Formulario-CDI2-Exame

:LiInfinity: Formulário — CDI-II Exame Final

Parent project: Cálculo Diferencial e Integral II

Âmbito (Fichas 7–11)

Referência rápida das fórmulas de integração do exame: integração múltipla, mudança de variáveis, integrais de linha, campos conservativos, Green e homotopia. Cada fórmula tem o seu subtópico — nome, fórmula isolada e explicação. Para a teoria desenvolvida e exercícios resolvidos, ver o Resumo. Extremos livres, TFI e Lagrange (Ficha 6) estão no Formulário MAP2.

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:LiSquareStack: 1. Teorema de Fubini (integrais iterados)

Teorema de Fubini

${\iint }_{R}fdA={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}fdy\right)dx={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}fdx\right)dy$

Num retângulo, o integral múltiplo calcula-se integrando uma variável de cada vez e a ordem é livre — escolher bem a ordem pode tornar trivial um integral impossível.

Símbolos: $f$ = função integranda · $R$ = região retangular $[a,b]\times [c,d]$ · $dA=dxdy$ = elemento de área · $a,b,c,d$ = limites constantes do retângulo.

Região de Tipo I (fatias verticais)

$a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)$

Ao fixar a variável externa, a “fatia” tem extremos que dependem dela. O integral externo tem sempre limites constantes; o interno é que pode depender de $x$.

Símbolos: $g_1(x),g_2(x)$ = curvas que limitam $y$ por baixo/por cima para cada $x$ fixo.

Região de Tipo II (fatias horizontais)

$c\le y\le d,h_1(y)\le x\le h_2(y)$

A mesma região lida na outra direção — é esta releitura que se usa para trocar a ordem de integração (desenhar a região primeiro).

Símbolos: $h_1(y),h_2(y)$ = curvas que limitam $x$ à esquerda/direita para cada $y$ fixo.

Volume e centróide

$V={\iiint }_{V}1dV,\bar{x}=\frac{1}{V}{\iiint }_{V}xdV$

Volume e centróide de um sólido. Com densidade $\sigma$: trocar $V$ por massa $M=\iiint \sigma dV$ e $x$ por $x\sigma$ no numerador.

Símbolos: $V$ = volume do sólido · $dV=dxdydz$ = elemento de volume · $\bar{x}$ = abcissa do centróide · $\sigma$ = densidade · $M$ = massa.

Quando trocar a ordem

Quando a primitiva interna não existe na ordem dada — sinais típicos: $\cos (x^2)$, $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $e^{xy}$. Trocar costuma fazer aparecer o fator que torna a primitiva imediata.

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:LiRefreshCw: 2. Mudança de Variáveis (Jacobiano)

Fórmula geral da mudança de variáveis

${\iint }_{S}f(x,y)dxdy={\iint }_{T}f(x(u,v),y(u,v))\left|\det J\right|dudv$

Endireita a geometria da região (ex.: disco → retângulo) ao custo de multiplicar pelo Jacobiano, que corrige a distorção de área. Traduz três coisas: integrando, região (reescrever cada desigualdade) e elemento de área.

Símbolos: $S$ = região no plano $(x,y)$ · $T$ = a mesma região nas novas variáveis $(u,v)$ · $x(u,v),y(u,v)$ = mudança de coordenadas · $|\det J|$ = módulo do Jacobiano.

Jacobiano

$\det J=\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$

Fator de conversão de área/volume local: a transformação leva um retângulo $dudv$ num paralelogramo de área $|\det J|dudv$. Usa-se sempre em módulo (área é positiva).

Símbolos: $x_u=\partial x/\partial u$, etc. (derivadas parciais) · $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ = matriz Jacobiana · $u,v$ = novas variáveis.

Coordenadas polares

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,|\det J|=r$

A escolha por defeito para regiões com $x^2+y^2$ (círculos, discos, setores), pois $x^2+y^2=r^2$.

Símbolos: $r\ge 0$ = distância à origem (raio) · $\theta$ = ângulo medido a partir do semieixo positivo $Ox$.

Coordenadas polares elípticas

$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta ,|\det J|=abr$

Para regiões elípticas $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$, que assim viram um retângulo em $(r,\theta )$.

Símbolos: $a,b$ = semieixos da elipse · $r\in [0,1]$ = raio normalizado · $\theta$ = ângulo.

Coordenadas cilíndricas

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,|\det J|=r$

Sólidos com simetria axial — polares no plano $xy$ com $z$ inalterado.

Símbolos: $r$ = distância ao eixo $Oz$ · $\theta$ = ângulo no plano $xy$ · $z$ = altura.

Coordenadas esféricas

$x=\rho \sin \varphi \cos \theta ,y=\rho \sin \varphi \sin \theta ,z=\rho \cos \varphi ,|\det J|={\rho }^2\sin \varphi$

Sólidos com simetria esférica ou cones.

Símbolos: $\rho \ge 0$ = distância à origem (raio) · $\varphi \in [0,\pi ]$ = ângulo polar/colatitude (a partir de $Oz$) · $\theta \in [0,2\pi ]$ = azimute (ângulo no plano $xy$).

Momento de inércia

$I_x=\iiint (y^2+z^2)\sigma dV$

Relativo ao eixo $Ox$: distância ao quadrado ao eixo, vezes a densidade.

Símbolos: $I_x$ = momento de inércia em torno de $Ox$ · $y^2+z^2$ = distância² ao eixo $Ox$ · $\sigma$ = densidade.

Mudança "à medida"

Para regiões definidas por $u=xy$, $v=y/x$, etc., calcula-se o Jacobiano inverso: $|\det J|=1/|\det \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}|$.

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:LiSigma: 3. Regra de Leibniz (derivar sob o integral)

Regra de Leibniz (limites variáveis)

$\frac{d}{dt}{\int }_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx=f(b(t),t)b^{\prime }(t)-f(a(t),t)a^{\prime }(t)+{\int }_{a(t)}^{b(t)}\frac{\partial f}{\partial t}dx$

Derivada de uma função definida por um integral. Os dois primeiros termos vêm dos limites a mexer (TFC nas pontas: valor na ponta × velocidade da ponta); o último vem do integrando a mudar com o parâmetro.

Símbolos: $t$ = parâmetro em ordem ao qual se deriva · $x$ = variável de integração · $a(t),b(t)$ = limites (inferior/superior) que dependem de $t$ · $a^{\prime }(t),b^{\prime }(t)$ = suas derivadas · $\partial f/\partial t$ = derivada parcial do integrando.

Caso de limites constantes

$\frac{d}{dt}{\int }_a^{b}f(x,t)dx={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial t}dx$

Com $a^{\prime }=b^{\prime }=0$ sobra só “derivar para dentro do integral”. Permite obter $F^{\prime }(t)$ sem calcular $F$ (útil quando $f$ não tem primitiva elementar).

Símbolos: $a,b$ = limites constantes · $F(t)={\int }_a^{b}f(x,t)dx$ = função do parâmetro.

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:LiSpline: 4. Integrais de Linha

Comprimento de curva

$L={\int }_a^b\Vert g^{\prime }(t)\Vert dt$

Comprimento de uma curva parametrizada $g(t)$, $t\in [a,b]$: soma os comprimentos infinitesimais $\Vert g^{\prime }(t)\Vert dt$.

Símbolos: $L$ = comprimento · $g(t)$ = parametrização da curva · $g^{\prime }(t)$ = vetor velocidade (tangente) · $\Vert g^{\prime }(t)\Vert$ = sua norma (módulo) · $[a,b]$ = intervalo do parâmetro.

Integral de campo escalar

${\int }_C\sigma ds={\int }_a^b\sigma (g(t))\Vert g^{\prime }(t)\Vert dt$

“Soma” uma grandeza ao longo do fio. Não depende do sentido em que se percorre a curva.

Símbolos: $\sigma$ = campo escalar (ex.: densidade) · $ds=\Vert g^{\prime }(t)\Vert dt$ = elemento de arco · $C$ = curva.

Massa, centro de massa e inércia

$M={\int }_C\sigma ds,\bar{x}=\frac{1}{M}{\int }_{C}x\sigma ds,I={\int }_C({\text{dist}}^2)\sigma ds$

Aplicações do campo escalar a um fio de densidade $\sigma$: massa total, centro de massa e momento de inércia.

Símbolos: $M$ = massa · $\bar{x}$ = abcissa do centro de massa · $I$ = momento de inércia · $\text{dist}$ = distância ao eixo/ponto de referência.

Integral de campo vetorial (trabalho)

$W={\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt$

Trabalho de uma força ao longo do caminho. Depende da orientação — trocar o sentido troca o sinal.

Símbolos: $W$ = trabalho · $\mathbf{F}$ = campo vetorial (força) · $d\mathbf{r}=g^{\prime }(t)dt$ = deslocamento infinitesimal (vetorial) · $\cdot$ = produto interno.

Atalhos por troços

Partir $C=C_1\cup C_2\cup \dots$ e somar. Se $\mathbf{F}\perp g^{\prime }$ ($\mathbf{F}\cdot g^{\prime }=0$) o troço dá 0. Segmento de reta: $g(t)=A+t(B-A)$, $t\in [0,1]$, logo $g^{\prime }=B-A$ (constante).

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:LiRecycle: 5. Campos Conservativos & TFC para Integrais de Linha

Campo fechado (2D)

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

Condição necessária para ser conservativo: as derivadas cruzadas coincidem. É um teste local, ponto a ponto.

Símbolos: $P,Q$ = componentes do campo $\mathbf{F}=(P,Q)$ · $\partial P/\partial y,\partial Q/\partial x$ = derivadas parciais cruzadas.

Campo fechado (3D)

$\mathrm{rot}\mathbf{F}=0$

Versão 3D da mesma condição: o rotacional anula-se em todo o ponto do domínio.

Símbolos: $\mathrm{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}$ = rotacional do campo · $0$ = vetor nulo.

TFC para integrais de linha

${\int }_C\nabla \varphi \cdot d\mathbf{r}=\varphi (\text{ponto final})-\varphi (\text{ponto inicial})$

Se $\mathbf{F}=\nabla \varphi$ (conservativo), o trabalho só depende dos extremos → independente do caminho e $=0$ em caminho fechado. Para achar $\varphi$: integrar ${\varphi }_x=P$ em $x$, depois derivar e igualar a $Q$ (e $R$) para fixar as “constantes”.

Símbolos: $\varphi$ = potencial escalar · $\nabla \varphi$ = gradiente de $\varphi$ (= $\mathbf{F}$) · ${\varphi }_x=\partial \varphi /\partial x$ = derivada parcial · $P,Q,R$ = componentes de $\mathbf{F}$.

Conservativo $\Rightarrow$ fechado, mas o recíproco só vale em domínio simplesmente conexo

$\mathbf{F}=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ é fechado mas não conservativo em ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ (buraco na origem): o trabalho numa volta à origem é $2\pi \ne 0$. Não aplicar o TFC aqui — não há potencial global.

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:LiCircleDashed: 6. Teorema de Green & Homotopia

Teorema de Green

${\oint }_{\partial D}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

Liga o integral de linha na fronteira ao integral duplo no interior (${\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P$ = rotação do campo). Fronteira orientada positivamente (anti-horário, região à esquerda); se for horária, trocar o sinal. Exige $\mathbf{F}\in C^1$ em todo $D$.

Símbolos: $D$ = região do plano · $\partial D$ = sua fronteira (curva fechada) · $P,Q$ = componentes de $\mathbf{F}$ · $\oint$ = integral sobre curva fechada · $C^1$ = de classe $C^1$ (derivadas contínuas).

Áreas via Green

$\text{Aˊrea}(D)={\oint }_{\partial D}xdy=-{\oint }_{\partial D}ydx=\frac{1}{2}{\oint }_{\partial D}(xdy-ydx)$

Calcular a área de uma região através de um integral na sua fronteira — caso particular de Green com ${\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P=1$.

Símbolos: $\text{Aˊrea}(D)$ = área da região · $\partial D$ = fronteira percorrida no sentido direto.

Invariância por homotopia

${\int }_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}(\mathbf{F}\text{ fechado, }{C}_1\sim C_2)$

Se o campo é fechado e duas curvas são homotópicas (deformáveis uma na outra sem sair de $D$), os integrais coincidem → pode-se substituir a curva por uma circunferência simples à volta do buraco.

Símbolos: $C_1,C_2$ = duas curvas · $C_1\sim C_2$ = ”$C_1$ é homotópica a $C_2$” (deformável uma na outra dentro de $D$).

Soma de cargas (várias singularidades)

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\sum }_i(\pm )2\pi$

Com singularidades dentro, não aplicar Green à região cheia: o trabalho na curva fechada = soma das cargas das singularidades encerradas (carga $=2\pi$ para $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$), com sinal $\pm$ pela orientação (× nº de voltas). Singularidades fora contam 0.

Símbolos: $C$ = curva fechada · “carga” = $2\pi$ × índice de cada singularidade · sinal $\pm$ = sentido (direto/inverso) com que $C$ rodeia a singularidade.

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:LiCompass: Checklist — que ferramenta usar?

Sintoma do enunciado	Ferramenta
Integral múltiplo, primitiva impossível na ordem dada	§1 — Fubini (trocar ordem)
Região circular/elíptica/esférica, $x^2+y^2$	§2 — Jacobiano (polares/cilíndricas/esféricas)
Derivar $F(t)=\int \dots dx$	§3 — Leibniz
”trabalho ao longo de”, “massa do fio”, “comprimento”	§4 — Integrais de linha
”é conservativo?”, trabalho entre 2 pontos	§5 — Fechado + potencial + TFC
Curva fechada no plano	§6 — Green
Campo fechado com singularidade / domínio com buraco	§6 — Homotopia, isolar $2\pi$

Erros a evitar

Esquecer o módulo do Jacobiano · esquecer o $r$ (polares) ou ${\rho }^2\sin \varphi$ (esféricas) · aplicar o TFC a campo fechado não conservativo · orientação errada (sinal) · usar Green com singularidade dentro de $D$ · esquecer de desenhar a região antes de trocar a ordem.

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:LiLink: Notas relacionadas

Estudo do exame

Resumo (teoria + exercícios) · Guia de Estudo · Cheatsheet (PDF) · Formulário MAP2

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  link(file.link, file.name) AS "Nota",
  date AS "Data",
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