme), porque as derivadas espaciais de $\vec{u}$ são não nulas.

Lição

Cada alínea é uma definição aplicada. A cotação vai para a justificação (a derivada escrita), não só para “sim/não”.

Variantes para treinar

• Síntese completa: Prob 3.4 do livro (§6.5).
• Aceleração: Ex 3.4 (§5.4).
• Trajetória: Ex 3.6 (§5.5).
• Linha de corrente: Ex 3.8 e 3.10 (§5.6).
• Filamento: Ex 3.9 (§5.7).
• Rotacional: Ex 3.15 e Prob 3.9 (§6.5).
• Caudal: Prob 3.3 (§6.2).

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4️⃣ Q4 — Leis de conservação (NOVO este ano — provável)

O que podem pedir (sem histórico — inferido do âmbito e do tempo extra)

Não há nenhum MAP1 anterior com esta matéria; isto é uma previsão. O formato mais provável, ao estilo das alíneas curtas dos MAPs, é uma conduta ou um reservatório com:

1. Caudal/velocidade pela continuidade ($Q=US$, ramificação) — §7.5;
2. Pressão numa secção ou perda de carga pela carga $H$ — §10.3–§10.4;
3. Potência de uma bomba/turbina, $P=\gamma QH$ — §10.5;
4. Força numa curva/bocal pelo Teorema de Euler — §8.3, §9.1.

Menos provável em 60 min: momentos/torniquete (§9.3–9.4), Vc móvel (§8.5), esvaziamento em regime variável (§7.6).

A lógica — a Ordem de ataque do Resumo

Vc com secções ⊥ ao escoamento → massa (as velocidades) → energia (as pressões, perdas e potências) → Euler (as forças) → força sobre a estrutura $\vec{F}=-\vec{R}$. Detalhe no hub (Checklist + Ordem de ataque).

Passos

1. Desenha o Vc e marca as secções 1, 2, … com a normal exterior.
2. Massa: $U_k=Q/S_k$ (não arredondes $S$ nem $U$).
3. Energia: $\frac{p_1}{\gamma }+z_1+\frac{U_1^2}{2g}+H_t=\frac{p_2}{\gamma }+z_2+\frac{U_2^2}{2g}+\Delta H_{1\to 2}(\text{bomba: }+H_t\text{; turbina: }-H_u)$
4. Potência: $P=\gamma QH$ (hidráulica, sem rendimentos).
5. Euler, com pressões relativas e todas as setas para dentro do Vc: $\vec{G}+\vec{\Pi }+\vec{R}+\rho Q{\vec{U}}_1-\rho Q{\vec{U}}_2=\vec{0}$ Depois, $\vec{F}=-\vec{R}$.

Onde se perde nota

• Sentido do escoamento e perdas: decide-se pela carga $H$, nunca pela pressão.
• Sinais na energia: a bomba dá carga; a turbina retira-a.
• Euler: um jato livre tem $p=0$ (relativa); ${\vec{M}}_2$ entra com −; projeta com cos/sin; o $R$ que sai negativo só inverte o sentido arbitrado.

Treino (no lugar do exemplo real que não existe)

Do Resumo, por ordem de prioridade:

1. Prob 4.2 — força numa curva em pressão: §9.1.
2. Ex 4.13 — bomba e turbina: §10.5.
3. Aula 11, sl.12 — conduta sem turbomáquina, perda de carga e sentido: §10.4.
4. Ex 4.11 — energia + Euler numa turbina em conduta: §10.6.
5. Ex 4.1 / Ex 4.2 — convergente; junção em Y: §7.5.
6. Ex 4.6 — maciço de amarração de uma bifurcação: §8.3.
7. Ex 4.4 — esvaziamento de um reservatório: §7.6.

Se o MAP vier igual aos anteriores (só 3 problemas)

Se não houver Q4, os 15 min extra são margem para refazer as contas da Q2 (o derrube e os braços) e para verificar os sinais na Q1.

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🔁 Padrões Recorrentes

Aparece quase sempre

• 3 problemas, um por folha, por esta ordem: pressões → superfície curva → cinemática.
• A superfície curva vale 10/20 nos dois anos, sempre com um quarto de círculo de $R=1$ m e sempre com uma pergunta de momentos a seguir às componentes.
• Pressão dada em absoluta + $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa ⇒ a primeira alínea é subtrair.
• Mercúrio com $d=13,6$ nos dois P1.
• Resultado pedido em m c.a. nos dois P1.
• Campo de velocidades 2D, linear em $x$ e $y$, com a linha de corrente num ponto nos dois P3. A EDO dá sempre logaritmos ⇒ uma potência ($y=x$, $x{y}^2=4$).
• $\gamma =9800$ N/m³ em todas as resoluções oficiais.
• Alíneas qualitativas (justificar: “maior/menor/igual”, “incompressível?”, “permanente?”) que valem 1,5–3 val. e se ganham com uma linha de derivada ou um argumento físico.

Checklist anti-erro (revê nos últimos 2 min)

• Pressão relativa em todo o problema; subtraí $p_{atm}$ se o dado era absoluto
• ${\gamma }_i=d_i\times 9800$; as unidades de $\gamma$ são N/m³
• No manómetro: desce → $+$, sobe → $-$, com o $\gamma$ do líquido em que estou; ignorei a cota dentro do gás
• ${\Pi }_H$: a projeção vertical só da parte molhada; o $h_0$ é a profundidade do centro dessa projeção
• ${\Pi }_V$: desenhei o volume até à superfície livre; decidi real (↓) ou fictício (↑); o quarto de círculo soma ou subtrai conforme o desenho
• Braços medidos a partir do ponto de rotação e perpendiculares à linha de ação
• Arco centrado na articulação ⇒ verifiquei que o momento hidrostático é nulo
• Aceleração: incluí a parcela local ${\partial }_t\vec{u}$ se o campo tem $t$
• Linha de corrente: $t$ fixo; impus o ponto; simplifiquei para $y=f(x)$
• Incompressibilidade e classificação: escrevi a derivada que justifica
• Conservação: massa → energia → Euler; $\vec{F}=-\vec{R}$; bomba $+$, turbina $-$
• Unidades e “por metro” em todas as respostas finais; nenhum arredondamento antes de uma diferença

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📅 Plano de Estudo Sugerido (até 28/10/2026)

Roteiro (2 dias)

Dia 1 — 26–27/10: os dois MAPs como simulação

• Fazer o MAP1 2025-26 em 45 min, sem ver as soluções, e corrigir com as resoluções deste Guia
• Fazer o MAP1 2024-25 em 45 min e corrigir (no P2, comparar com a resolução própria)
• Rever no Resumo as § onde houve erros (§4.3–4.5 é a mais rentável)
• Q2 extra: Prob 2.11 (cilindro) e Prob 2.9 (comporta de segmento) do Resumo

Dia 2 — 27/10: o que é novo + revisão

• Q4: Prob 4.2 (curva), Ex 4.13 (bomba/turbina), Aula 11 sl.12 (perda de carga) — 15 min cada
• Q3: Prob 3.4 (síntese), para cobrir trajetória e rotacional
• Ler o [[1.0 Resumo HI#🧭 Checklist de Estratégia|[!danger] Erros a evitar do hub]] e a Checklist anti-erro acima
• Decorar o que não vem no formulário: $\nabla \cdot \vec{u}=0$, $H=\frac{p}{\gamma }+z+\frac{U^2}{2g}$, $P=\gamma QH$, Euler

Dia do MAP — 28/10, 10h30: calculadora científica não gráfica, caneta, folhas identificadas.

Provas disponíveis para treino

Prova	Enunciado	Resoluções
MAP1 2025-26 (16/03/2026)	Enunciado	P1 · P2 · P3
MAP1 2024-25 (14/03/2025)	Enunciado	P1 · P3 · P2 só neste Guia [resolução própria]
Exemplos e Problemas do livro (Caps. 2–4)	Cardoso et al.	Resolvidos nas notas de capítulo do Resumo

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🔗 Notas relacionadas

• 📘 Resumo — MAP1 (hub) · Cap. 1 · Cap. 2 · Cap. 3 · Cap. 4
• MOC — Hidráulica I

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  date AS "Data",
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Recém-modificadas (DataviewJS)

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