Guia-Estudo-CDI2-Exame

🎯 Guia de Estudo — CDI-II Exame de 1ª Época

Parent project: Cálculo Diferencial e Integral II Resumo teórico: Resumo CDI-II Exame (Fichas 6–11)

De onde vem este guia

Análise dos exames de 1ª época de 2023, 2024 (+ repescagem) e 2025 (todas as horas/versões disponíveis em Exames_Anos_Anteriores/). O exame tem 5 questões, 1 hora, 20 valores. O padrão repete-se quase à letra todos os anos — abaixo está o molde, questão a questão, com a lógica de resolução.

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🗺️ Estrutura do Exame (o molde que se repete)

Q	Tema dominante	Valores	Ficha	Probabilidade
Q1	Volume de sólido como integrais iterados numa ordem dada (só escrever, não calcular)	~5 val	F7	Quase certo
Q2	Mudança de coordenadas (cilíndricas / esféricas): massa, volume ou integral	~4 val	F8	Quase certo
Q3	Integral de linha de campo escalar (massa/integral de fio)	~3 val	F9	Muito provável
Q4	Campo vetorial: é gradiente? + trabalho (TFC / Green / homotopia)	~5 val (a,b,c)	F10–F11	Quase certo
Q5	Questão teórica / demonstração (Green, Fubini, gradientes)	~3 val	F7–F11	Quase certo

Estratégia global de tempo (60 min)

Q1 e Q2 valem ~9/20 e são mecânicas → garante-as primeiro (≈25 min). Q4 é onde se perdem pontos por sinais/orientação → ≈20 min. Q3 é rápida (≈8 min). Q5 (teórica) ao fim, com o tempo que sobrar.

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1️⃣ Q1 — Volume por Integrais Iterados (Ficha 7)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Dão um sólido $V\subset {\mathbb{R}}^3$ definido por planos/desigualdades e pedem uma expressão do volume como integral iterado numa ordem fixa (ex.: $\int (\int (\int dx)dy)dz$). Não é preciso calcular — a cotação está toda em acertar nos limites e em partir o domínio corretamente.

A lógica: integrar "de dentro para fora"

A ordem $\int \int \int dxdydz$ lê-se assim:

• $x$ (interno): fixa $y,z$ → varia entre as duas superfícies que limitam $x$.
• $y$ (médio): fixa $z$ → varia na “sombra” do corte a $z$ constante.
• $z$ (externo): varia entre os valores extremos globais.

Ou seja: corta o sólido com planos perpendiculares à variável externa e descreve cada fatia.

Passos

1. Identificar todas as desigualdades e que superfície cada uma representa.
2. Escolher a variável externa (a última, ex. $z$) e ver o seu intervalo global.
3. Para cada valor dessa variável, desenhar a secção (corte) e descrevê-la nas outras duas.
4. Detetar onde a geometria do corte muda → é aí que se parte o integral numa soma.

O truque que distingue 5 val. de 2 val.

Quase sempre o sólido obriga a partir em 2 (ou 3) integrais somados, porque a fórmula da fatia muda a meio (ex.: a fatia deixa de ser limitada pela reta e passa a ser limitada pela curva/circunferência). Treina precisamente isto — é o erro mais penalizado.

Exemplo real (Exame 23/06/2025 - 8h)

$V=\{0\le z\le 1-x^2,x+y\le 1,0\le y\le x\}$, na ordem $\int \int \int dxdydz$.

Resolução passo-a-passo

Ordem pedida $\int \int \int dxdydz$: externa $z$, média $y$, interna $x$. Vamos isolar $x$, depois $y$, depois $z$. Abrevia-se $a=\sqrt{1-z}$.

1. Isolar $x$ (interna), com $y,z$ fixos. Das três condições:

• $0\le z\le 1-x^2\Rightarrow x^2\le 1-z\Rightarrow x\le a$;
• $0\le y\le x\Rightarrow x\ge y$;
• $x+y\le 1\Rightarrow x\le 1-y$.

Logo $y\le x\le \min (a,1-y)$.

2. Onde está o “min”? $a\le 1-y⟺y\le 1-a$. Há duas situações conforme $a$ (i.e. conforme $z$):

• Se $a\le \frac{1}{2}$ (ou seja $1-z\le \frac{1}{4}\Rightarrow z\ge \frac{3}{4}$): sempre $1-y\ge a$, por isso o topo é sempre $x\le a$. A fatia em $y$ é $0\le y\le a$ e $x\in [y,a]$. → um só integral.
• Se $a>\frac{1}{2}$ (ou seja $z<\frac{3}{4}$): o topo muda em $y=1-a$:
  • para $0\le y\le 1-a$: topo $=a$, logo $x\in [y,a]$;
  • para $1-a\le y\le \frac{1}{2}$: topo $=1-y$, logo $x\in [y,1-y]$ (o $\frac{1}{2}$ vem de exigir $y\le 1-y$). → dois integrais.

3. É por isso que se parte em $z=\frac{3}{4}$ (o $z$ onde $a=\sqrt{1-z}=\frac{1}{2}$). Juntando tudo: $\text{Vol}(V)=\underset{z\ge 3/4:\text{fatia simples}}{\underbrace{{\int }_{3/4}^1{\int }_0^{\sqrt{1-z}}{\int }_y^{\sqrt{1-z}}1dxdydz}}+\underset{z<3/4:\text{a fatia parte-se em duas}}{\underbrace{{\int }_0^{3/4}\left({\int }_0^{1-\sqrt{1-z}}{\int }_y^{\sqrt{1-z}}1dxdy+{\int }_{1-\sqrt{1-z}}^{1/2}{\int }_y^{1-y}1dxdy\right)dz}}$ Lição: não tentes uma só expressão. Isola a variável interna, vê de que outras depende o seu topo/base, e procura o valor onde o “min” (ou “max”) troca — é aí que partes. (Q1 não pede para calcular: a cotação está em acertar limites e na partição.)

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2️⃣ Q2 — Mudança de Coordenadas (Ficha 8)

O que pedem

Um sólido com simetria circular/axial/esférica e uma densidade $\sigma$. Pedem massa (${\int }_S\sigma$), volume ou um integral ${\int }_{S}g$. A escolha das coordenadas certas resolve 80% do problema.

Qual sistema escolher (decisão rápida)

• Aparece $x^2+y^2$ e há um eixo $z$ privilegiado → cilíndricas, $|\det J|=\rho$.
• Aparece $x^2+y^2+z^2$ (esferas) ou cones $z\le \sqrt{x^2+y^2}$ → esféricas, $|\det J|={\rho }^2\sin \varphi$.
• Simetria em $y^2+z^2$ (eixo $Ox$) → cilíndricas adaptadas ao eixo $Ox$: $(x,\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$, $|\det J|=\rho$.
• $(\sqrt{x^2+y^2}-a{)}^2+z^2$ (toro/donut) → cilíndricas e depois trasladar $\rho$.

Passos

1. Ler a simetria das condições → escolher o sistema.
2. Reescrever cada desigualdade nas novas variáveis (define os novos limites).
3. Substituir o integrando e multiplicar pelo Jacobiano.
4. Integrar (muitas vezes os integrais em $\theta$ e $\varphi$ separam-se e dão constantes).

Exemplo real (Exame 23/06/2025 - 11h, esféricas)

$S=\{1\le x^2+y^2+z^2\le 4,z\le \sqrt{x^2+y^2}\}$, densidade $\sigma =x^2+y^2+z^2$. Massa?

Resolução passo-a-passo

1. Escolher o sistema. Há esferas concêntricas ($x^2+y^2+z^2$) e um cone ($z\le \sqrt{x^2+y^2}$) ⇒ esféricas: $x=r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \varphi$, com $|\det J|=r^2\sin \varphi$.

2. Traduzir CADA condição.

• $1\le x^2+y^2+z^2\le 4$: como $x^2+y^2+z^2=r^2$, fica $1\le r^2\le 4\Rightarrow 1\le r\le 2$.
• $z\le \sqrt{x^2+y^2}$: em esféricas $z=r\cos \varphi$ e $\sqrt{x^2+y^2}=r\sin \varphi$, logo $r\cos \varphi \le r\sin \varphi \Rightarrow \cos \varphi \le \sin \varphi \Rightarrow \tan \varphi \ge 1\Rightarrow \varphi \ge \frac{\pi }{4}$. Como $\varphi$ vai até $\pi$: $\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \pi$.
• Sem restrição em $\theta$ (simetria total de rotação): $0\le \theta \le 2\pi$.

3. Montar o integral (integrando $\sigma =r^2$, vezes o Jacobiano $r^2\sin \varphi$): $M={\int }_0^{2\pi }{\int }_1^2{\int }_{\pi /4}^{\pi }\underset{\sigma }{\underbrace{r^2}}\cdot \underset{|\det J|}{\underbrace{r^2\sin \varphi }}d\varphi drd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_1^2{r}^{4}dr{\int }_{\pi /4}^{\pi }\sin \varphi d\varphi$

Como ler a ordem dos integrais. A regra é que os sinais $\int$ (lidos da esquerda para a direita) emparelham com os diferenciais lidos da direita para a esquerda — o sinal mais à esquerda casa com o diferencial mais à direita. Aqui:

• $d\varphi$ é o diferencial mais interno (encostado ao integrando) → casa com o sinal mais interno ${\int }_{\pi /4}^{\pi }$ → integra-se primeiro, em $\varphi \in [\frac{\pi }{4},\pi ]$;
• $dr$ é o do meio → casa com ${\int }_1^2$ → integra-se a seguir, em $r\in [1,2]$;
• $d\theta$ é o mais externo → casa com ${\int }_0^{2\pi }$ → integra-se por último, em $\theta \in [0,2\pi ]$.

Ou seja, calcula-se sempre de dentro para fora: $\varphi$, depois $r$, depois $\theta$ (a ordem dos d define a ordem de cálculo).

Porque é que aqui a ordem é livre. Todos os limites são constantes — a região é uma “caixa” $[1,2]\times [\frac{\pi }{4},\pi ]\times [0,2\pi ]$ em $(r,\varphi ,\theta )$. Por Fubini, com limites constantes a ordem não altera o resultado, e como cada fator do integrando depende de uma só variável ($r^4$ só de $r$, $\sin \varphi$ só de $\varphi$, e nada de $\theta$), o integral triplo separa-se no produto dos três integrais simples da direita. (Se algum limite dependesse de outra variável — p. ex. $\varphi$ a depender de $r$ — a variável dependente teria de ficar mais interna e os integrais já não separariam.)

4. Calcular cada um.

• ${\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$.
• ${\int }_1^2{r}^{4}dr=[\frac{r^5}{5}{]}_1^2=\frac{32-1}{5}=\frac{31}{5}$.
• ${\int }_{\pi /4}^{\pi }\sin \varphi d\varphi =[-\cos \varphi {]}_{\pi /4}^{\pi }=(1)+\frac{\sqrt{2}}{2}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Multiplicar: $M=2\pi \cdot \frac{31}{5}\cdot (1+\frac{\sqrt{2}}{2})=\boxed{\frac{62}{5}\pi (1+\frac{\sqrt{2}}{2})}$ Passo-chave: traduzir a condição geométrica ($z\le \sqrt{x^2+y^2}$) num limite de $\varphi$.

Exemplo real (Exame 17/06/2024 - 13h, cilíndricas no eixo Ox)

$D=\{x>0,y^2+z^2<4,x^2<y^2+z^2\}$. Calcule ${\int }_{D}x\sqrt{y^2+z^2}$.

Resolução passo-a-passo

1. Escolher o sistema. A simetria é em $y^2+z^2$ (não $x^2+y^2$) ⇒ o eixo de simetria é o $Ox$. Usam-se cilíndricas adaptadas a $Ox$: deixa-se $x$ quieto e poem-se $y,z$ em polares: $(x,y,z)=(x,\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ),|\det J|=\rho .$ Aqui $\rho =\sqrt{y^2+z^2}$ é a distância ao eixo $Ox$.

2. Traduzir cada condição.

• $y^2+z^2<4$: é ${\rho }^2<4\Rightarrow 0\le \rho <2$.
• $x^2<y^2+z^2$: é $x^2<{\rho }^2\Rightarrow |x|<\rho$. Com $x>0$: $0<x<\rho$.
• $\theta$ sem restrição: $0\le \theta \le 2\pi$.

3. Integrando em novas variáveis: $x\sqrt{y^2+z^2}=x\rho$. Com o Jacobiano $\rho$, o integrando total é $x\rho \cdot \rho =x{\rho }^2$.

4. Montar e integrar de dentro para fora (a ordem importa: $x$ depende de $\rho$, por isso $x$ é o mais interno): ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{\int }_0^{\rho }x{\rho }^{2}dxd\rho d\theta$

• Interno ($x$): ${\int }_0^{\rho }xdx=\frac{{\rho }^2}{2}$, logo o integrando fica $\frac{{\rho }^2}{2}\cdot {\rho }^2=\frac{{\rho }^4}{2}$.
• Médio ($\rho$): ${\int }_0^2\frac{{\rho }^4}{2}d\rho =\frac{1}{2}[\frac{{\rho }^5}{5}{]}_0^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{5}=\frac{16}{5}$.
• Externo ($\theta$): ${\int }_0^{2\pi }\frac{16}{5}d\theta =\frac{16}{5}\cdot 2\pi =\boxed{\frac{32\pi }{5}}$.

Lição recorrente: quando a simetria é em $y^2+z^2$ (não $x^2+y^2$), adapta as cilíndricas ao eixo certo, e põe a variável com limite dependente ($x<\rho$) como a mais interna.

Momento de inércia (sai com frequência)

$I_{\text{eixo}}={\int }_A\sigma \cdot d^{2}dV$, onde $d$ é a distância ao eixo. Para o eixo $z$ deslocado: $d^2=(L+\rho \cos \theta {)}^2+(\rho \sin \theta {)}^2$ (Exame 2025 9h30 Q5).

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3️⃣ Q3 — Integral de Linha de Campo Escalar (Ficha 9)

O que pedem

Uma curva $L$ (muitas vezes interseção de duas superfícies) com densidade $\sigma$. Pedem a massa ${\int }_L\sigma ds$ ou o integral ${\int }_L\sigma$. É a questão mais curta e segura.

Fórmula única

${\int }_L\sigma ds={\int }_a^b\sigma (\gamma (t))\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert dt$

Passos

1. Parametrizar a curva $\gamma (t)$ — quase sempre uma circunferência via cilíndricas.
2. Calcular ${\gamma }^{\prime }(t)$ e $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert$.
3. Substituir na densidade e integrar em $t$.

Exemplo real (Exame 23/06/2025 - 9h30)

$L=\{y=x^2+z^2,y=4\}$, densidade $\sigma =y(x^2+z^2)$. Massa?

Resolução passo-a-passo

1. Identificar a curva. Substituir uma equação na outra: de $y=4$ e $y=x^2+z^2$ vem $x^2+z^2=4$. Isto, no plano $y=4$, é uma circunferência de raio 2 centrada em $(0,4,0)$, no plano horizontal $y=4$.

2. Parametrizar. Como vive no plano $y=4$ e tem raio 2 nas variáveis $x,z$: $\gamma (\theta )=(2\cos \theta ,4,2\sin \theta ),\theta \in [0,2\pi ].$ 3. Calcular $\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert$. ${\gamma }^{\prime }(\theta )=(-2\sin \theta ,0,2\cos \theta )$, logo $\Vert {\gamma }^{\prime }(\theta )\Vert =\sqrt{4{\sin }^2\theta +0+4{\cos }^2\theta }=\sqrt{4}=2.$ 4. Avaliar a densidade na curva. $\sigma =y(x^2+z^2)$; sobre a curva $y=4$ e $x^2+z^2=4$, logo $\sigma =4\cdot 4=16$ (constante ao longo da curva).

5. Integrar $M={\int }_L\sigma ds={\int }_0^{2\pi }\sigma (\gamma (\theta ))\Vert {\gamma }^{\prime }(\theta )\Vert d\theta$: $M={\int }_0^{2\pi }16\cdot 2d\theta ={\int }_0^{2\pi }32d\theta =32\cdot 2\pi =\boxed{64\pi }$ Truque: substitui as equações da curva uma na outra para reconhecer a circunferência antes de parametrizar. Repara que $\sigma$ e $\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert$ deram constantes — é o caso mais comum nestas curvas, e torna o integral trivial.

Caso "gráfico" (repescagem 2024)

Se a curva é $y=x^2,z=x,x\in [0,1]$, parametriza por $x$: $\gamma (x)=(x,x^2,x)$ e $\Vert {\gamma }^{\prime }\Vert =\sqrt{1+4x^2+1}$. Mesma fórmula.

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4️⃣ Q4 — Campo Vetorial: Conservativo? + Trabalho (Fichas 10–11)

O coração do exame (e onde mais se erra)

Tipicamente 3 alíneas: (a) testar se um campo é gradiente / achar potencial; (b) e (c) calcular trabalhos ao longo de curvas, escolhendo a ferramenta certa (TFC, Green ou homotopia). Os pontos perdem-se em sinais e orientação.

Árvore de decisão para calcular um trabalho

1. O campo é gradiente (fechado + domínio simplesmente conexo)?
   • Sim + curva fechada → trabalho $=0$.
   • Sim + curva aberta → TFC: $\varphi (\text{fim})-\varphi (\text{inıˊcio})$.
2. Há singularidade (denominador $x^2+y^2$, etc.)?
   • Decompor $\mathbf{F}=\underset{\text{trabalho }0\text{ se fechada}}{\underbrace{\nabla \varphi }}+\underset{\pm 2\pi }{\underbrace{\text{parte singular}}}$.
   • A parte singular dá $\pm 2\pi$ se a curva envolver a singularidade, senão $0$ (homotopia).
3. Curva fechada sem singularidade dentro → Green: ${\iint }_D({\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P)dA$.

Regras de sinal (decorar)

• $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ em torno da origem, anti-horário $=+2\pi$; horário $=-2\pi$.
• Singularidade centrada noutro ponto $(a,b)$: mesma regra, conta se a curva a envolve.
• Green com curva horária: trocar o sinal (a fórmula é para anti-horário).

Exemplo real (Exame 23/06/2025 - 8h, alíneas b e c)

$G=\frac{(y,-(x-2))}{(x-2{)}^2+y^2}+F$, com $F=(x+by,x+y)$. Trabalho ao longo de curvas fechadas.

Resolução comentada (a lógica de decomposição)

Parte $F$: com $b=1$, $F$ é fechado em ${\mathbb{R}}^2$ (simplesmente conexo) ⇒ gradiente ⇒ trabalho $0$ em qualquer curva fechada. Com $b=-1$, ${\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1=2\ne 0$ ⇒ usa Green: ${\oint }_{C}F=\pm 2\cdot \text{Aˊrea}$.

Parte singular $H=\frac{(y,-(x-2))}{(x-2{)}^2+y^2}$: tem singularidade em $(2,0)$. Está centrada nesse ponto; pela homotopia, vale $-2\pi$ (orientação anti-horária dá o sinal) se a curva envolver $(2,0)$, senão $0$.

Alínea b (elipse à volta de $(2,0)$, anti-horário, $b=1$): $\oint G=\underset{F}{\underbrace{0}}+\underset{H}{\underbrace{(-2\pi )}}=-2\pi$. Alínea c (quadrado lado 5 centrado na origem, horário, $b=-1$): $F$ por Green $=-2\cdot 25=-50$; $H$ envolve $(2,0)$ ⇒ $+2\pi$. Total $=2\pi -50$.

Lição central do exame: separa sempre o campo em “parte certinha” (gradiente/Green) + “parte singular” ($\pm 2\pi$ por homotopia). É o esqueleto de quase todas as Q4.

Exemplo real (Exame 17/06/2024 - 8h, decomposição em 3D)

$H=(y-x,-x,z)$, $G=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}+(0,0,z^2)$, sobre $L=\{2x^2+y^2=1,z=y\}$.

Resolução comentada

(a) ${\partial }_x{H}_2=-1\ne {\partial }_y{H}_1=1$ ⇒ não fechado ⇒ não conservativo. (b) Decompor $H=(y,-x,0)+\nabla (-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{z}^2)$. A parte gradiente dá $0$ (curva fechada); parametrizar a elipse e integrar a outra parte → $-\sqrt{2}\pi$. (c) $G$: a parte $(0,0,z^2)=\nabla (z^3/3)$ dá $0$; a parte $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ é fechada ⇒ homotópica à circunferência unitária ⇒ vale $-2\pi$ (horário). Total $-2\pi$.

Cálculo do potencial (alínea típica "mostre que é gradiente")

Integra ${\partial }_x\varphi =F_1$ em $x$ → $\varphi =\cdots +g(y)$; depois impõe ${\partial }_y\varphi =F_2$ para achar $g$. Ex. (2024): $F=(e^{y^2},2xy{e}^{y^2}-\sin y)\Rightarrow \varphi =x{e}^{y^2}+\cos y$.

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5️⃣ Q5 — Questão Teórica / Demonstração (Fichas 7–11)

O que pedem

Uma demonstração curta usando um teorema central. Não é cálculo — é justificar com rigor. Vale ~3 val. e costuma ser acessível se reconheceres o teorema.

Os clássicos que já saíram

• Green disfarçado: mostrar que ${\oint }_{C}f={\iint }_D(\dots )$ calculando ${\partial }_x{f}_2-{\partial }_y{f}_1$ e invocando Green (2025 11h: identidade de Green $\nabla \varphi \cdot \nabla \psi +\varphi \Delta \psi$).
• Igualdade das derivadas cruzadas via Fubini (2023): supor que diferem num ponto, integrar num retângulo, chegar a contradição.
• Caminho gradiente não é fechado (2024): $f(\gamma (b))-f(\gamma (a))=\int \Vert \nabla f{\Vert }^2>0$.
• Campo determinado pelo trabalho: se $\int Fd\gamma =\int Gd\gamma$ para todo $\gamma$, então $F=G$.

Como atacar

Identifica qual teorema está escondido (Green, Fubini, TFC para integrais de linha). Quase todas reduzem-se a calcular ${\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P$ ou a aplicar o TFC e usar uma desigualdade estrita.

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🔁 Padrões Recorrentes (o que decorar mesmo)

Lista de "aparece quase sempre"

1. Q1 é sempre “escrever volume, não calcular” → treina partir o domínio em somas de integrais.
2. Q2 é sempre mudança de coordenadas → memoriza Jacobianos e cilíndricas adaptadas ao eixo $Ox$ (simetria $y^2+z^2$).
3. O campo $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ (e transladado para $(a,b)$) → trabalho $\pm 2\pi$. Aparece todos os anos.
4. Decomposição campo = gradiente + parte singular é a técnica-mestra da Q4.
5. Green para curvas fechadas planas; cuidado com orientação (horário → sinal $-$).
6. Curvas da Q3/Q4 são interseções de superfícies → reconhece a circunferência e parametriza.
7. Simplesmente conexo é a palavra-passe: fechado + simplesmente conexo ⇒ gradiente.

Checklist anti-erro (lê 2 min antes de entregar)

• Jacobiano em módulo e correto ($\rho$, ${\rho }^2\sin \varphi$)?
• Limites de $\varphi$/$\theta$ traduzidos das condições geométricas?
• Orientação da curva conferida (sinal do trabalho)?
• Campo testado para fechado antes de assumir gradiente?
• Domínio simplesmente conexo (sem buracos) antes de aplicar TFC?
• Q1: o domínio precisa de ser partido em vários integrais?
• Singularidade dentro da curva de Green? Se sim, recortar.

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📅 Plano de Estudo Sugerido

Roteiro

1. Refaz a Q1 de cada exame (2023→2025): é mecânica e vale 5 val. Foco em partir o domínio.
2. Refaz todas as Q2: alterna cilíndricas/esféricas/eixo-$Ox$ até automatizar a escolha.
3. Lista as Q4 lado a lado: vais ver a mesma decomposição (gradiente + $\pm 2\pi$) repetir-se.
4. Faz 1 exame completo cronometrado (1h) por dia nos últimos dias.
5. Revê o Resumo para a teoria de suporte de cada questão.

Exames disponíveis para treino

Estudo EXAME/Exames_Anos_Anteriores/:

• 2025: 23 Junho (8h, 9h30, 11h × v1/v2)
• 2024: 17 Junho (8h, 10h30, 13h × v1/v2) + Repescagem 1 Julho (9h, 11h30)
• 2023: 26 Junho (13h v1/v2) — com soluções detalhadas