1.3 Resumo HI - Hidrocinemática

📘 Resumo — Hidráulica I · Cap. 3: Hidrocinemática

Parent project: Hidráulica I · Hub: Resumo MAP1 (hub)

Âmbito

O que cobre: as Aulas 06–07 e o Cap. 3 do livro (§3.1–3.10), isto é, as secções §5 e §6 do Resumo MAP1: descrições euleriana/lagrangiana, aceleração, trajetórias e linhas de corrente/filamento, caudal, classificação, incompressibilidade e rotação.

Ligações: Hub do Resumo MAP1 (Mapa da Matéria, Checklist de Estratégia e Erros a evitar) · ← Cap. 2: Hidrostática · Cap. 4: Leis de conservação →

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🌀 5. Hidrocinemática I: descrição do movimento, aceleração e linhas (Aula 06 · §3.1–3.6)

5.1 Hidrocinemática: notação, partícula e variáveis de campo

Ideia

A Hidrocinemática (hidro = água, o primeiro fluido estudado; cinemática = movimento) estuda como o fluido se move, sem olhar às causas (forças, massas). Só usa grandezas cinemáticas, feitas de espaço e tempo: deslocamento, velocidade, aceleração, frequência, vorticidade. É a base das técnicas de medição e visualização, como a PIV (Particle Image Velocimetry), a PTV (seguimento de partículas) e a LDV (Laser Doppler).

• Em vez de seguir milhões de moléculas, trabalha-se com a partícula de fluido: o volume mínimo com moléculas suficientes para as propriedades não dependerem do seu tamanho (para a água, ${\forall }_{min}\approx 10^{-9}$ mm³, o Representative Elementary Volume).
• Com a hipótese do meio contínuo (§1.2), cada ponto do espaço tem um valor de cada propriedade. As variáveis de campo ($\rho$, $T$, $\vec{u}$, …) são funções contínuas da posição e do tempo, $\mathbf{A}=\mathbf{A}(x,y,z,t)$.

Armadilha

• O ${\forall }_{min}$ é $10^{-9}$ mm³ (expoente negativo).
• “Campo de velocidades” significa $\vec{u}$ em todos os pontos e instantes, e não a velocidade de uma partícula concreta. Os mapas de cores dos slides (estreitamento brusco; fronteira irregular) são imagens instantâneas de um campo.

Notação e sistemas de coordenadas (Cardoso et al., §3.2)

• Grandeza genérica $\mathbf{A}$: escalar $A$; vetor $\vec{A}$ ou $A_j$; tensor de 2.ª ordem $A_{ij}$. O número de índices dá a ordem do tensor. A convenção de Einstein soma nos índices repetidos: $u_k\partial A/\partial x_k={\sum }_{k=1}^3{u}_k\partial A/\partial x_k$.
• Coordenadas: cartesianas $P(x,y,z)$ ou $(x_1,x_2,x_3)$; intrínsecas $P(s,n,b)$; cilíndricas $P(r,\theta ,z)$; esféricas $P(r,\theta ,\phi )$. Na Hidráulica usam-se sobretudo as cartesianas e as intrínsecas.
• Intrínsecas: referencial local, ligado à linha de corrente que passa em P: $s$ tangente à linha de corrente (direção de $\vec{u}$), $n$ normal a $s$, $b$ binormal (normal às duas). $\vec{u}(x,y,z,t)=\underset{\text{seg. }x}{\underbrace{u}}\vec{i}+\underset{\text{seg. }y}{\underbrace{v}}\vec{j}+\underset{\text{seg. }z}{\underbrace{w}}\vec{k}[\text{m/s}]$
• Referencial inercial (de Galileu): imóvel ou em translação uniforme. Um referencial ligado à Terra é inercial em quase todos os problemas de Hidráulica (exceto correntes oceânicas e circulação atmosférica).

Como ler um campo de velocidades

• Estreitamento brusco (Fig. 3.2a): a velocidade aumenta ao aproximar-se do estreitamento; nos cantos junto ao degrau (perímetro exterior da secção A–A) há uma zona de estagnação ($\vec{u}\approx \vec{0}$); longe do estreitamento o perfil é quase uniforme.
• Fronteira irregular (Fig. 3.2b): a velocidade diminui junto à fronteira e cresce para a superfície.

5.2 Descrições euleriana e lagrangiana

Ideia

Há duas maneiras de “filmar” um escoamento:

• Euleriana (espacial): câmaras fixas em pontos do espaço (observador solidário com o referencial $(x,y,z)$) registam o que por lá passa. Pergunta: “o que se passa neste ponto?” Variáveis independentes: $(x,y,z,t)$.
• Lagrangiana (material ou substancial): uma câmara montada na partícula segue-a. Pergunta: “o que acontece a esta partícula?” A partícula é identificada pela posição ${\vec{x}}_0$ que ocupava em $t_0$. Variáveis independentes: $({\vec{x}}_0,t)$. É a descrição usada para corpos rígidos.
• Porque a Hidráulica usa Euler: as medições reais fazem-se em pontos fixos (sondas, molinetes). Além disso, a descrição euleriana precisa de $n_e$ equações, e a lagrangiana de $n_e\times n_p$ (uma por partícula). Lagrange só compensa com poucas partículas bem identificadas.

Armadilha

• Na lagrangiana, ${\vec{x}}_0$ não é uma posição atual: é o “nome” da partícula (onde estava em $t_0$). Em $t_0$ as duas descrições coincidem.
• Os nomes são historicamente “equívocos”: foi Euler quem deduziu as equações nas duas descrições; Lagrange só sistematizou a material.

As duas descrições (Cardoso et al., §3.3)

$\underset{\text{euleriana}}{\underbrace{\mathbf{A}=\mathbf{A}(\vec{x},t)=\mathbf{A}(x,y,z,t)}}\underset{\text{lagrangiana}}{\underbrace{\vec{x}=\vec{x}({\vec{x}}_0,t),\mathbf{A}=\mathbf{A}({\vec{x}}_0,t)}}$ Passar de Lagrange para Euler: inverte-se $\vec{x}=F({\vec{x}}_0,t)$ para obter ${\vec{x}}_0=F^{-1}(\vec{x},t)$ (exige unicidade, $J=\det F\ne 0$) e substitui-se. O livro faz isto no Ex 3.1 ($\det F=2e^t-1$) e obtém no Ex 3.2 o campo $u_1=u_2=\frac{e^t}{2e^t-1}(x_1+x_2)$.

5.3 Vetor velocidade e derivada material

Ideia

Siga-se uma partícula num campo de temperaturas. A temperatura que ela sente muda por duas razões: (1) o campo muda no tempo naquele sítio (o Sol aquece a água); (2) a partícula muda de sítio para uma zona com outra temperatura. A derivada material $D/Dt$ soma as duas: é a derivada “de quem viaja com a partícula”, escrita em linguagem euleriana.

Armadilha

• Usa-se $D$ maiúsculo para lembrar que se segue a partícula. $\partial \mathbf{A}/\partial t$ sozinho é só a variação num ponto fixo.
• Mesmo com $\partial \mathbf{A}/\partial t=0$ (campo permanente), a partícula pode ver $\mathbf{A}$ a variar, por causa do termo convectivo.

Velocidade e derivada material (Cardoso et al., §3.4)

Velocidade: taxa temporal do vetor posição de uma partícula, $\vec{u}({\vec{x}}_0,t)=\frac{d\vec{x}}{dt}(u_j=\frac{d{x}_j}{dt})$ Esta derivada é a derivada material (substancial ou total): $\vec{u}=D\vec{x}/Dt$. Dedução: expansão de 1.ª ordem, $\Delta \mathbf{A}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial z}\Delta z$. Divide-se por $\Delta t$ e faz-se $\Delta t\to 0$ seguindo a partícula, com $\Delta x/\Delta t\to u$, $\Delta y/\Delta t\to v$, $\Delta z/\Delta t\to w$: $\frac{D\mathbf{A}}{Dt}=\underset{\text{derivada local}}{\underbrace{\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}}}+\underset{\text{derivada convectiva}}{\underbrace{u\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}+v\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial y}+w\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial z}}}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot \nabla )\mathbf{A}$ Em notação indicial: $\frac{D{A}_j}{Dt}=\frac{\partial A_j}{\partial t}+u_k\frac{\partial A_j}{\partial x_k}$. Nos slides, $(\vec{u}|\vec{\nabla })$ é o produto interno $\vec{u}\cdot \nabla$.

• Material ($D\mathbf{A}/Dt$): variação total vista por um observador solidário com a partícula (lagrangiana).
• Local ($\partial \mathbf{A}/\partial t$): variação num ponto fixo do espaço (euleriana).
• Convectiva ($(\vec{u}\cdot \nabla )\mathbf{A}$): variação que resulta só do transporte, pela velocidade $\vec{u}$, da variação espacial de $\mathbf{A}$, com $t$ fixo.

Para coordenadas cilíndricas e esféricas, o livro remete para a Tabela 5 do Anexo (fora do âmbito).

Passos para calcular uma derivada material

1. Identificar o campo $\mathbf{A}(x,y,z,t)$ e as componentes $u,v,w$.
2. Calcular $\partial \mathbf{A}/\partial t$ e o gradiente $({\partial }_x\mathbf{A},{\partial }_y\mathbf{A},{\partial }_z\mathbf{A})$.
3. Montar $\frac{D\mathbf{A}}{Dt}={\partial }_t\mathbf{A}+u{\partial }_x\mathbf{A}+v{\partial }_y\mathbf{A}+w{\partial }_z\mathbf{A}$.
4. Só no fim substituir o ponto e o instante.

Quando usar

“Taxa de variação sentida pela partícula”, “variação da temperatura/concentração de uma partícula”, “derivada total/substancial”. Exemplo do livro (Ex 3.3): com $\vec{u}=(x_{1}t,x_2,3x_3)$ e $T=283+e^{-at}(x_1+b{x}_3)+2x_2$, obtém-se $\frac{DT}{Dt}=e^{-at}[x_1(t-a)+b{x}_3(3-a)]+2x_2$. No Ex 3.7, para seguir a temperatura de uma partícula concreta, integram-se as trajetórias ($x_1=x_{01}{e}^{t^2/2}$, $x_2=x_{02}{e}^t$, $x_3=x_{03}{e}^{3t}$) e substitui-se em $T$.

5.4 Vetor aceleração: local e convectiva

Ideia

A aceleração é a derivada material da própria velocidade. Há duas maneiras de uma partícula acelerar:

• Local: a torneira abre-se e o escoamento acelera em todo o lado ao mesmo tempo ($\partial \vec{u}/\partial t\ne 0$).
• Convectiva: mesmo com tudo constante no tempo, a partícula entra num estreitamento onde o campo é mais rápido (§5.1, Fig. 3.2a). Acelera porque muda de sítio.

Armadilha

• Permanente ⇒ aceleração local nula, mas a convectiva pode não ser (estreitamentos, curvas).
• Uniforme ⇒ aceleração convectiva nula, mas a local pode não ser.
• Os termos convectivos usam as componentes da velocidade no próprio ponto. Não esquecer termos cruzados como $v\partial u/\partial y$.

Vetor aceleração (Cardoso et al., §3.5)

$\vec{a}=\frac{D\vec{u}}{Dt}=\frac{d^2\vec{x}}{d{t}^2}=\underset{\text{1 ⋅ local}}{\underbrace{\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}}}+\underset{\text{2 ⋅ convectiva}}{\underbrace{(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}}}[{\text{m/s}}^2],a_j=\frac{\partial u_j}{\partial t}+u_k\frac{\partial u_j}{\partial x_k}$ Em componentes cartesianas: $a_x=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}$ $a_y=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}$ $a_z=\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}$ A aceleração convectiva é “o produto interno do vetor velocidade pelo respetivo gradiente espacial”. Também se pode obter $\vec{a}$ por via lagrangiana ($d^2\vec{x}/d{t}^2$ com ${\vec{x}}_0$ fixo) e converter depois para Euler (Ex 3.5).

Passos para calcular a aceleração de uma partícula

1. Escrever $u$, $v$, $w$ e montar a tabela das 12 derivadas (${\partial }_t$, ${\partial }_x$, ${\partial }_y$, ${\partial }_z$ de cada componente).
2. Montar $a_x$, $a_y$, $a_z$ em geral, como funções de $(x,y,z,t)$.
3. Substituir o ponto e o instante.
4. Se pedido: $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ e a separação local/convectiva.

Quando usar

“Aceleração da partícula que passa em $(x,y,z)$ no instante $t$”, “mostre que a aceleração é nula”, “classifique e calcule a velocidade e a aceleração”.

Exercício resolvido (Ex 3.4 do livro / Aula 06)

Considere o campo de velocidades (m/s) $\vec{u}=10x^2\vec{i}-20xy\vec{j}+100t\vec{k}$. Calcule o vetor aceleração da partícula que passa no ponto $(1,2,5)$ no instante $t=0,1$ s.

Resolução passo-a-passo

1. Derivadas: $u=10x^2$, com ${\partial }_{x}u=20x$ (as restantes são nulas); $v=-20xy$, com ${\partial }_{x}v=-20y$ e ${\partial }_{y}v=-20x$; $w=100t$, com ${\partial }_{t}w=100$. 2. Componentes: $a_x=(10x^2)(20x)=200x^3$ $a_y=(10x^2)(-20y)+(-20xy)(-20x)=-200x^{2}y+400x^{2}y=200x^{2}y$ $a_z=\frac{\partial w}{\partial t}=100$ 3. No ponto $(1,2,5)$: $\boxed{\vec{a}=200\vec{i}+400\vec{j}+100\vec{k}{\text{m/s}}^2},|\vec{a}|=\sqrt{210000}\approx \boxed{458,3{\text{m/s}}^2}$ O resultado não depende de $t$ (nem de $z$), por isso vale em qualquer instante. A parte local é $100\vec{k}$ e a convectiva é $200\vec{i}+400\vec{j}$. (Para confirmar o campo, a velocidade no ponto é $\vec{u}=10\vec{i}-40\vec{j}+10\vec{k}$ m/s.) (resolução do livro, que dá $|\vec{a}|\approx 458$ m/s²)

Lição

O termo $v\partial v/\partial y=+400x^{2}y$ vale o dobro, em módulo, de $u\partial v/\partial x=-200x^{2}y$ e troca o sinal de $a_y$: sem ele dava $-400$ em vez de $+400$. Montar sempre as quatro parcelas de cada componente antes de cortar as nulas.

Exercício resolvido (Prob 3.1 do livro — alínea b, indicada na Aula 06)

Para o campo $\vec{u}=4x\vec{i}+5y\vec{j}+2t\vec{k}$, determine a velocidade e a aceleração no ponto $(10,6,0)$ para $t=0$.

Resolução passo-a-passo

1. Velocidade: $\vec{u}=(4\times 10,5\times 6,2\times 0)=\boxed{(40,30,0)[L{T}^{-1}]}$. 2. Aceleração: cada componente só depende da sua própria coordenada, por isso só sobra um termo convectivo em cada uma: $a_x=u{\partial }_{x}u=4x\cdot 4=16x,a_y=v{\partial }_{y}v=5y\cdot 5=25y,a_z={\partial }_{t}w=2$ $\boxed{\vec{a}=(160,150,2)[L{T}^{-2}]}$ [resolução própria], que bate com a solução do livro. (A alínea a) está na §6.3.)

Lição

Em $t=0$ tem-se $w=0$, mas $a_z=2$, que vem toda da parte local. Uma componente da velocidade pode ser nula e a aceleração nessa direção não.

Exercício resolvido (Prob 3.6 do livro — alínea a, indicada na Aula 06)

Considere o campo $\vec{u}=u_0\sin \left[\omega \left(t-\frac{y}{v_0}\right)\right]\vec{i}+v_0\vec{j}$, com $u_0$, $v_0$ e $\omega$ constantes. Mostre que a aceleração é nula.

Resolução passo-a-passo

1. $a_x$: $u$ só depende de $t$ e de $y$. Com $\varphi =\omega (t-y/v_0)$: $a_x=\underset{{\partial }_{t}u}{\underbrace{u_0\omega \cos \varphi }}+\underset{v{\partial }_{y}u}{\underbrace{v_0\cdot u_0\cos \varphi \cdot \left(-\frac{\omega }{v_0}\right)}}=0$ 2. $a_y$: $v=v_0$ é constante, logo $a_y=0$. $\boxed{\vec{a}=\vec{0}}$ [resolução própria] (o livro não dá a solução deste problema).

Lição

As acelerações local e convectiva podem ser ambas não nulas e anular-se. Aqui a partícula viaja em $y$ à mesma velocidade $v_0$ com que a “onda” $\sin [\omega (t-y/v_0)]$ se propaga: vê sempre a mesma fase, por isso a sua velocidade não muda.

5.5 Linhas de escoamento I: trajetória

Ideia

Há três “linhas” para desenhar um escoamento (Cardoso et al., §3.6.1), e cada uma responde a uma pergunta diferente:

• Trajetória: por onde andou esta partícula? É uma fotografia de longa exposição de uma só partícula.
• Linha de corrente: para onde aponta a velocidade, agora, em cada ponto? É uma fotografia instantânea do campo.
• Linha de filamento: onde estão agora todas as partículas que passaram por um ponto? É o fumo de uma chaminé, ou um corante injetado continuamente.

Em geral as três são diferentes. Coincidem quando o campo não depende do tempo (regime permanente).

A trajetória é a linha das sucessivas posições ocupadas por uma partícula ao longo do tempo. Está associada a uma partícula específica (a que está em ${\vec{x}}_0$ em $t_0$), por isso é a linha “lagrangiana”.

Armadilha

• Na trajetória, o tempo é a variável de integração: o $t$ que aparece dentro de $u$, $v$, $w$ varia ao longo do percurso.
• Integrar primeiro as equações que só dependem de uma coordenada (por exemplo $dy/dt=2y$) e substituir depois nas outras.
• Pedem “a equação da trajetória”: é preciso eliminar $t$. As equações paramétricas não chegam.

Equações das trajetórias (Cardoso et al., §3.6.2)

$\frac{dx}{dt}=u(x,y,z,t);\frac{dy}{dt}=v(x,y,z,t);\frac{dz}{dt}=w(x,y,z,t)$ com a condição inicial $\vec{x}={\vec{x}}_0$ em $t=t_0$ (aqui $d/dt\equiv D/Dt$, eqs. 3.21–3.22 do livro). As soluções $x_i=x_i(x_0,y_0,z_0,t)$ são as equações paramétricas, que são precisamente a descrição lagrangiana. Eliminando $t$ obtém-se 1 equação em 2D ou 2 equações em 3D. Sem impor a condição inicial obtém-se a família de trajetórias.

Passos para obter uma trajetória

1. Escrever as EDO $dx/dt=u$, $dy/dt=v$, $dz/dt=w$.
2. Integrar entre $({\vec{x}}_0,t_0)$ e $(\vec{x},t)$, começando pela equação mais simples. As variáveis de integração são “variáveis mudas”.
3. Obter as paramétricas $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$.
4. Tirar $t$ de uma delas e substituir nas outras.
5. Substituir o ponto e o instante dados (ou deixar a família, se é isso que se pede).

Quando usar

“Trajetória da partícula que passa em … no instante …”, “percurso de uma partícula”, “descrição material”. Se o campo não depende de $t$, a trajetória é igual à linha de corrente, que é mais fácil de calcular (§5.6).

Exercício resolvido (Ex 3.6 do livro / Aulas 06–07)

Considere o escoamento caracterizado pelo campo de velocidades $\vec{u}=x(1+t)\vec{i}+2y\vec{j}$. Determine a equação da trajetória da partícula que passa no ponto $(1,1)$ no instante $t=0$.

Resolução passo-a-passo

1. Equação em $y$ (a mais simples): ${\int }_{y_0}^y\frac{dy}{y}={\int }_{t_0}^{t}2dt\Rightarrow y=y_0{e}^{2(t-t_0)}\Rightarrow t-t_0=\frac{1}{2}\ln \frac{y}{y_0}$ 2. Equação em $x$: ${\int }_{x_0}^x\frac{dx}{x}={\int }_{t_0}^t(1+t)dt\Rightarrow \ln \frac{x}{x_0}=(t-t_0)+\frac{t^2-t_0^2}{2}$ 3. Eliminar $t$ (família de trajetórias): $x=x_0{\left(\frac{y}{y_0}\right)}^{\frac{1+t_0}{2}+\frac{1}{8}\ln \frac{y}{y_0}}$ 4. Com $(x_0,y_0)=(1,1)$ e $t_0=0$: $\ln x=\frac{\ln y}{2}+\frac{(\ln y{)}^2}{8}$, logo $\boxed{x=y^{\left(\frac{1}{2}+\frac{\ln y}{8}\right)}}$ (resolução do livro, que bate com o resultado do slide 29 da Aula 07)

Lição

O $(1+t)$ dentro de $u$ varia ao longo do percurso porque é o tempo da própria partícula. É esse termo que dá o $\frac{(\ln y{)}^2}{8}$ e afasta a trajetória da linha de corrente $y=x^2$ (§5.6).

5.6 Linhas de escoamento II: linha de corrente

Ideia

A linha de corrente é uma linha tangente, em cada ponto, ao vetor velocidade nesse instante. É como as limalhas de ferro num íman: num instante, mostram a direção do campo em todo o lado. A família das linhas de corrente forma o padrão de escoamento desse instante. Como o campo pode mudar, as linhas de corrente definem-se em cada instante, e uma sucessão delas descreve a evolução do escoamento. É a linha “euleriana”.

Armadilha

• Na linha de corrente, o tempo $t$ é uma constante (um parâmetro). Integra-se só no espaço. Se aparecer $t$ no campo, fica como um número, igual ao instante pedido.
• Linhas de corrente não se cruzam num dado instante (exceto em pontos de estagnação, onde $\vec{u}=\vec{0}$), porque a velocidade num ponto só tem uma direção.

Equações diferenciais das linhas de corrente (Cardoso et al., §3.6.3)

Tangência entre $\vec{u}$ e o elemento de linha $d\vec{s}=(dx,dy,dz)$, ou seja, vetores paralelos: $\vec{u}\times d\vec{s}=\vec{0}\iff \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ u& v& w\\ dx& dy& dz\end{array}\right|=0\iff (vdz-wdy)\vec{i}+(wdx-udz)\vec{j}+(udy-vdx)\vec{k}=\vec{0}$ $\boxed{\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}}(t\text{ fixo})$ Em 2D é uma equação, $dx/u=dy/v$ (no plano $xy$, $dy/dx=v/u$); em 3D são duas, $dx/u=dy/v$ e $dy/v=dz/w$. A condição de fronteira é passar por ${\vec{x}}_0$ no instante $t_0$. 2.º método (do livro): usa-se um parâmetro auxiliar $t^{\ast }$, sem significado físico, com $d{t}^{\ast }=|d\vec{s}|/|\vec{u}|$: $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=d{t}^{\ast }\Rightarrow \frac{dx}{d{t}^{\ast }}=u(x,y,z,t),\frac{dy}{d{t}^{\ast }}=v(\dots ),\frac{dz}{d{t}^{\ast }}=w(\dots ),\text{com }t\text{ fixo}$ Resolve-se como uma trajetória em $t^{\ast }$ e elimina-se $t^{\ast }$.

Passos para obter uma linha de corrente

1. Congelar o tempo: substituir $t$ pelo instante pedido, ou deixá-lo como constante.
2. Escrever $dx/u=dy/v$ (e $dy/v=dz/w$ em 3D) e separar variáveis.
3. Integrar no espaço entre ${\vec{x}}_0$ e $\vec{x}$.
4. Substituir o ponto dado.

Quando usar

“Linha de corrente que passa em … no instante …”, “padrão de escoamento”, “família de linhas de corrente”, “mostre que a parede é uma linha de corrente”. Num escoamento permanente, este é o caminho mais rápido para obter também as trajetórias.

Exercício resolvido (Ex 3.8 do livro / "problema adicional" da Aula 07)

Considere o escoamento do Ex 3.6, $\vec{u}=x(1+t)\vec{i}+2y\vec{j}$. Determine a equação da linha de corrente que passa no ponto $(1,1)$ no instante $t=0$.

Resolução passo-a-passo

1. Método direto ($t$ constante): $\frac{dx}{x(1+t)}=\frac{dy}{2y}\Rightarrow \frac{1}{1+t}\ln \frac{x}{x_0}=\frac{1}{2}\ln \frac{y}{y_0}\Rightarrow y=y_0{\left(\frac{x}{x_0}\right)}^{\frac{2}{1+t}}$ que é a forma geral dada no slide 29 da Aula 07. 2. Método do parâmetro $t^{\ast }$: $x=x_0{e}^{(1+t)t^{\ast }}$ e $y=y_0{e}^{2t^{\ast }}$. Com $t^{\ast }=\frac{1}{2}\ln (y/y_0)$ obtém-se $x=x_0(y/y_0{)}^{(1+t)/2}$, que é a mesma curva. 3. Com $(1,1)$ e $t=0$: $\boxed{y=x^2}$ (resolução do livro)

Lição

No mesmo ponto e instante, a trajetória (§5.5) é $x=y^{1/2+\ln y/8}$ e a linha de corrente é $y=x^2$. As duas são tangentes em $(1,1)$ (aí $\vec{u}=(1,2)$, declive 2), mas afastam-se depois, porque o escoamento é variável.

Exercício resolvido (Ex 3.10 do livro / Aula 06)

Considere o campo $\vec{u}=x\vec{i}+x^2\vec{j}$. Obtenha (a) a família de linhas de corrente e (b) a família de trajetórias.

Resolução passo-a-passo

1. a) Linhas de corrente: $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{x^2}\Rightarrow xdx=dy\Rightarrow \boxed{y=y_0+\frac{x^2-x_0^2}{2}}$ 2. b) Trajetórias: primeiro em $x$, $dx/dt=x$, logo $x=x_0{e}^{t-t_0}$. Substitui-se em $dy/dt=x^2=x_0^2{e}^{2(t-t_0)}$: $y=y_0+\frac{x_0^2}{2}\left(e^{2(t-t_0)}-1\right)$ e, com $e^{t-t_0}=x/x_0$: $\boxed{y=y_0+\frac{x^2-x_0^2}{2}}$ (resolução do livro)

Lição

As duas famílias são iguais porque o campo não depende de $t$ (escoamento permanente). Num exame, se o campo não tem $t$, calcula-se a linha de corrente e diz-se que a trajetória coincide, justificando com a permanência.

5.7 Linhas de escoamento III: linha de filamento; comparação das três

Ideia

A linha de filamento (de rasto, ou “de fumaça”) é o lugar geométrico, num instante $t_0$, das partículas que já passaram (ou vão passar) por um ponto fixo ${\vec{x}}_0$. É o que se vê ao injetar continuamente fumo ou corante num ponto: a pluma da chaminé com vento variável. Cada partícula da pluma seguiu a sua trajetória, mas a pluma visível é a linha que une as partículas no instante da fotografia.

Para ver as três linhas em movimento, ver os vídeos da aula: Aula 06 — Filme e FlowLinesAnimation. Há também o campo Double Gyre em https://vimeo.com/47384530.

Armadilha

• Usam-se as mesmas EDO das trajetórias, mas com os limites trocados: a posição ${\vec{x}}_0$ corresponde ao instante genérico de emissão $t$, e a posição final $\vec{x}$ ao instante de observação $t_0$. O parâmetro que varia ao longo da linha é o instante de passagem em ${\vec{x}}_0$, e é esse que se elimina.
• Não confundir com a trajetória: na trajetória fixa-se a partícula; na linha de filamento fixa-se o ponto de emissão e o instante da fotografia.

Linha de filamento (Cardoso et al., §3.6.4)

$\frac{d{x}_i}{dt}=u_i(\vec{x},t),{\int }_{{\vec{x}}_0(\text{em }t)}^{\vec{x}(\text{em }{t}_0)}\Rightarrow x_i=x_i(x_0,y_0,z_0,t_0,t)$ Elimina-se $t$ (o instante de passagem em ${\vec{x}}_0$). Sem fixar ${\vec{x}}_0$ obtém-se a família.

Comparação das três linhas

Linha	O que se fixa	Variável de integração	Limites	Descrição
Trajetória	a partícula (${\vec{x}}_0$ em $t_0$)	$t$	${\vec{x}}_0$ em $t_0$ → $\vec{x}$ em $t$	lagrangiana
Linha de corrente	o instante $t$	espaço ($t$ = parâmetro)	${\vec{x}}_0$ → $\vec{x}$	euleriana
Linha de filamento	o ponto ${\vec{x}}_0$ e o instante $t_0$	$t$ (instante de emissão)	${\vec{x}}_0$ em $t$ → $\vec{x}$ em $t_0$	—

Em regime permanente as três coincidem. O recíproco é falso (Ex 3.12, §6.3).

Passos para obter uma linha de filamento

1. Integrar as EDO das trajetórias com os limites trocados: de ${\vec{x}}_0$ no instante $t$ até $\vec{x}$ no instante $t_0$.
2. Obter as paramétricas em função de $t$ (instante de emissão).
3. Tirar $t$ de uma equação e substituir nas outras.
4. Fazer $t_0$ igual ao instante da observação.

Quando usar

“Linha de filamento / de rasto / de fumaça”, “corante injetado continuamente em …”, “pluma”, “compare trajetória, linha de corrente e linha de filamento”.

Exercício resolvido (Ex 3.9 do livro / Aula 06)

Considere o escoamento do Ex 3.6, $\vec{u}=x(1+t)\vec{i}+2y\vec{j}$. Determine a linha de filamento que passa no ponto $(1,1)$ no instante $t_0=0$.

Resolução passo-a-passo

1. Integrar de $(x_0,y_0)$ no instante $t$ até $(x,y)$ no instante $t_0$: $\ln \frac{x}{x_0}=(t_0-t)+\frac{t_0^2-t^2}{2},y=y_0{e}^{2(t_0-t)}\Rightarrow t=t_0-\frac{1}{2}\ln \frac{y}{y_0}$ 2. Eliminar $t$, com $(x_0,y_0)=(1,1)$ e $t_0=0$: $t=-\frac{1}{2}\ln y$, logo $\ln x=\frac{1}{2}\ln y-\frac{1}{8}(\ln y{)}^2\Rightarrow \boxed{x=y^{\left(\frac{1}{2}-\frac{\ln y}{8}\right)}}$ 3. Comparação no mesmo ponto e instante (Fig. 3.10 do livro):

Linha	Equação	Expoente de $y$
Trajetória (Ex 3.6)	$x=y^{1/2+\ln y/8}$	$\frac{1}{2}+\frac{\ln y}{8}$
Linha de corrente (Ex 3.8)	$y=x^2\iff x=y^{1/2}$	$\frac{1}{2}$
Linha de filamento (Ex 3.9)	$x=y^{1/2-\ln y/8}$	$\frac{1}{2}-\frac{\ln y}{8}$

(resolução do livro)

Lição

A linha de corrente fica entre as outras duas. Na trajetória, $\ln y=2t$ e $\ln x=t+\frac{t^2}{2}$ ($t$ = tempo desde a passagem em $(1,1)$). Na linha de filamento, $\ln y=-2t$ e $\ln x=-t-\frac{t^2}{2}$ ($t$ = instante de emissão). Trocar $t$ por $-t$ inverte o sinal do termo quadrático face a $\ln y$, e por isso os termos em $(\ln y{)}^2$ têm sinais opostos.

Exercício resolvido (Prob 3.2 do livro — indicado na Aula 06)

Considere o escoamento bidimensional $\vec{u}=x(1+2t)\vec{i}+y\vec{j}$. Determine as equações (a) da trajetória, (b) da linha de corrente e (c) da linha de filamento que passam pelo ponto $(1;1)$ no instante $t=0$.

Resolução passo-a-passo

1. a) Trajetória (de $(1,1)$ em $t=0$ até $(x,y)$ em $t$): $\ln y=t$ e $\ln x=t+t^2$, logo $\boxed{x=y^{1+\ln y}}$ 2. b) Linha de corrente ($t=0$): $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$, logo $\boxed{x=y}$. 3. c) Linha de filamento (de $(1,1)$ no instante de emissão $\tau \le 0$ até $(x,y)$ em $t_0=0$): $\ln y=-\tau$ e $\ln x=-\tau -{\tau }^2$, logo $\boxed{x=y^{1-\ln y}}$ [resolução própria], que bate com a solução do livro.

Lição

É o mesmo padrão do Ex 3.6/3.8/3.9: a linha de corrente no meio, e a trajetória e a linha de filamento com o termo $\ln y$ de sinais opostos. Num campo do tipo $xf(t)$, este padrão aparece sempre.

Exercício resolvido (Ex 3.11 do livro / Aula 06 — campo tridimensional)

Considere o campo $\vec{u}=x^2\vec{i}+2t\vec{j}+zx\vec{k}$. Determine as equações da família e a equação que passa em $(1,1,1)$ no instante $t=0$ de (a) linhas de corrente, (b) trajetórias e (c) linhas de filamento.

Resolução passo-a-passo

1. a) Linhas de corrente (2 equações em 3D, $t$ fixo): $\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{2t}\Rightarrow y=y_0+2t\left(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}\right);\frac{dx}{x^2}=\frac{dz}{zx}\Rightarrow z=\frac{z_0}{x_0}x$ Em $(1,1,1)$ e $t=0$: $\boxed{y=1\text{e}z=x}$. 2. b) Trajetórias: $dx/dt=x^2$ dá $x={\left(\frac{1}{x_0}+t_0-t\right)}^{-1}$; $dy/dt=2t$ dá $y=y_0+t^2-t_0^2$; $dz/dt=zx$ dá $z=\frac{z_0}{x_0}x$. Com $t=\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}+t_0$: $y=y_0+{\left(t_0+\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}\right)}^2-t_0^2\Rightarrow \text{em }(1,1,1),t_0=0:\boxed{y=1+{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^2,z=x}$ 3. c) Linha de filamento (de ${\vec{x}}_0$ em $t$ até $\vec{x}$ em $t_0$): $x={\left(\frac{1}{x_0}+t-t_0\right)}^{-1}$, $y=y_0+t_0^2-t^2$, $z=\frac{z_0}{x_0}x$. Com $t=\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}+t_0$, $(1,1,1)$ e $t_0=0$: $\boxed{y=1-{\left(\frac{1}{x}-1\right)}^2,z=x}$ (resolução do livro)

Lição

Em 3D cada linha é dada por duas equações. A relação $z=x$ é igual nas três linhas porque $u$ e $w$ não dependem de $t$; só a componente $v=2t$, que é variável, as distingue. Mais uma vez, a trajetória e a linha de filamento ficam simétricas em relação à linha de corrente ($y=1$).

Exercício resolvido (Prob 3.5 do livro — injetor oscilante, indicado na Aula 06)

Um injetor com movimento oscilatório segundo $x$, no plano horizontal (Fig. 3.40), gera o campo $\vec{u}=3\sin (4t-2y)\vec{i}+2\vec{j}$. Determine:

• (a) a equação geral das linhas de corrente;
• (b) as linhas de corrente que passam na origem em $t=0$ e em $t=\pi /8$;
• (c) a equação geral das trajetórias, verificando que são retas que passam na origem (em rigor, só as da alínea d passam na origem);
• (d) as trajetórias que passam na origem em $t=0$ e em $t=\pi /8$;
• (e) se o escoamento é variável ou permanente;
• (f) se o fluido se comporta como compressível.

Resolução passo-a-passo

1. a) Linhas de corrente ($t$ fixo): $dx=\frac{u}{v}dy=\frac{3}{2}\sin (4t-2y)dy$, e como $\int \sin (4t-2y)dy=\frac{1}{2}\cos (4t-2y)$: $\boxed{x-x_0=\frac{3}{4}\left[\cos (4t-2y)-\cos (4t-2y_0)\right]}$ 2. b) Na origem: com $t=0$, $\boxed{x=\frac{3}{4}(\cos 2y-1)}$; com $t=\pi /8$, $\cos (\pi /2-2y)=\sin 2y$ e $\cos (\pi /2)=0$, logo $\boxed{x=\frac{3}{4}\sin 2y}$. 3. c) Trajetórias: $dy/dt=2$ dá $y=y_0+2(t-t_0)$. Então $4t-2y=4t_0-2y_0$ é constante ao longo da trajetória, e $dx/dt=3\sin (4t_0-2y_0)$ também: $x-x_0=3\sin (4t_0-2y_0)(t-t_0)\Rightarrow \boxed{x-x_0=\frac{3}{2}\sin (4t_0-2y_0)(y-y_0)}$ São retas. O livro escreve $\sin (4t-2y)$, que tem o mesmo valor. 4. d) Pela origem: com $t_0=0$, $\sin 0=0$ e $\boxed{x=0}$; com $t_0=\pi /8$, $\sin (\pi /2)=1$ e $\boxed{x=\frac{3}{2}y}$. 5. e) $\partial \vec{u}/\partial t=12\cos (4t-2y)\vec{i}\ne \vec{0}$, logo é variável. 6. f) $\nabla \cdot \vec{u}={\partial }_x[3\sin (4t-2y)]+{\partial }_y(2)=0$, logo comporta-se como incompressível (§6.4). [resolução própria], que bate com a solução do livro.

Lição

Cada partícula sai do injetor em linha reta (é como a água de uma mangueira a abanar). No entanto, as linhas de corrente são sinusoidais e o conjunto das partículas desenha uma “cobra”, que é a linha de filamento. Este é o exemplo físico de que, num escoamento variável, as três linhas são diferentes.

Estudo autónomo (Aula 06, sl.39)

• Estudar: §3.1–3.5 e §3.6.1–3.6.4; Ex 3.4, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12 (este está na §6.3).
• Resolver: Probs 3.1b e 3.6a (aceleração) e todos os problemas do Cap. 3 sobre linhas de escoamento (3.2 e 3.5 aqui; 3.3a e 3.4a na §6).

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🚰 6. Hidrocinemática II: tubo de fluxo, caudal e classificação (Aula 07 · §3.7–3.10)

6.1 Tubo de fluxo; secção reta vs secção transversal

Ideia

Num instante, escolhe-se uma curva fechada no escoamento, não coincidente com uma linha de corrente (a diretriz), e traçam-se as linhas de corrente que passam por todos os seus pontos. Essas linhas formam uma superfície tubular: o tubo de fluxo. Como a velocidade é tangente às linhas de corrente, nenhum fluido atravessa a parede do tubo. O fluido só entra e sai pelas extremidades.

• Filete: tubo de fluxo de secção infinitesimal (Cardoso et al., §3.7).
• Exemplos reais: uma conduta é um tubo de fluxo material, cuja parede (a “superfície limítrofe”) é sólida. Um canal também é. Na curva a 90° de uma conduta, a velocidade máxima fica do lado de fora; num canal, o máximo fica abaixo da superfície, ao centro (Aula 07, sl.4).

Armadilha

Secção reta ≠ secção transversal.

• A secção reta é normal às linhas de corrente, por isso pode ser curva (num tubo divergente, por exemplo).
• A secção transversal é plana e perpendicular ao eixo do tubo, e não é necessariamente normal às linhas de corrente.

Só coincidem quando as linhas de corrente são retas e paralelas.

Condição na parede (Cardoso et al., §3.7)

$(\vec{u}|\vec{n})=\vec{u}\cdot \vec{n}=0\text{em todos os pontos da parede do tubo de fluxo}$ Aqui $\vec{n}$ é o versor normal exterior à parede. Esta condição vale em qualquer parede sólida fixa, e é também por isso que as paredes são linhas de corrente (ver Prob 3.3 na §6.2).

Passos para identificar um tubo de fluxo

1. Escolher uma curva fechada (ou, em 2D, dois pontos) num dado instante.
2. Traçar as linhas de corrente por esses pontos: a superfície que formam é a parede do tubo.
3. Em 2D, o “tubo” fica entre duas linhas de corrente, e o caudal entre elas é constante.

Quando usar

Sempre que se vai calcular um caudal, porque o fluido só atravessa as secções de entrada e saída. Em 2D, qualquer par de linhas de corrente (incluindo as paredes) delimita um tubo de fluxo.

6.2 Fluxo convectivo, caudal e velocidade média

Ideia

O fluxo convectivo é a quantidade de uma grandeza (volume, massa, quantidade de movimento, energia…) que o escoamento transporta através de uma superfície por unidade de tempo. O mais usado é o fluxo de volume, o caudal $Q$. A velocidade média $U$ é a velocidade de um escoamento fictício, uniforme na secção, que transporta o mesmo caudal que o real.

• O livro distingue o fluxo convectivo (transporte pela velocidade) do fluxo difusivo (por gradientes, como o calor ou a viscosidade). Aqui só interessa o convectivo (Cardoso et al., §3.8).

Armadilha

• Só a componente normal da velocidade transporta caudal: $dQ=u\cos \alpha dS$, onde $\alpha$ é o ângulo entre $\vec{u}$ e a normal $\vec{n}$ (não o ângulo com a superfície). Uma superfície oblíqua também serve para calcular $Q$, desde que se use a componente normal.
• Em 2D, o caudal vem por unidade de largura: $q$ em m²/s, e não m³/s.
• Escolher o sentido de $\vec{n}$ (exterior, ou no sentido do escoamento) e mantê-lo: o sinal de $Q$ depende disso.
• $U=Q/S$ é a média na secção. O perfil real é nulo na parede e máximo no eixo.

Fórmula (Cardoso et al., §3.8 e §3.9.3; Aula 07, sl.6)

${\phi }_A={\int }_{S}a(\vec{u}|\vec{n})dS(a=\text{densidade da grandeza }A\text{, por unidade de volume})$

Fluxo	$a$	Expressão	Unidades SI
Volume (caudal)	$1$	$Q={\int }_S(\vec{u}|\vec{n})dS$	m³/s
Massa (caudal mássico)	$\rho$	$\dot{m}={\int }_S\rho (\vec{u}|\vec{n})dS$	kg/s
Quantidade de movimento	$\rho \vec{u}$	$\vec{M}={\int }_S\rho \vec{u}(\vec{u}|\vec{n})dS$	N
Energia	$\rho e$	${\phi }_E={\int }_S\rho e(\vec{u}|\vec{n})dS$	W

$dQ=(\vec{u}|\vec{n})dS=u\cos \alpha dS,Q=\frac{d\forall }{dt},U=\frac{Q}{S}\Rightarrow Q=US$ $Q=d\forall /dt$ vale quando a superfície $S$ é fixa e plana (eq. 3.40). O livro define $U$ sobre a secção reta; o sl.8 da Aula 07 diz “transversal” (coincidem com linhas de corrente retas e paralelas).

Caudal unitário (2D): $q=\frac{Q}{S}{|}_{\text{largura }1}={\int }_{\ell }(\vec{u}|\vec{n})d\ell$[m²/s]

Se $\vec{u}$ for relativa a uma superfície que se move, usa-se a velocidade relativa ${\vec{u}}_r$ (§7).

Passos para calcular um caudal

1. Definir a secção $S$ (ou o segmento $\ell$, em 2D) e o versor normal $\vec{n}$, com sentido escolhido.
2. Calcular $(\vec{u}|\vec{n})$ sobre a secção (substituir a equação da secção no campo).
3. Integrar em $S$ (ou em $\ell$, para obter $q$).
4. Verificar o sinal e, se possível, conferir o resultado noutra secção do mesmo tubo de fluxo (o caudal tem de ser igual).

Quando usar

“Calcule o caudal através de …”, “caudal por unidade de largura”, “velocidade média na secção”, “campo plano”. Em problemas planos, responder sempre em m²/s (ou “por metro”).

Exercício resolvido (Prob 3.3 do livro / Aula 07 — diedro reto e superfície $xy=A$)

O escoamento plano de um fluido incompressível entre um diedro reto e uma superfície cilíndrica de diretriz $xy=A$ (Fig. 3.39) tem o campo $\vec{u}=2ax\vec{i}-2ay\vec{j}$.

• (a) Defina as equações das linhas de corrente e das trajetórias.
• (b) Calcule o caudal através da secção 1.
• (c) Mostre que o fluido se comporta como incompressível.

Fig. 3.39: domínio no 1.º quadrante, limitado pelos dois eixos (paredes sólidas) e pela parede curva $xy=A$. A secção 1 é horizontal, à cota $y=4$, de $x=0$ até $(A/4,4)$, com o escoamento a entrar para baixo. A secção 2 é vertical, em $x=A$, de $y=0$ até $(A,1)$. Na figura, o eixo vertical está rotulado “z”, que corresponde ao $y$ do campo.

Resolução passo-a-passo

1. a) Linhas de corrente ($dx/u=dy/v$): $\frac{dx}{2ax}=\frac{dy}{-2ay}\Rightarrow \ln x=-\ln y+C\Rightarrow \boxed{xy=C}$ São hipérboles equiláteras com assíntotas nos eixos. A parede $xy=A$ e os eixos ($C=0$) são linhas de corrente, o que está de acordo com $(\vec{u}|\vec{n})=0$ nas paredes. 2. a) Trajetórias: $dx/dt=2ax$ e $dy/dt=-2ay$ dão $x=x_0{e}^{2a(t-t_0)},y=y_0{e}^{-2a(t-t_0)}\Rightarrow \boxed{xy=x_0{y}_0}$ (multiplicando, o $t$ desaparece). O campo não depende de $t$, logo é permanente e as trajetórias coincidem com as linhas de corrente. 3. b) Caudal na secção 1 ($y=4$, $0\le x\le A/4$, $\vec{n}=-\vec{j}$, no sentido do escoamento): $(\vec{u}|\vec{n})=-v=2a\cdot 4=8a$, constante ao longo da secção. $q_1={\int }_0^{A/4}8adx=\boxed{2aA}\text{(m³/s por metro de largura)}$ 4. Verificação na secção 2 ($x=A$, $0\le y\le 1$, $\vec{n}=\vec{i}$): $u=2aA$, logo $q_2={\int }_0^{1}2aAdy=2aA$ ✓. É o mesmo tubo de fluxo, entre a linha de corrente $C=0$ (eixos) e $C=A$ (parede), por isso o caudal é o mesmo. 5. c) Incompressibilidade (§6.4): $\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial (2ax)}{\partial x}+\frac{\partial (-2ay)}{\partial y}=2a-2a=\boxed{0}$ 6. Extra — rotação (§6.5): ${\omega }_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{1}{2}(0-0)=0$, logo o escoamento é também irrotacional. [resolução própria], que bate com a solução do livro ($xy=C$; $q=Q/b=-2aA$, com $\vec{n}$ normal exterior, $\vec{n}=+\vec{j}$ na secção 1, porque é caudal que entra; em módulo $2aA$; $\nabla \cdot \vec{u}=2a-2a=0$).

Lição

Em 2D, o caudal entre duas linhas de corrente é o mesmo em qualquer secção que as una. Por isso pode-se calcular na secção mais fácil, onde $(\vec{u}|\vec{n})$ é constante. Repare-se também que as trajetórias são curvas (hipérboles) e o escoamento é irrotacional: curvatura da trajetória e rotação são coisas diferentes (§6.5).

6.3 Classificação: permanente/variável, uniforme/variado, 1D/2D/3D

Ideia

Há três classificações independentes:

• No tempo: permanente (nada varia no tempo, em nenhum ponto) ou variável (pelo menos uma grandeza varia no tempo). Um escoamento transitório é um escoamento variável entre dois regimes permanentes, provocado por uma perturbação (por exemplo, uma variação de caudal). Volta no Cap. 10.
• No espaço: uniforme (num dado instante, a velocidade é igual em todo o domínio) ou variado (varia em pelo menos uma direção). Em tubos de fluxo, chama-se uniforme a um escoamento em que o perfil de velocidades não muda ao longo do tubo: $\partial \vec{u}/\partial s=0$.
• Dimensões: 3D (varia em $x$, $y$ e $z$), 2D ou plano (inalterado na terceira direção) e 1D (só varia na direção do escoamento, com $U$ uniforme em cada secção).

Exemplos (Aula 07 e Cardoso et al., §3.9):

• Uniforme no sentido de $\partial \vec{u}/\partial s=0$ (Fig. 3.14): (a) conduta de secção constante, com perfil $u(r)$; (b) placas paralelas fixas, perfil parabólico; (c) Couette, com placa fixa em baixo e placa móvel com $u_1$ à altura $h$, perfil linear $\vec{u}=cy\vec{i}$. A rigor, só vale em tubos retos prismáticos com rugosidade constante.
• Conduta troncocónica ou curva: com $Q$ constante é permanente e variado; com $Q(t)$ é variável e variado.
• 2D: zona central da soleira de um descarregador e cilindro de comprimento infinito, no plano perpendicular ao eixo (Cardoso et al., §3.9.3, Fig. 3.15); pilar com esteira de vórtices e asa (Aula 07, sl.16). O 1D é “suficientemente rigoroso na maioria das situações práticas de Engenharia”.
• 3D: enchimento de uma conduta; reservatório com misturador. Vídeos da aula: descarregador de cheias e roda de água.
• 1D: conduta com estreitamento estudada com $U$ em cada secção. Ignora que $u=0$ nas paredes.

Armadilha

• Uniforme fala do espaço, permanente fala do tempo: são as 4 combinações possíveis. “Uniforme” não diz nada sobre o tempo (Aula 07, sl.12).
• Permanente ⇒ as três linhas coincidem, mas o recíproco é falso (Ex 3.12, abaixo): basta que a velocidade varie só em módulo, mantendo a direção.
• Uma só grandeza não chega para classificar. $\partial \rho /\partial t\ne 0$ garante que é variável, mas $\partial \rho /\partial t=0$ não garante que é permanente. Exemplo: reservatório pequeno a esvaziar por um orifício; $\rho$ é constante, mas a velocidade do jato diminui à medida que o nível desce, logo é variável.
• Permanente não quer dizer aceleração nula: a parte convectiva pode existir (§5.4).

Fórmula (Cardoso et al., §3.9)

Classificação	Condição
Permanente	$\frac{\partial (\cdot )}{\partial t}=0$ para todas as grandezas, em todos os pontos. Com fluido homogéneo, incompressível e $T$ constante, basta $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\vec{0}$
Variável	$\exists i:\frac{\partial u_i}{\partial t}\ne 0$ (ou outra grandeza)
Uniforme	$\frac{\partial \vec{u}}{\partial x_i}=\vec{0},\forall x_i$ (em tubos: $\frac{\partial \vec{u}}{\partial s}=\vec{0}$)
Variado	$\exists x_i:\frac{\partial \vec{u}}{\partial x_i}\ne \vec{0}$

Passos para classificar um escoamento

1. Tempo: derivar o campo em ordem a $t$. Se $\partial \vec{u}/\partial t\ne \vec{0}$ (basta uma componente), é variável.
2. Espaço: derivar em ordem a $x$, $y$, $z$. Se alguma derivada é não nula, é variado.
3. Dimensões: ver de quantas coordenadas espaciais o campo depende.
4. Justificar sempre com a derivada concreta (por exemplo, "$\partial \vec{u}/\partial t=2\vec{k}\ne \vec{0}$").

Quando usar

“Classifique o escoamento quanto à variabilidade no tempo e no espaço”, “diga, justificando, se é permanente”. A justificação é a derivada calculada, não uma frase.

Exercício resolvido (Ex 3.12 do livro — linhas coincidentes num escoamento variável)

Obtenha as equações da família de linhas de corrente e da família de trajetórias do escoamento $\vec{u}=t\vec{i}+t\vec{j}$.

Resolução passo-a-passo

1. Linhas de corrente ($t$ fixo): $\frac{dx}{t}=\frac{dy}{t}\Rightarrow dx=dy\Rightarrow \boxed{x-x_0=y-y_0}$ 2. Trajetórias (de $(x_0,y_0)$ em $t_0$): $\frac{dx}{dt}=t\Rightarrow x-x_0=\frac{t^2-t_0^2}{2},\frac{dy}{dt}=t\Rightarrow y-y_0=\frac{t^2-t_0^2}{2}\Rightarrow \boxed{x-x_0=y-y_0}$ 3. Classificação: $\partial \vec{u}/\partial t=\vec{i}+\vec{j}\ne \vec{0}$, logo é variável; $\partial \vec{u}/\partial x_i=\vec{0}$, logo é uniforme. (resolução do livro) (o §3.9.2 do livro chama-lhe por engano “Exemplo 3.5”)

Lição

As linhas de corrente e as trajetórias têm as mesmas equações, mas o escoamento é variável: a velocidade muda só em módulo e mantém a direção (45°). Coincidência de linhas não prova regime permanente. Para provar, calcula-se $\partial \vec{u}/\partial t$.

Exercício resolvido (Prob 3.1 do livro — alínea a, indicada na Aula 06)

Considere o campo $\vec{u}=4x\vec{i}+5y\vec{j}+2t\vec{k}$. Classifique o escoamento quanto à sua variabilidade no tempo e no espaço. (A alínea b está na §5.4.)

Resolução passo-a-passo

1. Tempo: $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=2\vec{k}\ne \vec{0}$, logo é variável. 2. Espaço: $\frac{\partial \vec{u}}{\partial x}=4\vec{i}\ne \vec{0}$ (e $\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=5\vec{j}\ne \vec{0}$), logo é variado. $\boxed{\text{variaˊvel e variado}}$ [resolução própria], que bate com a solução do livro.

Lição

Basta uma componente depender de $t$ (aqui só $w=2t$) para o escoamento inteiro ser variável. Do mesmo modo, basta uma derivada espacial não nula para ser variado.

Ligação ao "Problema adicional" da Aula 07 (sl.29)

O slide 29 repete o Ex 3.6 (trajetória $x=y^{1/2+\ln y/8}$) e pede a linha de corrente pelo mesmo ponto ($y=x^2$). Está resolvido nas §5.5 e §5.6. A mensagem é a mesma do Ex 3.12, mas ao contrário: aqui o campo é variável e a direção muda, por isso trajetória ≠ linha de corrente.

6.4 Condição de incompressibilidade (deformação volumétrica)

Ideia

O movimento de um elemento de fluido, além da translação, decompõe-se em deformação volumétrica (muda o volume), deformação distorcional (muda a forma) e rotação (Cardoso et al., §3.10.1). Tudo isto sai do tensor gradiente de velocidades $u_{ij}=\partial u_i/\partial x_j$.

• A deformação volumétrica (ou isotrópica) é um terço do traço do tensor das deformações. É uma expansão se o traço for positivo e uma contração se for negativo.
• O traço de $u_{ij}$ é a divergência $\nabla \cdot \vec{u}$. Se for nula, o elemento não muda de volume, e diz-se que o fluido se comporta como incompressível perante esse escoamento (Aula 07, sl.18).
• O traço é um invariante: não depende do sistema de eixos.

Armadilha

• “Comporta-se como incompressível” é uma propriedade do campo de velocidades (do escoamento), não do fluido em si. É por isso que os enunciados dizem “mostre que o fluido se comporta como incompressível”.
• $\nabla \cdot \vec{u}$ é uma soma de derivadas diagonais ($\partial u/\partial x+\partial v/\partial y+\partial w/\partial z$), e não a soma das componentes. Cada componente é derivada só em ordem à sua própria coordenada.
• Incompressível não quer dizer permanente nem uniforme: o Prob 3.5 (§5.7) é variável e incompressível.
• Exemplo de compressível do livro (Fig. 3.21): $u_r=-mr$, $u_{\theta }=0$ (campo convergente). O elemento continua quadrado, mas encolhe. A divergência é $-2m$ (contração) em todo o lado exceto em $x=0$, ponto singular (§3.10.2).

Fórmula (Cardoso et al., §3.10.1–3.10.2, eqs. 3.52–3.53)

$u_{ij}=\underset{\text{volumeˊtrica}}{\underbrace{\frac{1}{3}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}{\delta }_{ij}}}+\underset{\text{distorcional}}{\underbrace{\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{1}{3}\frac{\partial u_k}{\partial x_k}{\delta }_{ij}\right]}}+\underset{\text{rotac¸a˜o }{\xi }_{ij}}{\underbrace{\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)}}$ A parte simétrica ${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}({\partial }_j{u}_i+{\partial }_i{u}_j)$ é o tensor das deformações (6 componentes: volumétrica + distorcional). A parte antissimétrica ${\xi }_{ij}$ é o tensor das rotações (3 componentes independentes). $\boxed{\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0}\iff \text{sem deformac¸a˜o volumeˊtrica}\iff \text{comporta-se como incompressıˊvel}$ $\nabla \cdot \vec{u}$ tem unidades de s⁻¹: é a taxa de variação do volume por unidade de volume. $>0$ é expansão, $<0$ é contração.

Passos para verificar a incompressibilidade

1. Derivar cada componente em ordem à sua coordenada: $\partial u/\partial x$, $\partial v/\partial y$, $\partial w/\partial z$.
2. Somar.
3. Se der 0 em todo o domínio, comporta-se como incompressível. Se der uma função não nula (como $y$ no Prob 3.4), é compressível nos pontos onde não se anula.

Quando usar

“Mostre que o fluido se comporta como incompressível”, “há deformação volumétrica?”, “verifique a continuidade” em campos 2D/3D. A continuidade em volume de controlo é a §7.

Exercício resolvido (Prob 3.6 do livro — alínea b, indicada na Aula 06)

Considere o campo $\vec{u}=u_0\sin \left[\omega \left(t-\frac{y}{v_0}\right)\right]\vec{i}+v_0\vec{j}$, com $u_0$, $v_0$ e $\omega$ constantes. Mostre que o escoamento se comporta como incompressível. (A alínea a está na §5.4.)

Resolução passo-a-passo

1. Derivadas diagonais: $u$ depende só de $y$ e $t$, logo $\frac{\partial u}{\partial x}=0$; $v=v_0$ é constante, logo $\frac{\partial v}{\partial y}=0$. 2. Divergência: $\nabla \cdot \vec{u}=0+0=\boxed{0}\Rightarrow \text{comporta-se como incompressıˊvel}$ [resolução própria] (o livro não dá solução para o Prob 3.6).

Lição

O campo é variável e variado, e ainda assim é incompressível. A componente $u$ varia muito, mas varia em $y$ e $t$, e não em $x$. Só as derivadas diagonais contam.

6.5 Rotação, vorticidade e irrotacionalidade

Ideia

Um elemento de fluido pode rodar sobre si próprio. A sua velocidade angular é o vetor velocidade angular (ou vetor turbilhão) $\vec{\omega }=\frac{1}{2}\nabla \times \vec{u}$. A vorticidade é o dobro: $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{u}=2\vec{\omega }$. Se $\vec{\omega }=\vec{0}$ em todos os pontos, o escoamento é irrotacional.

• Em 2D, ${\omega }_z$ é a média das velocidades angulares de dois segmentos perpendiculares do elemento (Cardoso et al., §3.10.4, eq. 3.57).
• Cruzeta na órbita circular (Aula 07, sl.19; Fig. 3.27 do livro): num escoamento rotacional, a cruzeta gira em torno do seu eixo enquanto percorre a órbita (”+” passa a ”×”). Num escoamento irrotacional, mantém a orientação, apesar de a trajetória ser circular.
• Vórtice forçado (rotação de corpo rígido): o elemento roda sem se deformar. Vórtice livre: o elemento deforma-se sem rodar, embora as trajetórias sejam circunferências (Fig. 3.28). Voltam no Cap. 5.
• Circulação e Stokes (§3.11): $\Gamma ={\oint }_C\vec{u}\cdot d\vec{s}={\int }_S\vec{\Omega }\cdot \vec{n}dS$. Se $\vec{\Omega }=\vec{0}$ em todo o lado, a circulação é nula em qualquer contorno.

Armadilha

• Irrotacional ≠ trajetórias retas. Rotação é o elemento a rodar sobre si próprio, e não a curvatura da trajetória. O vórtice livre e o Prob 3.3 (hipérboles) são irrotacionais com trajetórias curvas. O Couette ($\vec{u}=cy\vec{i}$) tem trajetórias retas e é rotacional.
• Vorticidade $=2\times$ velocidade angular: $\vec{\Omega }=2\vec{\omega }$. Ver qual das duas o enunciado pede. A solução do Prob 3.9 do livro é a vorticidade $\nabla \times \vec{u}$.
• Sinais do rotacional: componente $z$ é $\partial v/\partial x-\partial u/\partial y$, e não ao contrário. ${\omega }_z<0$ é rotação no sentido horário.
• Tensor das rotações vs vetor: o livro usa ${\xi }_{ij}=\frac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j-\partial u_j/\partial x_i)$, com ${\xi }_{yx}\equiv {\omega }_z$, ${\xi }_{zy}\equiv {\omega }_x$, ${\xi }_{xz}\equiv {\omega }_y$ e ${\xi }_{xy}=-{\omega }_z$. A solução do Prob 3.8 chama-lhe $\Omega$: não confundir com a vorticidade $\vec{\Omega }$. O tensor não depende do sistema de eixos no plano.
• Irrotacional exige $\vec{\omega }=\vec{0}$ em todos os pontos. Não basta num ponto.

Fórmula (Cardoso et al., §3.10.4 e §3.11)

$\vec{\omega }=\frac{1}{2}\nabla \times \vec{u},{\omega }_x=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right),{\omega }_y=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right),{\omega }_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)[\text{rad/s}]$ $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{u}=2\vec{\omega }[{\text{s}}^{-1}],\boxed{\text{irrotacional}\iff \nabla \times \vec{u}=\vec{0}\text{em todo o domıˊnio}}$ $\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ u& v& w\end{array}\right|,\text{em 2D: }\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$

Passos para estudar a rotação

1. Escrever $u$, $v$, $w$ e calcular as 6 derivadas cruzadas (${\partial }_{y}w$, ${\partial }_{z}v$, ${\partial }_{z}u$, ${\partial }_{x}w$, ${\partial }_{x}v$, ${\partial }_{y}u$).
2. Montar $\nabla \times \vec{u}$ pelo determinante (cuidado com a ordem das subtrações).
3. Se $\nabla \times \vec{u}=\vec{0}$ em todo o domínio, é irrotacional. Caso contrário, é rotacional, e $\vec{\omega }=\frac{1}{2}\nabla \times \vec{u}$.
4. Se pedirem o tensor das rotações, preencher ${\xi }_{ij}=\frac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j-\partial u_j/\partial x_i)$ (antissimétrico, diagonal nula).
5. Interpretar o sinal: ${\omega }_z>0$ anti-horário, ${\omega }_z<0$ horário.

Quando usar

“Classifique quanto à irrotacionalidade”, “indique se o escoamento é irrotacional”, “calcule o vetor vorticidade / velocidade angular / tensor taxa de rotação”. Nos testes aparece muitas vezes como alínea final, junto com a incompressibilidade.

Exercício resolvido (Ex 3.15 do livro)

Considere o campo $\vec{u}=6x^{2}y\vec{i}+2x^3\vec{j}+10\vec{k}$. Classifique o escoamento quanto à irrotacionalidade.

Resolução passo-a-passo

1. Derivadas cruzadas: ${\partial }_{y}w=0$, ${\partial }_{z}v=0$, ${\partial }_{z}u=0$, ${\partial }_{x}w=0$, ${\partial }_{x}v=6x^2$, ${\partial }_{y}u=6x^2$. 2. Rotacional: $\nabla \times \vec{u}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(6x^2-6x^2)\vec{k}=\boxed{\vec{0}}\Rightarrow \text{irrotacional}$ (resolução do livro) 3. Extra: $\nabla \cdot \vec{u}=12xy+0+0=12xy\ne 0$, logo este campo não se comporta como incompressível. [nota própria]

Lição

Irrotacional e incompressível são condições independentes: uma usa as derivadas cruzadas, a outra as diagonais. Este campo é irrotacional mas compressível.

Exercício resolvido (Prob 3.9 do livro — indicado na Aula 07)

Considere o campo $u_1=4a{x}_2^2$, $u_2=2a{x}_1^2$, $u_3=a{x}_3^2$. Calcule o vetor vorticidade.

Resolução passo-a-passo

1. Derivadas cruzadas: $\partial u_3/\partial x_2=0$, $\partial u_2/\partial x_3=0$, $\partial u_1/\partial x_3=0$, $\partial u_3/\partial x_1=0$, $\partial u_2/\partial x_1=4a{x}_1$, $\partial u_1/\partial x_2=8a{x}_2$. 2. Vorticidade: $\vec{\Omega }=\nabla \times \vec{u}:\boxed{{\Omega }_1=0,{\Omega }_2=0,{\Omega }_3=4a{x}_1-8a{x}_2}$ 3. Velocidade angular: ${\omega }_3=\frac{1}{2}{\Omega }_3=2a{x}_1-4a{x}_2$. É rotacional, exceto na reta $x_1=2x_2$. 4. Extra: $\nabla \cdot \vec{u}=0+0+2a{x}_3=2a{x}_3$, logo é compressível fora do plano $x_3=0$. [nota própria] [resolução própria], que bate com a solução do livro.

Lição

A solução do livro ($w_3=4a{x}_1-8a{x}_2$) é a vorticidade $\nabla \times \vec{u}$, e não $\vec{\omega }$. Se pedirem a velocidade angular, divide-se por 2.

Exercício resolvido (Prob 3.8 do livro — alínea a, indicada na Aula 07)

Considere o elemento plano de escoamento ABCD, com $A(0;0)$, $B(0,5;0,5)$, $C(0;1)$ e $D(-0,5;0,5)$, no campo $u_1=\gamma y$, $u_2=0$, sendo $xy$ um sistema ortogonal de coordenadas. Determine o tensor taxa de rotação nesse sistema. (A alínea b, rotação dos eixos 45°, fica fora do estudo autónomo.)

Resolução passo-a-passo

1. Gradiente: $\frac{\partial u_1}{\partial x_2}=\gamma$; as outras três derivadas são nulas. 2. Tensor das rotações ${\xi }_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$ (a solução do livro chama-lhe $\Omega$): ${\xi }_{12}=\frac{1}{2}(\gamma -0)=\frac{\gamma }{2},{\xi }_{21}=-\frac{\gamma }{2}\Rightarrow \boxed{{\xi }_{ij}=\left[\begin{array}{cc}0& \gamma /2\\ -\gamma /2& 0\end{array}\right]}$ 3. Interpretação: ${\omega }_z={\xi }_{21}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{\gamma }{2}$. O elemento roda no sentido horário com $\gamma /2$. Um segmento horizontal não roda ($\partial v/\partial x=0$); um vertical roda com $-\gamma$ (o topo anda mais depressa que a base). A média é $-\gamma /2$. [resolução própria], que bate com a solução do livro (e com o Ex 3.14, que usa o mesmo campo).

Lição

É o escoamento de Couette: trajetórias retas e, ainda assim, rotacional. O tensor das rotações é igual em qualquer sistema de eixos no plano (alínea b e Ex 3.14). O mesmo campo também deforma o elemento (há uma parte distorcional $\frac{1}{2}\gamma$ fora da diagonal), mas não muda o seu volume ($\nabla \cdot \vec{u}=0$).

Exercício resolvido (Prob 3.4 do livro — síntese de toda a Hidrocinemática)

Considere o campo $\vec{u}=2t\vec{i}+y^2\vec{j}-yz\vec{k}$.

• (a) Determine a equação da trajetória que passa pelo ponto $(2,1,3)$ no instante $t=0$.
• (b) Indique, justificando, se o escoamento é variável ou permanente.
• (c) Indique, justificando, se o escoamento é irrotacional.
• (d) Indique, justificando, se o fluido se comporta como incompressível.

Resolução passo-a-passo

1. a) Trajetória (de $(2,1,3)$ em $t=0$): $\frac{dx}{dt}=2t\Rightarrow x=2+t^2;\frac{dy}{dt}=y^2\Rightarrow -\frac{1}{y}+1=t\Rightarrow y=\frac{1}{1-t}$ $\frac{dz}{dt}=-yz\text{ e }\frac{dy}{dt}=y^2\Rightarrow \frac{dz}{z}=-\frac{dy}{y}\Rightarrow z=\frac{z_0{y}_0}{y}=\frac{3}{y}(=3(1-t))$ Eliminar $t=1-\frac{1}{y}=1-\frac{z}{3}$: $\boxed{x=2+{\left(1-\frac{1}{y}\right)}^2\text{e}z=\frac{3}{y}}\iff x=2+{\left(1-\frac{z}{3}\right)}^2$ (válido para $t<1$; em $t=1$, $y\to \infty$). 2. b) $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=2\vec{i}\ne \vec{0}$, logo é variável. 3. c) $\nabla \times \vec{u}=\left({\partial }_y(-yz)-{\partial }_z(y^2)\right)\vec{i}+\left({\partial }_z(2t)-{\partial }_x(-yz)\right)\vec{j}+\left({\partial }_x(y^2)-{\partial }_y(2t)\right)\vec{k}=-z\vec{i}\ne \vec{0}$, logo não é irrotacional. 4. d) $\nabla \cdot \vec{u}=0+2y-y=y\ne 0$, logo comporta-se como compressível. [resolução própria], que bate com o livro. Única gralha: o livro numera as alíneas (d)–(g) no enunciado e (a)–(d) na solução.

Lição

Este é o “pacote completo” de um teste: trajetória, $\partial /\partial t$, rotacional e divergência sobre o mesmo campo. Truque da alínea a: quando $dz/dt=-yz$ e $dy/dt=y^2$, dividir as duas EDO elimina o $t$ diretamente ($dz/z=-dy/y$). Em $\nabla \cdot \vec{u}$, a parcela $\partial (-yz)/\partial z=-y$ é a mais fácil de esquecer (ou de trocar o sinal).

Estudo autónomo (Aula 07, sl.30)

• Estudar: §3.7, 3.8, 3.9 e 3.10.2.
• Resolver: todos os problemas do Cap. 3, exceto 3.7, 3.8b e 3.10.

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Notas relacionadas (Dataview)

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Recém-modificadas (DataviewJS)

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