Formulario-PE-MAP1

:LiDices: Formulário — PE MAP1 (Cap. 2–5)

Parent project: Probabilidade e Estatística

Âmbito (Cap. 2–5)

Referência rápida das fórmulas do MAP1: acontecimentos e Bayes, uma v.a., famílias de distribuições, pares aleatórios, somas e TLC. A seleção segue o que sai nas perguntas Q1–Q5 do Guia de Estudo MAP1; a teoria e os exercícios resolvidos estão no Resumo MAP1. O Cap. 1 (R/descritiva) fica de fora porque só é avaliado nas Séries de Problemas. Apoio oficial: Formulário · Tabelas.

:LiPrinter: Versão para imprimir

Cheatsheet MAP1 (PDF, 4 págs.): esta nota mais o essencial do Resumo e do Guia (tabela Φ, escolha do modelo, 11 exemplos-tipo, checklist). Fonte: .tex.

Legenda: 📄 = está no formulário oficial · 🧠 = tens de saber de cor

Para o MAP1, o formulário oficial só traz o 1.º quadro: $f_X$, $E$ e $Var$ da binomial, Poisson, geométrica, uniforme contínua, normal e exponencial. Tudo o resto desta nota é 🧠: regras de probabilidade, propriedades de $E$/$Var$/$Cov$, funções de distribuição, amnésia, somas e o TLC. Os outros quadros do oficial ($t$, ${\chi }^2$, regressão) são do MAP2.

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:LiShapes: 1. Acontecimentos e regras básicas 🧠

Complementar e diferença

$P(\bar{A})=1-P(A)P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)$

O complementar é o atalho para “pelo menos um” e “nenhum”. A diferença dá o “só $A$”.

Símbolos: $\bar{A}$ = “não ocorre $A$” · $A\cap \bar{B}$ = “ocorre $A$ mas não $B$”.

Inclusão–exclusão

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ $P(A\cup B\cup C)=\sum P(\cdot )-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

Probabilidade de “pelo menos um” quando os acontecimentos não são disjuntos. Com 3, desenha o Venn e preenche de dentro para fora (saiu em 30/06-A).

Símbolos: $\cup$ = “pelo menos um ocorre” · $\cap$ = “ocorrem ambos”.

Leis de De Morgan

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

“Nenhum” é o complementar de “pelo menos um”; “pelo menos um não” é o complementar de “todos”.

Símbolos: barra = complementar.

Laplace

$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega }$

Só com $\Omega$ finito e resultados equiprováveis. As combinatórias pesadas não saíram em 2025/26, mas o kit mínimo está no tip abaixo.

Símbolos: $\#A$ = nº de casos favoráveis · $\#\Omega$ = nº de casos possíveis.

Contagens (kit mínimo)

Ordem não importa: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ · ordem importa, sem repetição: $\frac{n!}{(n-k)!}$ · com reposição e ordem: $n^k$ · grupo misto: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{k-i}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{k}\right)$.

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:LiGitBranch: 2. Condicional, probabilidade total e Bayes 🧠

Probabilidade condicional

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0$

Saber que $B$ ocorreu encolhe o universo para $B$. $P(\cdot \mid B)$ é uma probabilidade, logo $P(\bar{A}\mid B)=1-P(A\mid B)$.

Símbolos: $A\mid B$ = ”$A$ sabendo que $B$”.

Condicional "disfarçada" (saiu em 6 dos 9 enunciados)

Se $A\subset B$, então $A\cap B=A$ e $P(A\mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}$. Exemplos: $P(Y\ge 3\mid Y\ge 1)=\frac{P(Y\ge 3)}{P(Y\ge 1)}$; $P(X>a\mid X<q_{0.5})=\frac{0.5-F(a)}{0.5}$, sem calcular $q_{0.5}$.

Probabilidade composta (em cadeia)

$P(A_1\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots$

Para tiragens sucessivas sem reposição e para cadeias de fases (aprovar na 1.ª, depois na 2.ª, …).

Símbolos: $A_i$ = acontecimento da etapa $i$.

Probabilidade total

$P(B)={\sum }_{i}P(B\mid A_i)P(A_i)$

Soma dos caminhos da árvore que acabam em $B$. Exige uma partição (causas disjuntas que cobrem $\Omega$).

Símbolos: $A_i$ = partição de $\Omega$ (“causas”) · $P(A_i)$ = a priori · $P(B\mid A_i)$ = verosimilhança.

Teorema de Bayes

$P(A_k\mid B)=\frac{P(B\mid A_k)P(A_k)}{{\sum }_{i}P(B\mid A_i)P(A_i)}$

Inverte o condicionamento: da causa para o efeito, passa ao efeito para a causa. O denominador é a probabilidade total. As posteriores somam 1 (verificação grátis).

Símbolos: $P(A_k\mid B)$ = probabilidade a posteriori da causa $k$.

Confere o ramo

Se a pergunta diz “teste negativo”, usa $P(\bar{T}\mid E)=1-P(T\mid E)$ em todo o lado (02/02 P1). Em “qual a causa mais provável”, calcula todas as posteriores (30/06-C).

Independência

$A,B\text{independentes}⟺P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Equivale a $P(A\mid B)=P(A)$. Passa aos complementares ($A,\bar{B}$ também são independentes). Para $k$ acontecimentos, a independência mútua exige o produto em todas as subcoleções: não basta aos pares.

Símbolos: —

Sistemas em série e em paralelo

$P(\text{seˊrie})={\prod }_i{p}_{i}P(\text{paralelo})=1-{\prod }_i(1-p_i)$

Componentes independentes: em série funcionam todos; em paralelo funciona pelo menos um. Com 3 iguais em paralelo, $1-(1-p{)}^3$.

Símbolos: $p_i$ = probabilidade de o componente $i$ funcionar.

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:LiActivity: 3. Uma variável aleatória 🧠

Função de distribuição

$F_X(x)=P(X\le x)P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^{-})$

$F$ é não decrescente, contínua à direita, de 0 a 1. Numa discreta é uma escada, e cada salto é uma probabilidade.

Símbolos: $F_X(x^{-})$ = limite à esquerda de $F$ em $x$.

Intervalos numa v.a. discreta (cuidado com $<$ vs $\le$)

$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ · $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a^{-})$ · $P(X>a)=1-F(a)$ · $P(X\ge a)=1-F(a^{-})$. Com inteiros: $P(7\le X\le 12)=F(12)-F(6)$. Numa contínua os sinais são indiferentes.

Função de probabilidade / densidade

$\text{discreta: }{f}_X(x)=P(X=x),\sum f=1\text{contıˊnua: }{f}_X(x)=F_X^{\prime }(x),{\int }_{\mathbb{R}}f=1$

Para encontrar uma constante $k$, impõe $\sum f=1$ ou $\int f=1$. Uma densidade pode ser maior que 1; só as áreas são probabilidades, e $P(X=x)=0$ no contínuo.

Símbolos: $f_X$ = função de probabilidade (discreta) ou densidade (contínua).

Passar de $f$ para $F$ (contínua)

$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dtP(a<X\le b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f$

Integra por troços, acumulando a área dos troços anteriores. Confirma $F(+\infty )=1$.

Símbolos: $t$ = variável de integração.

Valor esperado e lei do estatístico inconsciente

$E[X]={\sum }_{x}x{f}_X(x)(\int x{f}_X)E[g(X)]={\sum }_{x}g(x)f_X(x)(\int g{f}_X)$

$E[g(X)]$ calcula-se sem encontrar a distribuição de $g(X)$. Para custos por escalões ou $|X-6|$, faz a tabela $x\to g(x)\to f(x)$ e soma.

Símbolos: $g$ = qualquer função (custo, tempo, $X^2$, …).

Variância e desvio padrão

$Var[X]=E[X^2]-(E[X]{)}^2{\sigma }_X=\sqrt{Var[X]}$

Fórmula de cálculo da variância. Quando pedem desvio padrão, tira a raiz.

Símbolos: $E[X^2]$ = 2.º momento · ${\sigma }_X$ = desvio padrão.

Transformações lineares

$E[aX+b]=aE[X]+bVar[aX+b]=a^{2}Var[X]$

O $b$ desaparece na variância e o $a$ sai ao quadrado ($Var[-X]=Var[X]$). Para $g$ não linear não há atalho: $E[g(X)]\ne g(E[X])$.

Símbolos: $a,b$ = constantes.

$Var$ de uma transformação quadrática

$Var[a{X}^2+b]=a^2(E[X^4]-E[X^2{]}^2)$. Exemplo (30/06-B): $L\sim U(-1,1)$, $Var[5L^2+2]=25\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right)=2.22$.

Moda e quantis

$\text{moda}=\arg {\max }_x{f}_X(x)F_X(q_p^{-})\le p\le F_X(q_p)(\text{contıˊnua: }{F}_X(q_p)=p)$

Mediana $=q_{0.5}$. Numa discreta é o menor $x$ com $F(x)\ge 0.5$; numa contínua resolve $F(q)=p$ no troço certo.

Símbolos: $q_p$ = quantil de ordem $p$ · $AIQ=q_{0.75}-q_{0.25}$.

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:LiLibrary: 4. Famílias de distribuições

Tabela das famílias 📄

Modelo	$f_X(x)$	Suporte	$E[X]$	$Var[X]$
$Ber(p)$ 🧠	$p^x(1-p{)}^{1-x}$	$0,1$	$p$	$p(1-p)$
$Bi(n,p)$	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x(1-p{)}^{n-x}$	$0,\dots ,n$	$np$	$np(1-p)$
$Geo(p)$	$p(1-p{)}^{x-1}$	$1,2,\dots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
$Poi(\lambda )$	$\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}$	$0,1,\dots$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\frac{1}{b-a}$	$[a,b]$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
$Exp(\lambda )$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mathbb{R}$	$\mu$	${\sigma }^2$

Esta tabela está no formulário oficial (exceto a Bernoulli). Atenção: a geométrica do oficial conta o nº de provas até ao 1.º sucesso, inclusive (começa em 1).

Símbolos: $p$ = probabilidade de sucesso numa prova · $n$ = nº de provas · $\lambda$ = taxa (ocorrências por unidade) · $\mu ,{\sigma }^2$ = média e variância.

Funções de distribuição 🧠

$Geo:P(X>k)=(1-p{)}^{k}Exp:F(x)=1-e^{-\lambda x},P(X>x)=e^{-\lambda x}U(a,b):F(x)=\frac{x-a}{b-a}$

Não estão no oficial e são as que mais se usam para “pelo menos”, “mais de” e medianas. Mediana da exponencial: $q_{0.5}=\frac{\ln 2}{\lambda }$ (fica abaixo da média).

Símbolos: $k$ = inteiro $\ge 0$ · $x$ dentro do suporte.

Falta de memória (amnésia) 🧠

$Geo:P(X>i+j\mid X>i)=P(X>j)Exp:P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

“O que já esperaste não conta.” Só a geométrica e a exponencial têm esta propriedade. Os distratores típicos são $P(X>s+t)$ e $P(X>s)$.

Símbolos: $s$ (ou $i$) = o que já passou · $t$ (ou $j$) = o que falta.

A uniforme NÃO tem amnésia

$X\sim U(a,b)$ e “já passou $c$”: $X\mid X>c\sim U(c,b)$, logo $P(X>d\mid X>c)=\frac{b-d}{b-c}$ (Coletânea 5.19).

Padronização da normal 🧠

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)P(X\le x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\Phi (-z)=1-\Phi (z)$

Divide-se pelo desvio padrão, nunca pela variância. A normal é simétrica: moda = mediana = $\mu$. E $aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$.

Símbolos: $\Phi$ = função de distribuição da $N(0,1)$ (tabelada) · $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$.

Valores de $\Phi$ que convém reconhecer

$\Phi (1)=0.8413$ · $\Phi (1.2816)=0.90$ · $\Phi (1.645)=0.95$ · $\Phi (1.96)=0.975$ · $\Phi (2)=0.9772$.

Processo de Poisson 🧠

$N(t)\sim Poi(\lambda t)T\sim Exp(\lambda )P(T>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$

Contar num intervalo de comprimento $t$ dá Poisson; medir o tempo entre ocorrências dá exponencial. O $\lambda$ da Poisson escala com o intervalo (4 por $10m^2$ ⇒ 2 por $5m^2$).

Símbolos: $N(t)$ = nº de ocorrências em $[0,t]$ · $T$ = tempo entre ocorrências consecutivas.

Parâmetro a partir de uma pista 🧠

Pista no enunciado	Conclusão
Poisson, $P(X=k)=P(X=k+1)$	$\lambda =k+1$
Poisson, $P(X=k+1)=cP(X=k)$	$\lambda =c(k+1)$
Poisson, $P(X=0)$ dado	$\lambda =-\ln P(X=0)$
Poisson, $E[X^2]$ dado	$\lambda +{\lambda }^2=E[X^2]$
Binomial, $E$ e $Var$ dados	$1-p=\frac{Var}{E}$, $n=\frac{E}{p}$
$U(-\alpha ,\alpha )$, $Var$ dada	$\frac{{\alpha }^2}{3}=Var$
Exponencial com média $m$	$\lambda =\frac{1}{m}$

Saiu em quase todos os enunciados: primeiro tira-se o parâmetro, e logo a seguir pede-se uma probabilidade.

Símbolos: $k$ = valor inteiro do enunciado · $c$ = razão dada.

Segundo momento a partir da tabela 🧠

$E[X^2]=Var[X]+(E[X]{)}^2\text{ex.: }Bi:np(1-p)+(np{)}^{2}Poi:\lambda +{\lambda }^2$

Dá $E[X^2]$ de qualquer família sem somar nem integrar.

Símbolos: —

Modas da binomial e da Poisson 🧠

$Bi(n,p):np+p-1\le m_0\le np+pPoi(\lambda ):m_0=\lfloor \lambda \rfloor (\lambda \notin \mathbb{N})$

Ambas já saíram (16/06-C, 30/06-C). Com $\lambda$ inteiro, a Poisson tem duas modas: $\lambda -1$ e $\lambda$. A geométrica tem sempre moda 1.

Símbolos: $m_0$ = moda · $\lfloor \cdot \rfloor$ = parte inteira.

Dois níveis (modelo dentro de uma binomial) 🧠

$p=P(\text{evento numa prova})\Rightarrow W\sim Bi(n,p)$

“Em quantos dos $n$ anos/medições/noites acontece…”: calcula $p$ com o modelo de uma prova e depois põe uma binomial por cima. Pode ainda levar um TLC por cima (Coletânea 5.20).

Símbolos: $W$ = nº de provas (independentes) em que o evento acontece.

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:LiGrid3x3: 5. Pares aleatórios 🧠

Distribuição conjunta

$f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$

Numa tabela, $F_{X,Y}(a,b)$ soma todas as células com $x\le a$ e $y\le b$. Se a conjunta não for dada, constrói-a: $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X=x}(y)$.

Símbolos: $f_{X,Y}$ = função de probabilidade (ou densidade) conjunta.

Marginais

$f_X(x)={\sum }_y{f}_{X,Y}(x,y)(f_X(x)={\int }_{\mathbb{R}}{f}_{X,Y}(x,y)dy)$

Soma a linha (ou integra a outra variável). No contínuo, os limites de integração vêm do suporte: desenha-o primeiro.

Símbolos: $f_X$, $f_Y$ = marginais.

Condicional e valor esperado condicional

$f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}E[X\mid Y=y]=\frac{{\sum }_{x}x{f}_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$

Divide a coluna (linha) pela marginal. O esperado condicional é linear: $E[aY+b\mid X=x]=aE[Y\mid X=x]+b$. E $E[E[X\mid Y]]=E[X]$.

Símbolos: $X\mid Y=y$ = distribuição de $X$ sabendo que $Y=y$.

Independência

$X,Y\text{independentes}⟺f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\forall (x,y)$

Para mostrar dependência chega um par com $f_{X,Y}\ne f_X{f}_Y$ (de preferência um 0 na tabela), $Cov\ne 0$, ou um suporte não retangular. Se a conjunta fatoriza num produto $g(x)h(y)$ sobre um retângulo, são independentes.

Símbolos: —

Valor esperado de uma função do par

$E[g(X,Y)]={\sum }_x{\sum }_{y}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)X,Y\text{indep.}\Rightarrow E[XY]=E[X]E[Y]$

Em $E[XY]$ só contam as células com $xy\ne 0$.

Símbolos: $g$ = qualquer função de $(x,y)$.

Covariância

$Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]$

Mede a relação linear. Propriedades: $Cov[X,X]=Var[X]$ · $Cov[aX+b,Y]=aCov[X,Y]$ · independentes ⇒ $Cov=0$, mas não o contrário (Coletânea 5.6).

Símbolos: —

Correlação

$Corr[X,Y]=\frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}}\in [-1,1]$

Covariância sem unidades. $|Corr|=1$ só se $Y=aX+b$. No comentário: sinal (positiva/negativa) e intensidade (fraca/forte); $Corr\ne 0$ ⇒ não independentes.

Símbolos: —

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:LiSigma: 6. Somas, combinações lineares e TLC 🧠

Combinação linear

$E[\sum c_i{X}_i]=\sum c_{i}E[X_i]Var[\sum c_i{X}_i]=\sum c_i^{2}Var[X_i]+2{\sum }_{i<j}{c}_i{c}_{j}Cov[X_i,X_j]$

O valor esperado é sempre linear. Com $X_i$ independentes as covariâncias desaparecem. Os coeficientes saem ao quadrado, por isso $Var[3X-2Y]=9VarX+4VarY$.

Símbolos: $c_i$ = coeficientes constantes.

$2X$ não é $X_1+X_2$

$Var[2X]=4Var[X]$ (a mesma v.a. duas vezes) mas $Var[X_1+X_2]=2Var[X]$ (duas cópias independentes). Exemplo: duas espessuras do mesmo tubo vs. o peso de duas pessoas.

Soma e média de $n$ i.i.d.

$S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i:E=n\mu ,Var=n{\sigma }^2\bar{X}=\frac{S_n}{n}:E=\mu ,Var=\frac{{\sigma }^2}{n}$

Bastam $E$ e $Var$ de uma parcela. Escreve “ind.” e “i.d.” por cima dos sinais de igual, porque é isso que a resolução oficial cota.

Símbolos: $\mu =E[X_i]$ · ${\sigma }^2=Var[X_i]$ · $n$ = nº de parcelas.

Somas que preservam a família (independentes)

$\sum c_{i}N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)\sim N(\sum c_i{\mu }_i,\sum c_i^2{\sigma }_i^2)\sum Poi({\lambda }_i)\sim Poi(\sum {\lambda }_i)\sum Bi(n_i,p)\sim Bi(\sum n_i,p)$

Uma combinação linear de normais independentes é exatamente normal (reprodutividade): não é preciso TLC.

Símbolos: —

Teorema do Limite Central

$\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}\stackrel{a}{\sim }N(0,1)\Rightarrow P(S_n\le s)\approx \Phi \left(\frac{s-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}\right),\bar{X}\stackrel{a}{\sim }N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$

Para somas ou médias de muitas v.a. i.i.d. de qualquer modelo, com $E$ e $Var$ finitos. Escreve “aproximadamente, pelo TLC”. As resoluções de 2025/26 não usam correção de continuidade.

Símbolos: $\stackrel{a}{\sim }$ = “tem aproximadamente distribuição” · $\Phi$ = f.d. da $N(0,1)$.

Binomial pela normal

$Bi(n,p)\stackrel{a}{\sim }N(np,np(1-p))$

É o TLC aplicado a uma soma de $n$ Bernoullis (30/06-B: $Bi(400,0.4)\approx N(160,96)$).

Símbolos: —

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:LiCompass: Checklist — que ferramenta usar?

Sintoma no enunciado	Ferramenta
”pelo menos um”, “nenhum”	Complementar + De Morgan
3 acontecimentos sobrepostos	Inclusão–exclusão a 3
Subpopulações/causas + uma percentagem global	Probabilidade total (árvore)
“sabendo que deu …, qual a prob. de ter sido …”	Bayes
Tiragens sem reposição, fases sucessivas	Probabilidade composta
Componentes em série/paralelo	$\prod p_i$ / $1-\prod (1-p_i)$
”… sabendo que …” com $A\subset B$	$P(A)/P(B)$
$F$ em escada	$f$ = saltos
$f$ com constante $k$	$\sum f=1$ ou $\int f=1$
Custo/tempo como função de $X$	Tabela de $g(x)$ → $E[g(X)]$
Mediana, quartil, “em 95 % dos casos”	$F(q)=p$
$n$ provas fixas, sucesso/insucesso	$Bi(n,p)$
”até ao primeiro sucesso"	$Geo(p)$
"em média $\lambda$ por unidade”	$Poi(\lambda )$, reescalar $\lambda$
Tempo de vida/espera; “já esperou …”	$Exp(\lambda )$ + amnésia
”Em quantos dos $n$ anos/medições …”	Dois níveis: $p$ → $Bi(n,p)$
Média e desvio dados, percentagens	Normal: padronizar, $\Phi$
Tabela de dupla entrada	Marginais → condicional → $Cov$ → independência
Densidade conjunta	Desenhar suporte → integrar a outra variável
”São independentes?”	Uma célula com $f\ne f_X{f}_Y$, ou $Cov\ne 0$
Combinação de normais independentes	Normal exata: somar $E$ e $\sum c_i^{2}Var$
Soma/média de muitas i.i.d.	TLC

Erros a evitar

Confundir $P(A\mid B)$ com $P(B\mid A)$ · usar o ramo $T$ quando pedem $\bar{T}$ · disjuntos ⇒ independentes ✗ (são dependentes, se ambos têm prob. $>0$) · somar acontecimentos não disjuntos sem subtrair a interseção · trocar $<$ por $\le$ numa discreta ($7\le X\le 12$ é $F(12)-F(6)$) · $Var[aX+b]=aVar[X]$ ✗ → $a^{2}Var[X]$ · $E[g(X)]=g(E[X])$ ✗ · exponencial com $\lambda$ = média ✗ → $\lambda =1/E[X]$ · não reescalar o $\lambda$ da Poisson ao intervalo · em $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ler o 2.º parâmetro como desvio padrão ("$DP=3$" ⇒ $Var=9$) · dividir pela variância ao padronizar · amnésia na uniforme ✗ · $Cov=0$ ⇒ independentes ✗ · $Var[X-Y]=VarX-VarY$ ✗ → soma · $Var[2X]=Var[X_1+X_2]$ ✗ · TLC: média com ${\sigma }^2$ em vez de ${\sigma }^2/n$ · unidades (meses ↔ anos, minutos ↔ horas) · deixar uma EM em branco (o palpite tem valor esperado positivo).

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:LiLink: Notas relacionadas

• Resumo MAP1: teoria + exercícios resolvidos da coletânea.
• Guia de Estudo MAP1: molde do teste, exemplos reais dos exames de 2025/26 e plano de estudo.
• Formulário oficial · Tabelas estatísticas.

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