Formulario-HI-MAP1

:LiDroplets: Formulário — Hidráulica I · MAP1

Parent project: Hidráulica I

Âmbito (Aulas 01–11)

Referência rápida das fórmulas do MAP1 (28/10/2026, 60 min): propriedades dos fluidos, hidrostática (pressões, manómetros, impulsões em superfícies planas e curvas, Arquimedes), hidrocinemática e leis de conservação (massa, Euler, momentos, energia). Cada fórmula tem o seu subtópico: fórmula isolada, explicação curta e símbolos. A teoria e os exercícios resolvidos estão no Resumo (hub); o molde da prova está no Guia de Estudo.

Legenda: :LiFileText: = vem no formulário do enunciado (2024-25 e 2025-26) · :LiBrain: = não vem, decorar. Sem marca = fórmula auxiliar (deduz-se das outras). Constantes do curso: ${\gamma }_{\acute{a}gua}=9800$ N/m³ ($g=9,8$ m/s²), ${\rho }_{\acute{a}gua}=1000$ kg/m³, $p_{atm}=1,012\times 10^5$ Pa.

Peso no MAP1: §2–§4 (pressões + superfície curva) ≈ 14–16 val. · §5–§6 (cinemática) ≈ 4–6 val. · §7–§10 (conservação) = novo este ano, provável · §1 (propriedades) pouco provável.

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:LiFlaskConical: 1. Propriedades dos fluidos

Massa volúmica, peso volúmico e densidade

$\rho =\frac{m}{\forall },\gamma =\rho g,d=\frac{\rho }{{\rho }_{\acute{a}gua}}=\frac{\gamma }{{\gamma }_{\acute{a}gua}}\Rightarrow \gamma =d\cdot 9800{\text{N/m}}^3$

:LiBrain: O primeiro passo de qualquer manómetro: converter a densidade do enunciado em peso volúmico. Mercúrio: $d=13,6\Rightarrow {\gamma }_{Hg}=133280$ N/m³.

Símbolos: $\rho$ = massa volúmica (kg/m³) · $\gamma$ = peso volúmico (N/m³) · $d$ = densidade (adimensional) · $\forall$ = volume (m³) · $m$ = massa (kg).

Módulo de elasticidade volumétrica

$\epsilon =-\forall \frac{dp}{d\forall }=\rho \frac{dp}{d\rho }\Rightarrow \frac{\Delta \rho }{\rho }\approx \frac{\Delta p}{\epsilon }$

Mede a “rigidez” do fluido à compressão. Para a água, $\epsilon =2,2\times 10^9$ Pa: duplicar a pressão muda $\rho$ menos de 0,005 %, daí a hipótese de incompressibilidade.

Símbolos: $\epsilon$ = módulo de elasticidade volumétrica (Pa) · $\alpha =1/\epsilon$ = coeficiente de compressibilidade (Pa⁻¹) · $\Delta p$ = acréscimo de pressão · $\Delta \rho$ = variação de massa volúmica.

Lei de Newton da viscosidade

$\tau =\mu \frac{du}{dy},\nu =\frac{\mu }{\rho },\text{perfil linear: }\frac{du}{dy}=\frac{U}{h},F=\tau S$

Num fluido newtoniano, a tensão tangencial é proporcional à velocidade de deformação. Entre placas (Couette) com perfil linear, $\tau$ é igual em todo o fluido; com várias camadas, uma lei por camada.

Símbolos: $\tau$ = tensão tangencial (Pa) · $\mu$ = viscosidade dinâmica (Pa·s; água a 20 °C ≈ $10^{-3}$) · $\nu$ = viscosidade cinemática (m²/s) · $U$ = velocidade da placa móvel · $h$ = folga · $S$ = área da placa.

Equação de Laplace (gotas, jatos, bolhas)

$\Delta p=\sigma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\Rightarrow \text{gota: }\frac{4\sigma }{D}\text{jato cilıˊndrico: }\frac{2\sigma }{D}\text{bolha (2 interfaces): }\frac{8\sigma }{D}$

Sobrepressão do lado côncavo de uma interface curva. Contar as interfaces antes de escrever o equilíbrio (corte pelo plano diametral: pressão × área projetada = σ × perímetro).

Símbolos: $\sigma$ = tensão superficial (N/m; água-ar 0,0736) · $R_1,R_2$ = raios principais de curvatura · $D$ = diâmetro.

Capilaridade

$\delta h=\frac{4\sigma \cos \theta }{\gamma D}$

Subida (água, $\theta \approx 0°$) ou descida (mercúrio, $\theta >90°$) num tubo fino. Despreza-se para $D>15$ mm.

Símbolos: $\delta h$ = subida capilar (m) · $\theta$ = ângulo de contacto · $\gamma$ = peso volúmico do líquido · $D$ = diâmetro do tubo.

Tensão de vapor e cavitação

Há risco de vaporização quando a pressão absoluta local desce a $t_v$ (água: 2330 Pa a 20 °C; $p_{atm}$ a 100 °C). Compara-se sempre com a absoluta, nunca com a relativa. Com a temperatura: $\rho ,\epsilon$ quase constantes · $\sigma ,\mu$ diminuem · $t_v$ aumenta muito.

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:LiGauge: 2. Hidrostática fundamental

Lei fundamental da Hidrostática

$\frac{p}{\gamma }+z=\text{cte}⟺\frac{dp}{dz}=-\gamma ⟺p_2=p_1+\gamma (z_1-z_2)$

:LiFileText: A pressão é constante em cada plano horizontal (no mesmo fluido contínuo) e cresce $\gamma h$ ao descer $h$. Num reservatório aberto: $p_{rel}=\gamma h$.

Símbolos: $p$ = pressão (Pa) · $z$ = cota (m, para cima) · $p/\gamma$ = altura piezométrica · $p/\gamma +z$ = cota piezométrica · $h$ = profundidade.

Pressão absoluta e relativa; unidades

$p_{rel}=p_{abs}-p_{atm},h=\frac{p}{\gamma },p_{atm}=1,012\times 10^5\text{Pa}=10,33\text{m c.a.}=760\text{mmHg}$

:LiBrain: Com a pressão dada em absoluta, o primeiro gesto é subtrair $p_{atm}$ (saiu nos dois MAP1). Para exprimir em m c.a. divide-se por 9800; em mmHg, por ${\gamma }_{Hg}$.

Símbolos: $p_{rel}$ = pressão relativa (manométrica) · $p_{abs}\ge 0$ = pressão absoluta · $h$ = altura de coluna equivalente · 1 bar $=10^5$ Pa.

Fluido em movimento de corpo rígido (aceleração constante)

$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a}),\tan \beta =-\frac{a_x}{g+a_z}\stackrel{a_z=0}{\to }\tan \beta =-\frac{a_x}{g}$

:LiFileText: As isobáricas (e a superfície livre) são perpendiculares a $\vec{g}-\vec{a}$; a pressão aumenta para trás (lado oposto a $\vec{a}$). Num recipiente aberto, a conservação do volume fixa a superfície livre. Nunca saiu no MAP1.

Símbolos: $\vec{a}$ = aceleração do recipiente · $\vec{g}=(0,0,-g)$ · $\beta$ = inclinação das isobáricas com a horizontal.

Regra do percurso (manómetros)

$p_{fim}=p_{in\acute{ı}cio}+{\sum }_{\text{troc¸os}}{\gamma }_i(z_{in\acute{ı}ciotro\stackrel{\backslash c}{c}o}-z_{fimtro\stackrel{\backslash c}{c}o})(\text{desce}\Rightarrow +\gamma \Delta z,\text{sobe}\Rightarrow -\gamma \Delta z)$

:LiBrain: Percorre-se o circuito do ponto conhecido até ao pedido, sempre com o $\gamma$ do líquido em que se está. Nas interfaces a pressão é a mesma dos dois lados; num gás, a pressão é uniforme (cota irrelevante).

Símbolos: ${\gamma }_i$ = peso volúmico do troço $i$ · $z$ = cotas dos extremos de cada troço.

Manómetro em U

$p_A={\gamma }_m\Delta h-\gamma h(\text{gaˊs na conduta: }{p}_A\approx {\gamma }_m\Delta h)$

Caso particular da regra do percurso, com o ramo aberto à atmosfera ($p_{rel}=0$).

Símbolos: ${\gamma }_m$ = peso volúmico do líquido manométrico · $\Delta h$ = desnível entre as superfícies do líquido manométrico · $\gamma$ = peso volúmico do líquido da conduta · $h$ = altura do ponto A acima da interface.

Manómetro diferencial

$\left(\frac{p_1}{\gamma }+z_1\right)-\left(\frac{p_2}{\gamma }+z_2\right)=\left(\frac{{\gamma }_m}{\gamma }-1\right)\Delta h$

Mede a diferença de cotas piezométricas entre dois pontos de uma conduta, independentemente da cota do manómetro.

Símbolos: $\gamma$ = líquido dos dois ramos · ${\gamma }_m$ = líquido manométrico (por baixo) · $\Delta h$ = desnível do líquido manométrico.

Atalho de verificação

Mesma cota ⇒ mesma pressão só no mesmo fluido contínuo. O mercúrio pesa 13,6 vezes a água: 0,1 m de Hg ≈ 1,36 m c.a., não o esquecer numa coluna estratificada.

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:LiRectangleHorizontal: 3. Impulsão em superfícies planas

Módulo da impulsão

$\Pi =\gamma h_{0}S=p_{0}S(\text{superfıˊcie horizontal: }\Pi =pS)$

:LiFileText: A força é a pressão no centroide vezes a área molhada; normal à placa, do fluido para a placa.

Símbolos: $h_0$ = profundidade vertical do centroide · $p_0$ = pressão no centroide · $S$ = área molhada.

Centro de impulsão (Steiner)

$Y=y_0+\frac{I_G}{S{y}_0}⟺y^{\prime }=Y-y_0=\frac{I_G}{S{y}_0},y_0=\frac{h_0}{\sin \theta }$

:LiFileText: O CI fica sempre abaixo do centroide, à distância $y^{\prime }$ medida ao longo do plano. Numa superfície simétrica, está no eixo de simetria. Placa vertical que começa na superfície livre: CI a $2/3$ da altura a contar do topo.

Símbolos: $Y$ = posição do CI no plano (a partir da intersecção com a superfície livre) · $y_0$ = posição do centroide no plano · $I_G$ = momento de inércia em relação ao eixo por G paralelo a Ox · $\theta$ = inclinação da placa com a horizontal.

Figuras planas (área, centroide, $I_G$)

Figura	$S$	Centroide	$I_G$
Retângulo $b\times h$ :LiFileText:	$bh$	$h/2$	$b{h}^3/12$
Triângulo (base $b$, altura $h$)	$bh/2$	$h/3$ acima da base	$b{h}^3/36$
Círculo (raio $R$)	$\pi R^2$	centro	$\pi R^4/4$
Semicírculo	$\pi R^2/2$	$4R/3\pi =0,4244R$ do diâmetro	$0,1098R^4$
Quarto de círculo :LiFileText:	$\pi R^2/4$	$0,4244R$ de cada lado reto	$0,0549R^4$
Setor circular (ângulo $\theta$ em graus) :LiFileText:	$\pi R^2\theta /360$	—	—

Tabela de apoio para $\Pi$, $y^{\prime }$ e para o centroide do volume de ${\Pi }_v$ (§4).

Símbolos: $b$ = largura · $h$ = altura · $R$ = raio · $I_G$ em relação ao eixo horizontal pelo centroide.

Método do diagrama de pressões

$\Pi =\frac{p_1+p_2}{2}Lb,d=\frac{L}{3}\frac{p_1+2p_2}{p_1+p_2}(\text{a partir do lado de }{p}_1)$

A impulsão é o volume do diagrama (trapézio) de pressões, aplicado no seu centroide. Útil para o braço de momento numa placa retangular com topo e fundo a cotas conhecidas.

Símbolos: $p_1,p_2$ = pressões no topo e no fundo da placa · $L$ = comprimento da placa no plano · $b$ = largura · $d$ = distância do CI ao topo, medida no plano.

Superfície livre equivalente

$h_{eq}=\frac{p_{topo}}{{\gamma }_{placa}}\left(\text{gaˊs: }{p}_{topo}=p_g;\text{lıˊquido 1 sobre o 2: }{h}_{eq}=\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_2}{e}_1\right)$

Substitui um gás pressurizado ou uma camada de outro líquido por uma coluna fictícia do líquido em contacto com a placa; depois aplica-se $\Pi =\gamma h_{0}S$ e $y^{\prime }$ com $h_0$ medido a partir dela.

Símbolos: $p_{topo}$ = pressão no topo do líquido em contacto · ${\gamma }_{placa}$ = peso volúmico desse líquido · $e_1$ = espessura da camada superior.

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:LiShip: 4. Arquimedes e superfícies curvas

Teorema de Arquimedes

$\Pi =\gamma {\forall }_{imerso},{\Pi }_h=0,\text{flutuac¸a˜o: }\frac{{\forall }^{\prime }}{\forall }=\frac{{\gamma }_c}{\gamma }$

:LiFileText: Impulsão vertical, para cima, igual ao peso do fluido deslocado, aplicada no centroide do volume imerso. Corpo submerso suspenso: $T=({\gamma }_c-\gamma )\forall$. Corpo assente e vedado no fundo: não há Arquimedes.

Símbolos: $\gamma$ = peso volúmico do fluido · ${\forall }_{imerso}$ = volume deslocado · ${\gamma }_c$ = peso volúmico do corpo · ${\forall }^{\prime }$ = volume imerso de um corpo que flutua.

Corpo na interface de dois líquidos

${\Pi }_v={\gamma }_A{\forall }_A+{\gamma }_B{\forall }_B,{\Pi }_h=0$

Cada parte do corpo recebe a impulsão do líquido em que está.

Símbolos: ${\forall }_A,{\forall }_B$ = volumes do corpo em cada líquido · ${\gamma }_A,{\gamma }_B$ = pesos volúmicos.

Componente horizontal numa superfície curva

${\Pi }_h=\gamma h_0{S}_v,y^{\prime }=\frac{I_G}{S_v{h}_0}$

:LiFileText: É a impulsão sobre a projeção vertical da parte molhada; aplica-se no CI dessa projeção. Projeção retangular que começa na superfície livre: CI a $1/3$ da altura a contar da base.

Símbolos: $S_v$ = área da projeção vertical · $h_0$ = profundidade do centroide da projeção · $I_G$ = da projeção.

Componente vertical numa superfície curva

${\Pi }_v=\gamma \forall \{\begin{array}{ll}\downarrow & \text{volume real (aˊgua por cima da superfıˊcie)}\\ \uparrow & \text{volume fictıˊcio (aˊgua por baixo)}\end{array}$

:LiFileText: $\forall$ é o volume entre a superfície e o plano da superfície livre (ou plano de carga), aplicado no seu centroide. Decompor em retângulos ± quartos de círculo. Vários líquidos: ${\Pi }_v=\sum {\gamma }_i{\forall }_i$.

Símbolos: $\forall$ = volume (por metro de largura em 2D: área × 1) · plano de carga = superfície livre (real ou equivalente).

Centroide composto (braço de ${\Pi }_v$)

$\bar{x}=\frac{\sum A_i{x}_i}{\sum A_i}(\text{aˊreas a subtrair entram com }-)$

:LiBrain: Dá a linha de ação de ${\Pi }_v$ quando o volume é retângulo + quarto de círculo. Medir $x_i$ a partir de uma referência e converter depois para o ponto de rotação.

Símbolos: $A_i$ = área de cada parte · $x_i$ = abcissa do centroide de cada parte (quarto de círculo: $0,4244R$ do lado reto).

Resultante e direção

$\Pi =\sqrt{{\Pi }_h^2+{\Pi }_v^2},\tan \theta =\frac{{\Pi }_v}{{\Pi }_h}$

Módulo e ângulo com a horizontal. Em 3D há duas componentes horizontais, cada uma pela sua projeção.

Símbolos: $\theta$ = ângulo da resultante com a horizontal.

Superfície circular

$\text{linha de ac¸a˜o de }\vec{\Pi }\text{ pelo centro }O\Rightarrow M_O(\vec{\Pi })=0(\text{verificac¸a˜o: }{\Pi }_h{b}_h={\Pi }_v{b}_v)$

:LiBrain: As pressões são radiais, logo a resultante passa pelo centro do arco. Comporta de segmento articulada no centro ⇒ momento hidrostático nulo (o servomotor só vence o peso). Resposta qualitativa de 3 val. em 2024-25.

Símbolos: $b_h,b_v$ = braços de ${\Pi }_h$ e ${\Pi }_v$ em relação a O.

Equilíbrio de uma comporta / derrube de um dique

$\sum M_O=0:\sum F_{estab}b-\sum F_{derrub}b=0(\text{abertura: }{R}_{apoio}=0)$

:LiBrain: Momentos em torno da articulação (comporta) ou do pé de jusante (derrube), com braços perpendiculares às linhas de ação. Num dique, $G$ e o ${\Pi }_v$ sobre a face de montante estabilizam; ${\Pi }_h$ derruba. $\sum F_x=\sum F_z=0$ dão as reações.

Símbolos: $O$ = ponto de rotação · $b$ = braço · $R_{apoio}$ = reação do batente (anula-se no início da abertura).

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:LiWind: 5. Hidrocinemática I — aceleração e linhas

Derivada material

$\frac{DA}{Dt}=\underset{\text{local}}{\underbrace{\frac{\partial A}{\partial t}}}+\underset{\text{convectiva}}{\underbrace{u\frac{\partial A}{\partial x}+v\frac{\partial A}{\partial y}+w\frac{\partial A}{\partial z}}}$

:LiFileText: Variação de $A$ seguindo a partícula = variação num ponto fixo + transporte pela velocidade.

Símbolos: $A$ = qualquer grandeza (escalar ou componente de vetor) · $\vec{u}=(u,v,w)$ = campo de velocidades.

Vetor aceleração

$a_x=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},a_y=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}$

A derivada material aplicada a cada componente de $\vec{u}$ (o mesmo para $a_z$ com $w$). Campo com $t$ ⇒ a parcela local conta. Permanente não implica $\vec{a}=\vec{0}$ (a convectiva pode existir).

Símbolos: ${\partial }_t\vec{u}$ = aceleração local · $(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}$ = aceleração convectiva (m/s²).

Trajetória

$\frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{u}(\vec{x},t),\vec{x}={\vec{x}}_0\text{em}t=t_0$

:LiFileText: Caminho de uma partícula: $t$ varia; integrar cada componente, impor a condição inicial e eliminar $t$.

Símbolos: ${\vec{x}}_0$ = posição no instante $t_0$.

Linha de corrente

$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}(t\text{fixo})$

:LiFileText: Linha tangente a $\vec{u}$ num instante. Separar variáveis, integrar com logaritmos, impor o ponto (ex.: $\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{-y}\Rightarrow x{y}^2=C$). Em 2D, uma equação; em 3D, duas.

Símbolos: $t$ = parâmetro fixo (costuma cancelar) · $C$ = constante fixada pelo ponto dado.

Linha de filamento

$\frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{u}(\vec{x},t),{\int }_{{\vec{x}}_0(\text{em }t)}^{\vec{x}(\text{em }{t}_0)}$

Lugar das partículas que passaram por ${\vec{x}}_0$ (corante, fumo): as EDO das trajetórias com os limites trocados; elimina-se o instante de emissão $t$.

Símbolos: ${\vec{x}}_0$ = ponto de injeção · $t$ = instante de passagem em ${\vec{x}}_0$ · $t_0$ = instante de observação.

As três linhas

Trajetória: fixa-se a partícula ($t$ varia) · corrente: fixa-se o instante · filamento: fixa-se o ponto. Em regime permanente coincidem (o recíproco é falso).

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:LiCylinder: 6. Hidrocinemática II — caudal, classificação, rotação

Caudal e velocidade média

$Q={\int }_S\vec{u}\cdot \vec{n}dS,U=\frac{Q}{S}\Rightarrow Q=US,\text{2D: }q={\int }_{\ell }\vec{u}\cdot \vec{n}d\ell$

:LiBrain: Só a componente normal transporta caudal ($dQ=u\cos \alpha dS$). Em 2D o caudal é por metro de largura.

Símbolos: $Q$ = caudal (m³/s) · $U$ = velocidade média na secção · $\vec{n}$ = normal à secção · $q$ = caudal unitário (m²/s) · $\alpha$ = ângulo entre $\vec{u}$ e a normal.

Classificação do escoamento

$\text{permanente}\iff \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\vec{0},\text{uniforme}\iff \frac{\partial \vec{u}}{\partial x_i}=\vec{0}(\text{em tubos: }\partial \vec{u}/\partial s=\vec{0})$

:LiBrain: Duas perguntas independentes: tempo (permanente/variável) e espaço (uniforme/variado). Justificar sempre com a derivada escrita. 1D/2D/3D = número de coordenadas de que $\vec{u}$ depende.

Símbolos: $x_i$ = coordenadas espaciais · $s$ = abcissa ao longo da linha de corrente.

Condição de incompressibilidade

$\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$

:LiBrain: Sem deformação volumétrica ⇔ comporta-se como incompressível. Só as derivadas diagonais. $>0$ expansão, $<0$ contração (s⁻¹).

Símbolos: $\nabla \cdot \vec{u}$ = divergência (taxa de variação de volume por unidade de volume).

Rotacional, rotação e vorticidade

$\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ u& v& w\end{array}\right|,\vec{\omega }=\frac{1}{2}\nabla \times \vec{u},\vec{\Omega }=2\vec{\omega },\text{2D: }\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$

:LiFileText: Irrotacional ⇔ $\nabla \times \vec{u}=\vec{0}$ em todo o domínio. Irrotacional ≠ trajetórias retas.

Símbolos: $\vec{\omega }$ = velocidade angular de rotação (rad/s) · $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{u}$ = vorticidade (s⁻¹).

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:LiScale: 7. Conservação da massa

Teorema de Transporte de Reynolds (Vc fixo)

$\frac{D\mathbf{B}}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{{\forall }_c}\rho \mathbf{b}d\forall +{\int }_{S_c}\rho \mathbf{b}(\vec{u}\cdot \vec{n})dS$

A variação de uma grandeza do sistema = variação dentro do Vc + fluxo pela superfície de controlo. Com $\mathbf{b}=1,\vec{u},\vec{x}\times \vec{u},e$ dá as quatro leis. Vc móvel: no fluxo usa-se ${\vec{u}}_r=\vec{u}-{\vec{u}}_s$.

Símbolos: $\mathbf{B}$ = grandeza extensiva · $\mathbf{b}$ = grandeza por unidade de massa · ${\forall }_c$ = volume de controlo · $S_c$ = superfície de controlo · $\vec{n}$ = normal exterior.

Continuidade em regime variável

$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{{\forall }_c}\rho d\forall +{\int }_{S_c}\rho (\vec{u}\cdot \vec{n})dS=0$

Variação da massa no Vc + caudal mássico que sai = 0. Base dos problemas de reservatórios (kg/s em cada termo).

Símbolos: $\rho$ = massa volúmica · $\vec{u}\cdot \vec{n}$ = velocidade normal (+ a sair, − a entrar).

Continuidade em regime permanente

${\sum }_k(\pm ){\rho }_k{U}_k{S}_k=0\stackrel{\rho =\text{cte}}{\to }{\sum }_{entradas}Q={\sum }_{sa\acute{ı}das}Q(Q_1=Q_2\Rightarrow U_1{S}_1=U_2{S}_2)$

:LiBrain: Fecha caudais em ramificações e dá as velocidades $U_k=Q/S_k$ — é sempre o passo 1. Não arredondar $S$ nem $U$.

Símbolos: $+$ saídas, $-$ entradas · $U_k$ = velocidade normal média · $S_k$ = área da secção $k$.

Esvaziamento de um reservatório

$U_1=-\frac{dh}{dt}=\frac{S_2}{S_1}\sqrt{2gh},\sqrt{h}=\sqrt{h_0}-\frac{\sqrt{2g}}{2}\frac{S_2}{S_1}t,t_{esv}=\frac{S_1}{S_2}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

Continuidade entre a superfície livre (1) e o orifício (2), com $U_2=\sqrt{2gh}$; reservatório prismático. Pouco provável em 60 min.

Símbolos: $h$ = altura da superfície livre acima do eixo do orifício · $S_1$ = área do reservatório · $S_2$ = área do orifício · $h_0$ = altura inicial.

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:LiRocket: 8. Quantidade de movimento — Teorema de Euler

Teorema de Euler

$\vec{G}+\vec{\Pi }+\vec{I}+{\vec{M}}_1-{\vec{M}}_2=\vec{0},{\vec{M}}_k=\rho Q_k{\vec{U}}_k,{\vec{F}}_{estrutura}=-\vec{R}$

:LiBrain: Equilíbrio de forças no Vc. $\vec{\Pi }$ inclui as pressões nas secções abertas ($p_k{S}_k$, para dentro) e a reação das paredes $\vec{R}$. Regime permanente ⇒ $\vec{I}=\vec{0}$. Pressões relativas (jato livre: $p=0$).

Símbolos: $\vec{G}$ = peso do fluido no Vc · $\vec{\Pi }$ = forças de contacto · $\vec{I}$ = força de inércia local · ${\vec{M}}_1,{\vec{M}}_2$ = fluxos de quantidade de movimento à entrada e à saída (N), com o sentido de $\vec{U}$ · $\vec{R}$ = força da estrutura sobre o fluido.

Força numa curva em pressão (plano horizontal)

$R_x=-(p_1{S}_1+\rho Q{U}_1)+(p_2{S}_2+\rho Q{U}_2)\cos \theta ,R_y=(p_2{S}_2+\rho Q{U}_2)\sin \theta$

Projeção do Teorema de Euler numa curva com a entrada segundo $x$ e a saída a fazer o ângulo $\theta$ com $x$ ($\vec{G}$ vertical, fora do plano). A força na curva é $\vec{F}=-\vec{R}$.

Símbolos: $p_1,p_2$ = pressões relativas nas secções · $S_1,S_2$ = áreas · $U_k=Q/S_k$ · $\theta$ = ângulo de desvio.

Euler num canal (superfície livre)

$\frac{\gamma B{h}_1^2}{2}-\frac{\gamma B{h}_2^2}{2}+\rho Q(U_1-U_2)+R_x=0$

Nas secções de um canal retangular a impulsão é hidrostática, $\gamma B{h}^2/2$. Serve para ressaltos ($R_x=0$) e forças em comportas/soleiras.

Símbolos: $B$ = largura do canal · $h_1,h_2$ = alturas de escoamento · $U_k=Q/(B{h}_k)$ · $R_x$ = força da estrutura sobre o fluido.

Volume de controlo móvel

${\vec{u}}_r=\vec{u}-{\vec{u}}_s,Q_r=\int {\vec{u}}_r\cdot \vec{n}dS,{\vec{M}}_k=\rho Q_{r,k}{\vec{u}}_{r,k}$

Para pás/placas que se movem com velocidade constante ${\vec{u}}_s$: no referencial do Vc aplica-se Euler com as velocidades relativas.

Símbolos: ${\vec{u}}_s$ = velocidade do Vc · ${\vec{u}}_r$ = velocidade relativa · $Q_r$ = caudal relativo.

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:LiRotateCw: 9. Momento da quantidade de movimento

Teorema dos momentos

${\vec{\Gamma }}_G+{\vec{\Gamma }}_{\Pi }+{\vec{\Gamma }}_I+{\vec{\Gamma }}_{M_1}-{\vec{\Gamma }}_{M_2}=\vec{0},{\vec{\Gamma }}_{M_k}={\vec{x}}_k\times \rho Q_k{\vec{u}}_k$

O Teorema de Euler escrito em momentos em torno de O (aspersores, binário num apoio). Só a componente tangencial de $\vec{u}$ dá momento em torno de um eixo.

Símbolos: $\vec{\Gamma }$ = momentos (N·m) · ${\vec{x}}_k$ = vetor posição da secção $k$ em relação a O · ${\vec{\Gamma }}_I=\vec{0}$ em regime permanente.

Torniquete em rotação

$u_2=W-\omega r,{\Gamma }_R=\rho Q_1{r}^2\omega -\rho r\frac{Q_1^2}{2S_2},{\omega }_{max}=\frac{W}{r}({\Gamma }_R=0)$

A massa usa a velocidade relativa $W=Q_1/(2S_2)$; a quantidade de movimento usa a absoluta $u_2$. rpm → rad/s: $\omega =2\pi N/60$.

Símbolos: $W$ = velocidade relativa à saída do bocal · $\omega$ = velocidade angular · $r$ = raio do braço · $S_2$ = área de cada bocal · ${\Gamma }_R$ = binário resistente.

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:LiZap: 10. Energia — carga, perdas e máquinas

Carga hidráulica

$H=\frac{p}{\gamma }+z+\frac{U^2}{2g}[\text{m c.a.}]$

:LiBrain: Energia mecânica por unidade de peso numa secção (escoamento permanente, incompressível, velocidades uniformes). O sentido do escoamento é de $H$ maior para $H$ menor.

Símbolos: $p/\gamma$ = altura piezométrica · $z$ = cota geométrica · $U^2/2g$ = altura cinética.

Equação da energia entre duas secções

$\frac{p_1}{\gamma }+z_1+\frac{U_1^2}{2g}+H_t=\frac{p_2}{\gamma }+z_2+\frac{U_2^2}{2g}+H_u+\Delta H_{1\to 2}$

:LiBrain: Balanço de carga de 1 (montante) para 2 (jusante): a bomba dá carga ($H_t$), a turbina retira ($H_u$), as perdas dissipam ($\Delta H$). Tira a pressão que falta quando as velocidades já são conhecidas.

Símbolos: $H_t$ = altura de elevação da bomba · $H_u$ = queda útil da turbina · $\Delta H_{1\to 2}$ = perda de carga entre 1 e 2 (todos em m).

Perda de carga e potência dissipada

$\Delta H=H_1-H_2,J=\frac{\Delta H}{L},P_{dissip}=\gamma Q\Delta H$

:LiBrain: Sem máquinas, a diferença de cargas é a energia dissipada. $J$ é a perda unitária (m/m, adimensional).

Símbolos: $\Delta H$ = perda de carga (m) · $J$ = perda de carga unitária · $L$ = comprimento da conduta · $P$ em W.

Turbinas e bombas: potência hidráulica

$\text{turbina: }{H}_u=H_1-H_2,\text{bomba: }{H}_t=H_2-H_1,P_h=\gamma QH$

:LiBrain: Potência trocada entre o escoamento e a máquina, sem rendimentos (conduta curta, perdas desprezáveis).

Símbolos: $1$ = montante, $2$ = jusante da máquina · $P_h$ = potência hidráulica (W) · $Q$ em m³/s · $H$ em m.

Energia + Euler (força numa máquina em conduta)

$\frac{p_2}{\gamma }=\frac{p_1}{\gamma }+z_1-z_2+\frac{U_1^2-U_2^2}{2g}-\frac{P}{\gamma Q}\Rightarrow R_x=\rho Q(U_2-U_1)-p_1{S}_1+p_2{S}_2,F_x=-R_x$

A energia dá $p_2$ (turbina: $-P/\gamma Q$; bomba: $+P/\gamma Q$); só depois Euler dá a força axial no invólucro. O binário do veio não dá força axial.

Símbolos: $P$ = potência da máquina · $S_1,S_2$ = áreas das secções · $R_x$ = força da máquina sobre o fluido.

Ordem de ataque num problema de escoamento

Vc (secções ⊥ ao escoamento, normal exterior) → massa ($U_k=Q/S_k$) → energia (pressões, perdas, potências) → Euler / momentos (forças, binários) → $\vec{F}=-\vec{R}$.

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:LiCompass: Checklist — que ferramenta usar?

Sintoma do enunciado	Ferramenta	Onde
Pressão dada “absoluta”; pede-se em “m c.a.”	$p_{rel}=p_{abs}-p_{atm}$; $h=p/9800$	§2.4
Vários líquidos estratificados; densidade desconhecida	$p_{fundo}=\sum {\gamma }_i{h}_i$, ${\gamma }_i=d_i\cdot 9800$	§2.3
Tubo em U, mercúrio, gás, “manómetro diferencial”	regra do percurso (desce +, sobe −)	§2.5
Recipiente acelerado	$\tan \beta =-a_x/g$ + conservação do volume	§2.2
Força / ponto de aplicação numa comporta plana	$\Pi =\gamma h_{0}S$; $y^{\prime }=I_G/(S{y}_0)$ ou diagrama	§3.3–§3.4
Gás pressurizado ou dois líquidos sobre a placa	superfície livre equivalente	§3.5
”flutua”, “submerso”, “peso aparente”	$\Pi =\gamma {\forall }_{imerso}$	§4.1
Comporta/dique com face curva (“por metro”)	${\Pi }_h=\gamma h_0{S}_v$ + ${\Pi }_v=\gamma \forall$ (real ↓ / fictício ↑)	§4.3
Arco circular; “o momento é maior, menor ou igual?“	resultante pelo centro ⇒ $M_O=0$	§4.4
”peso mínimo”, “derrube”, “força para abrir”, “servomotor”	$\sum M_O=0$ com braços ⊥; centroide composto	§4.5
Campo $\vec{u}(x,y,t)$; “aceleração no ponto”	local + convectiva, simbólico e depois substituir	§5.4
”linha de corrente que passa em … no instante …”	$dx/u=dy/v$, $t$ fixo, impor o ponto	§5.6
”trajetória” / “linha de filamento”	$d\vec{x}/dt=\vec{u}$ ($t$ varia) / limites trocados	§5.5, §5.7
”incompressível?” / “permanente? uniforme?” / “rotacional?”	$\nabla \cdot \vec{u}$ / ${\partial }_t$ e ${\partial }_{x_i}$ / $\nabla \times \vec{u}$	§6.3–§6.5
Caudal numa ramificação; velocidade numa secção	$\sum Q_{ent}=\sum Q_{sa\acute{ı}}$; $U=Q/S$	§7.5
”pressão a jusante”, “sentido do escoamento”, “perda de carga”	carga $H$ nas duas secções	§10.3–§10.4
”bomba”, “turbina”, “potência”, “altura de elevação”	$P_h=\gamma QH$	§10.5
”força na curva / bocal / bifurcação / maciço”	Teorema de Euler; $\vec{F}=-\vec{R}$	§8.3, §9.1
”binário”, “aspersor”, “torniquete”	teorema dos momentos	§9.3–§9.4

Erros a evitar

Misturar pressão relativa e absoluta (subtrair $p_{atm}$ logo; $t_v$ é absoluta; Euler usa relativas) · $\gamma$ em N/m³, não em Pa; $\gamma =d\cdot 9800$ e manter $g=9,8$ em todo o problema · no manómetro, somar ao subir (é $-\gamma \Delta z$) · contar a cota dentro de um gás · $h_0$ é profundidade vertical, $y_0$ e $y^{\prime }$ medem-se no plano · ${\Pi }_h$ só sobre a projeção da parte molhada · ${\Pi }_v$ com o volume até à superfície livre e o sentido certo (real ↓, fictício ↑); o quarto de círculo soma ou subtrai conforme o desenho · pôr o ${\Pi }_v$ de montante do lado derrubador · braços não perpendiculares ou medidos de outro ponto que não o de rotação · na abertura, anular a reação do apoio, não a da articulação · esquecer ${\partial }_t\vec{u}$ na aceleração de um campo variável · tratar $t$ como variável na linha de corrente · o fator do integral ($\frac{dx}{2x}$ dá $\frac{1}{2}\ln x$) · permanente ≠ uniforme · decidir o sentido do escoamento pela pressão em vez da carga · bomba/turbina com o sinal trocado · em Euler, desenhar $p_k{S}_k$, ${\vec{M}}_1$ e $-{\vec{M}}_2$ que não sejam para dentro do Vc; esquecer $\vec{F}=-\vec{R}$ · arredondar $S$ ou $U$ antes de uma diferença · “por metro” vs total.

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:LiLink: Notas relacionadas

• 📘 Resumo — MAP1 (hub) · Cap. 1 · Cap. 2 · Cap. 3 · Cap. 4
• 🎯 Guia de Estudo — MAP1
• MOC — Hidráulica I

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Recém-modificadas (DataviewJS)

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