Guia-Estudo-PE-MAP1

🎯 Guia de Estudo — PE MAP1 (Cap. 2–5)

Parent project: Probabilidade e Estatística

De onde vem este guia

Engenharia reversa de 17 resoluções oficiais de 2025/26, que correspondem a 9 enunciados distintos (as outras versões só mudam os números): Época Normal 19/01/2026 (A/B), Recurso 02/02/2026 (A/B), Época Normal 16/06/2026 (enunciados A≈D, B≈E, C≈F), Recurso 30/06/2026 (A≈D, B≈E, C≈F) e Época Especial 21/07/2026. Tudo cruzado com a Coletânea 2026/27 (Cap. 2–5). Porque é que os exames servem de molde. Em 2025/26 a avaliação era um exame único de 2 h com a matéria toda. Em 2026/27 há 2 MAPs, que dividem a matéria aproximadamente a meio: o MAP1 vai até ao Cap. 5 inclusive e o MAP2 fica com a inferência (Cap. 6–9). Não havia enunciados de MAP1 antigos, mas os exames têm sempre a 1.ª metade (≈10 val., P1–P4/P5) só com matéria dos Cap. 2–5 e a 2.ª metade só com inferência. Por isso, essa 1.ª metade é o molde do MAP1: na prática, o MAP1 é “meio exame em 1 hora”. Verificação do corte (feita pergunta a pergunta nos 9 enunciados): a partir da P5/P6 todas as perguntas são de MAP2 (verosimilhança, propriedades de estimadores, IC, testes, regressão). Nenhuma pergunta do Cap. 5 ficou de fora deste guia. As únicas “fronteiriças” são 16/06-C P5 e 30/06-A P5: usam as regras do Cap. 5 ($E$ e $Var$ de combinações lineares), mas aplicadas a estimadores, que são matéria do MAP2. Formato observado: perguntas de 2 val. (quase sempre escolha múltipla A–D, com −0.5 val. por resposta errada) e de 3 val. (abertas, 2 alíneas de 1–2 val., justificação obrigatória). Notas-irmãs: Resumo MAP1 (teoria + exercícios da coletânea) → este Guia → Formulário MAP1. Apoio oficial: Formulário · Tabelas.

Confirmar antes do teste

A duração (1 h), o peso (40 %) e o mínimo (8,0) vêm do funcionamento da cadeira. O âmbito exato do T1, o material permitido e se a penalização de −0.5 da escolha múltipla também se aplica no teste continuam por confirmar (ver Funcionamento-Cadeiras-e-Avaliacoes-2Ano). O Cap. 1 (R/descritiva) nunca saiu na parte escrita dos exames: avalia-se nas Séries de Problemas.

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🗺️ Estrutura do Teste (molde)

Q	Tema dominante	Valores	Resumo	Formato típico	Probabilidade
Q1	Acontecimentos: condicional, total/Bayes, independência, série/paralelo	2 (às vezes 3)	§2	EM ou aberta curta	Certa (9/9)
Q2	Uma v.a.: $F\leftrightarrow f$, $E$, $Var$, moda, mediana, $E[g(X)]$	2–3	§3	Aberta com 2 alíneas, ou EM	Quase certa (8/9)
Q3	Famílias: identificar modelo/parâmetro, amnésia, “dois níveis”	2–3	§4	Mista	Certa (9/9)
Q4	Par aleatório: tabela/densidade conjunta, condicional, $Cov$/$Corr$, independência	3 (às vezes 2 EM)	§5.1–5.2	Aberta	Muito provável (6/9)
Q5	Somas: combinação linear de normais / TLC	2 (às vezes 3)	§5.3	EM	Muito provável (6/9)

Como se encaixam

Os exames têm 4 ou 5 perguntas desta lista, somando ≈10 val. Q4 e Q5 revezam-se, mas pelo menos uma das duas saiu em todos os 9 enunciados. Na prática, conta com Q1 + Q2/Q3 (às vezes fundidas) + Q4 e/ou Q5.

O Cap. 5 pode pesar mais no MAP1 do que pesava no exame

No exame, o Cap. 5 tinha de caber em 1–2 perguntas, ao lado da inferência. Num MAP1 só com os Cap. 2–5, é provável que saiam Q4 e Q5 juntas, e que o Cap. 5 traga tipos que os exames não chegaram a usar: suporte triangular, construir a conjunta a partir de duas provas independentes, ou a condicional de uma soma. Treina o Cap. 5 inteiro. A secção 🧩 Cap. 5 — cobertura completa da coletânea lista os 24 exercícios e resolve os que não estavam no Resumo.

Estratégia global de tempo (60 min)

1. Primeiros 2 min: ler tudo e marcar as EM “de 1 linha” (série/paralelo, amnésia, soma de normais, TLC).
2. EM primeiro (~8 min cada): são mecânicas e valem o mesmo que uma alínea difícil. Faz a conta toda e confere com as opções. Os distratores são os erros clássicos, por exemplo $P(X\le x)$ em vez de $P(X>x)$, ou $e^{-11/5}$ em vez de $e^{-8/5}$.
3. Abertas (~15 min cada): escreve v.a. + distribuição + parâmetros logo na 1.ª linha, porque isso já pontua.
4. Últimos 5 min: confirmar unidades, $\sigma$ vs ${\sigma }^2$, e que todas as EM ficaram assinaladas na folha.

A conta da penalização (se o teste seguir a regra dos exames)

EM com 4 opções, +2 val. se certa e −0.5 se errada. Um palpite completamente aleatório vale em média $0.25\times 2-0.75\times 0.5=+0.125$ val., e se eliminares uma opção passa a $\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{3}\times 0.5=+0.33$. Nunca deixes uma EM em branco.

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1️⃣ Q1 — Acontecimentos (Cap. 2)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Uma probabilidade condicional ou composta, numa história com 2–3 acontecimentos. Não pedem espaços de resultados, demonstrações nem contagens pesadas: as combinatórias da coletânea (2.6–2.11) não saíram em 2025/26.

A lógica: 5 sub-tipos que já saíram

Sub-tipo	Exame	Ferramenta
Bayes com partição	02/02 P1 · 30/06-C P1 · 16/06-C P1	árvore → total → Bayes
Composta/total em cadeia	30/06-B P1 · 16/06-B P1	$P(F_1)P(F_2\mid F_1)P(F_3\mid F_1{F}_2)$
Condicional a partir de %	19/01 P1	De Morgan + $P(D\mid \bar{M})=\frac{P(\bar{M})-P(\bar{M}\cap \bar{D})}{P(\bar{M})}$
Independência / série–paralelo	16/06-A P1 · 21/07 P1	produto; paralelo $=1-\prod (1-p_i)$
Inclusão–exclusão a 3 + condicional	30/06-A P1	$P(Pt\mid F\cup I)=\frac{P(Pt\cap F)+P(Pt\cap I)-P(Pt\cap F\cap I)}{P(F\cup I)}$

Passos

1. Nomear os acontecimentos com letras e escrever todos os dados como $P(\cdot )$ ou $P(\cdot \mid \cdot )$. Este é o passo que mais pontua nas abertas.
2. Traduzir a pergunta: “sabendo que” → condicional; “pelo menos uma” → complementar; “um tipo de… ou outro” → união.
3. Se houver causas/subpopulações → árvore → total → Bayes.
4. Se houver independência → produtos, e passar aos complementares quando dá jeito.

O truque que distingue 1 val. de 2 val.

• Ler a condição complementar: em 02/02 P1 pede-se $P(E\mid \bar{T})$ (teste negativo), por isso usa-se $1-0.9$ e $1-0.01$. O distrator D: 0.972 é $P(\bar{E}\mid \bar{T})$.
• Em Bayes com várias causas e “qual a mais provável” (30/06-C), calcula as três posteriores e compara. Não basta ver a maior a priori, porque a resposta muda!
• “Sem reposição” e “o 1.º estava bom sabendo que o 2.º não está” (16/06-C) é Bayes ao contrário no tempo. É legítimo, e a árvore resolve.

Exemplo real (Recurso 02/02/2026, P1, 2 val., EM)

Teste de esteroides: $P(+\mid E)=0.9$, $P(+\mid \bar{E})=0.01$; 1 em cada 50 atletas toma esteroides. Probabilidade de um atleta ter tomado esteroides se o teste deu negativo? (A: 0.002 · B: 0.124 · C: 0.647 · D: 0.972)

Resolução passo-a-passo

1. $P(E)=0.02$, $P(\bar{T}\mid E)=0.1$, $P(\bar{T}\mid \bar{E})=0.99$.

2. Total: $P(\bar{T})=0.02(0.1)+0.98(0.99)=0.002+0.9702=0.9722$.

3. Bayes: $P(E\mid \bar{T})=\frac{0.002}{0.9722}=\boxed{0.002}$ → A.

Lição

Um teste negativo num grupo de baixa prevalência quase garante que o atleta está limpo. Confere qual dos ramos ($T$ ou $\bar{T}$) a pergunta pede.

Exemplo real (Recurso 30/06/2026 C, P1, 2 val., EM)

Classes $C_1,C_2,C_3$ com $P=0.25,0.375,0.375$; atendimento rápido $R$ com $P(R\mid C_i)=0.8,0.9,0.7$. Classificação mais provável de um doente não atendido rapidamente? (A: C1 · B: C2 · C: C3 · D: C2 ou C3)

Resolução passo-a-passo

1. Total: $P(R)=0.2+0.3375+0.2625=0.8$ ⇒ $P(\bar{R})=0.2$.

2. Bayes (com $\bar{R}$): $P(C_1\mid \bar{R})=\frac{0.2\cdot 0.25}{0.2}=0.25$; $P(C_2\mid \bar{R})=\frac{0.1\cdot 0.375}{0.2}=0.1875$; $P(C_3\mid \bar{R})=\frac{0.3\cdot 0.375}{0.2}=\boxed{0.5625}$ → C.

Lição

As três posteriores somam 1, o que serve de verificação grátis.

Exemplo real (Especial 21/07/2026, P1, 2 val., EM = Coletânea 2.16b)

Escavação $A$, fundação $B$, superestrutura $C$ a tempo, independentes, com $0.8,0.7,0.9$. $P$(escavação a tempo e pelo menos uma das outras não)? (A: 0.567 · B: 0.296 · C: 0.103 · D: 0.056)

Resolução passo-a-passo

Pelo complementar (mais rápido): $P(A\cap \overline{B\cap C})=P(A)[1-P(B)P(C)]=0.8(1-0.63)=\boxed{0.296}$ → B.

Lição

“Pelo menos uma não” $=\overline{B\cap C}$ (De Morgan). Evita a inclusão–exclusão da resolução oficial.

Variantes que já saíram

• Sistema em paralelo com 3 componentes iguais (16/06-A/D): $1-(1-p{)}^3$, com $p=0.8\Rightarrow 0.992$ e $p=0.4\Rightarrow 0.784$.
• Cadeia de fases (30/06-B, 3 val.): (a) $P(S)=0.7\cdot 0.6\cdot 0.5=0.21$; (b) com repescagem de 10 % dos que chumbam na 1.ª fase, $P(C)=0.21+0.1(0.3)=0.24$.
• Sem reposição, 2.ª tiragem (16/06-B, 3 val.): $P({\bar{F}}_2)=\frac{7}{10}\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\frac{2}{9}=\frac{3}{10}$. A probabilidade marginal da 2.ª tiragem é igual à da 1.ª (simetria).
• Treino na coletânea: 2.2, 2.4, 2.12, 2.14, 2.16, 2.18, 2.20, 2.23, 2.26.

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2️⃣ Q2 — Uma variável aleatória (Cap. 3)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Dada uma $f$ (tabela ou densidade por troços) ou uma $F$ (escada): passar de uma para a outra, calcular $E$, $Var$/$DP$, moda, mediana e, cada vez mais, $E[g(X)]$ ou $Var[g(X)]$ de uma transformação (custo, tempo, $5L^2+2$). Não pedem demonstrações de propriedades.

A lógica

$f(x)=F(x)-F(x^{-})\text{(saltos)}F(x)={\int }_{-\infty }^{x}fE[g(X)]=\sum g(x)f(x)(\int gf)Var=E[X^2]-E[X{]}^2$ Para transformações não lineares ($X^2$, $|X-6|$, um custo por escalões) não há atalho: faz-se a tabela de $g(x)$ ou o integral de $g(x)f(x)$. Para as lineares, $E[aX+b]=aE+b$ e $Var[aX+b]=a^{2}Var$.

Passos

1. Escrever $X$ = … em palavras, com o suporte.
2. Se te dão $F$ discreta, $f$ = saltos; se te dão $f$ contínua, integra por troços para obter $F$, acumulando a área dos troços anteriores.
3. $E[X]$, $E[X^2]$, $Var$, e $DP=\sqrt{Var}$ quando pedem desvio padrão.
4. Moda = máximo de $f$. Mediana: o menor $x$ com $F(x)\ge 0.5$ (discreta) ou $F(q)=0.5$ no troço certo (contínua).
5. Para $Y=g(X)$ discreta, faz a tabela $x\to g(x)\to P$ e soma.

O truque que distingue 1.5 val. de 3 val.

• Uma condicional “disfarçada”: ”$X>2.6$ sabendo que $X<$ mediana” (30/06-A) dá $\frac{F(q_{0.5})-F(2.6)}{F(q_{0.5})}=\frac{0.5-F(2.6)}{0.5}$, e não precisas de calcular $q_{0.5}$! Este padrão $P(A\mid B)$ com $A\subset B$ apareceu em 6 dos 9 enunciados (Q2, Q3 e Q4).
• $Var[g(X)]$ com $g$ quadrática: $Var[5L^2+2]=25(E[L^4]-E[L^2{]}^2)$. O $+2$ desaparece e o 5 sai ao quadrado.
• Comparar ”$DP$ vs $E$” ou ”$Var$ vs moda/mediana”: escreve a desigualdade final explicitamente ("$DP(X)=0.77>E(X)=0.75$"), porque é a conclusão que está a ser cotada.

Exemplo real (Época Normal 16/06/2026 A, P2, 3 val.)

$X$ = nº de características não conformes: $P(X=0,1,2,3)=0.72,0.18,0.08,0.02$. (a) Mostre que $Var(X)$ é maior que a moda e que a mediana. (b) Cada não conformidade custa 4 €, e com $\ge 2$ há mais 3 € de inspeção. $f_C$ e $E[C]$.

Resolução passo-a-passo

1. (a) $E=0.18+0.16+0.06=0.40$; $E[X^2]=0.18+0.32+0.18=0.68$; $Var=0.68-0.16=\boxed{0.52}$. Moda $=0$ (máximo 0.72). Mediana $=0$ porque $F(0)=0.72\ge 0.5$. Logo $Var>$ moda $=$ mediana. ✔

2. (b) Tabela de $C=g(X)$: $X=0\to 0$; $1\to 4$; $2\to 2(4)+3=11$; $3\to 3(4)+3=15$, com as mesmas probabilidades. $E[C]=4(0.18)+11(0.08)+15(0.02)=0.72+0.88+0.30=\boxed{1.90\text{€}}$.

Lição

Um custo “por escalões” não é linear, por isso não uses $4E[X]+\dots$. Faz a tabela.

Exemplo real (Recurso 30/06/2026 A, P2, 3 val.)

$f_X(x)=\frac{3}{8}(x-2{)}^2$ em $[2,4]$. (a) $F_X$. (b) $P(X>2.6\mid X<q_{0.5})$.

Resolução passo-a-passo

1. (a) $F_X(x)={\int }_2^x\frac{3}{8}(t-2{)}^{2}dt=\boxed{\frac{(x-2{)}^3}{8}}$ em $[2,4]$, $0$ antes e $1$ depois.

2. (b) $\{2.6<X<q_{0.5}\}\subset \{X<q_{0.5}\}$ ⇒ $P=\frac{F(q_{0.5})-F(2.6)}{F(q_{0.5})}=\frac{0.5-0.6^3/8}{0.5}=\frac{0.5-0.027}{0.5}=\boxed{0.946}$

Lição

$F(q_{0.5})=0.5$ por definição. Nem foi preciso saber que $q_{0.5}=2+\sqrt[3]{4}$.

Exemplo real (Recurso 30/06/2026 B, P2, 2 val., EM)

Erro de leitura $L\sim U(-1,1)$. $Var[5L^2+2]$? (A: 2.30 · B: 2.38 · C: 1.84 · D: 2.22)

Resolução passo-a-passo

1. $E[L^2]=Var[L]+0^2=\frac{2^2}{12}=\frac{1}{3}$; $E[L^4]={\int }_{-1}^1\frac{l^4}{2}dl=\frac{1}{5}$.

2. $Var[5L^2+2]=25\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right)=25\cdot \frac{4}{45}=\boxed{2.22}$ → D.

Variantes que já saíram

• $F$ escada → $f$, e $DP$ vs $E$ (19/01 P2, 2 val.): $F=0.45,0.8,1$ ⇒ $f=0.45,0.35,0.2$; $E=0.75$, $DP=0.7665>E$. Na versão B, $DP=0.7<E=1.1$: a conclusão muda entre versões!
• Tempo médio com $|x-6|$ (30/06-A P3, EM): $X\sim U\{\mathrm{1..12}\}$, $E[0.2+0.05|X-6|]=0.2+\frac{0.05}{12}\cdot 36=\boxed{0.35}$. Soma os $|x-6|$ à mão: $5+4+3+2+1+0+1+\cdots +6=36$.
• Densidade triangular (21/07 P4a): mostrar $E=100$ e $Var=100^2/6$ integrando os 2 troços. Serve de entrada para o TLC na alínea b (ver Q5).
• Treino na coletânea: 3.1, 3.3, 3.6, 3.7, 3.8, 3.12, 3.15, 3.16.

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3️⃣ Q3 — Famílias de distribuições (Cap. 4)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Reconhecer o modelo e o parâmetro a partir de uma pista indireta, e depois uma probabilidade. As pistas indiretas que já saíram: $P(X=3)=P(X=4)$, $P(X=0)=0.000045$, $E$ e $Var$ dados, ou $Var$ de uma uniforme. Também: amnésia (geométrica e exponencial) e o padrão de dois níveis (uma prova de Bernoulli com $p$ vindo de outro modelo, repetida $n$ vezes ⇒ binomial).

A lógica: as "pistas" e o que dão

Pista no enunciado	Conclusão
Poisson com $P(X=k)=P(X=k+1)$	$\frac{\lambda }{k+1}=1\Rightarrow \lambda =k+1$ (02/02: $\lambda =4$)
Poisson com $P(X=k+1)=cP(X=k)$	$\lambda =c(k+1)$ (30/06-C: $\lambda =1.009\times 100=100.9$)
Poisson com $P(X=0)$ dado	$\lambda =-\ln P(X=0)$ (21/07: $\lambda \approx 10.01$)
Binomial com $E$ e $Var$ dados	$1-p=\frac{Var}{E}$, $n=\frac{E}{p}$ (16/06-C: $Bi(8,0.75)$; 16/06-B: $Bi(8,0.1)$)
$U(-\alpha ,\alpha )$ com $Var$ dada	$\frac{(2\alpha {)}^2}{12}=\frac{{\alpha }^2}{3}$ (16/06-A: $\alpha =3$)
Exponencial com média $m$	$\lambda =1/m$ (16/06-C: $\lambda =1/5$)
“Já esperou/resistiu…, mais …”	Amnésia: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

Modas a saber: $Poi(\lambda )$ tem moda $\lfloor \lambda \rfloor$ (se $\lambda$ não for inteiro); $Bi(n,p)$ tem moda $m_0$ com $np+p-1\le m_0\le np+p$, ou seja $\lfloor (n+1)p\rfloor$. Saíram ambas!

Passos

1. $X$ = … ∼ Modelo(parâmetros), numa linha só e com justificação (”$n$ provas de Bernoulli independentes com $p$ constante”).
2. Obter o parâmetro a partir da pista (tabela acima).
3. Traduzir a pergunta: “pelo menos” → complementar; “nem mais de 12 nem menos de 7” → $F(12)-F(6)$.
4. Dois níveis: calcula $p=P(\text{evento num ano/medic¸a˜o})$ e depois $W\sim Bi(n,p)$.

O truque que distingue 1 val. de 3 val.

• Amnésia bem escrita: “resistiu a 5 choques, pelo menos mais 3” dá $P(X>8\mid X>5)=P(X>3)=0.9^3=0.729$ (30/06-B). Na exponencial (16/06-C): $P(X>11\mid X>3)=P(X>8)=e^{-8/5}=0.2018$. Os distratores são $e^{-11/5}=0.1108$ e $e^{-3/5}=0.5488$!
• Binomial condicional “pelo menos 3, sabendo que pelo menos 1” (16/06-A): $\frac{P(Y\ge 3)}{P(Y\ge 1)}$, porque $\{Y\ge 3\}\subset \{Y\ge 1\}$. A mesma armadilha em 16/06-B: $P(Y=3\mid Y\ge 1)=\frac{0.0331}{0.5695}=0.0581$.
• “Se não conseguir determinar $\lambda$, use $\lambda =5$”: usa mesmo o valor de recurso. As alíneas seguintes são cotadas pelo método.
• $E[X^2]$ de uma binomial sem somar nada: $E[X^2]=Var+E^2=np(1-p)+(np{)}^2$ (16/06-B: $1.998$). Atenção: a resolução oficial tem o sinal trocado (−) na fórmula, mas o número certo.

Exemplo real (Recurso 02/02/2026, P2, 3 val.)

Nº de jazidas por ano $X\sim Poi(\lambda )$, e é tão provável encontrar 3 como 4. (a) $\lambda$ e $P(X=0)$. (b) Em 10 anos independentes, $P$(menos de 3 anos sem nenhuma jazida)?

Resolução passo-a-passo

1. (a) $\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^3}{3!}=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^4}{4!}\Rightarrow \lambda =\boxed{4}$; $P(X=0)=e^{-4}=\boxed{0.0183}$.

2. (b) Dois níveis: cada ano é Bernoulli(“sem jazida”) com $p=0.0183$, e $W\sim Bi(10,0.0183)$. $P(W<3)=F_W(2)=0.8312+0.1551+0.0130=\boxed{0.9993}$

Lição

“Em quantos anos/medições acontece X” → binomial por cima do modelo de cada ano.

Exemplo real (Época Normal 16/06/2026 A, P3, 3 val.)

Erro $X\sim U(-\alpha ,\alpha )$ com $Var(X)=3$. Instável se $|X|>0.6$. (a) $\alpha$ e $P$(instável). (b) Em 4 medições independentes, $P$(pelo menos 3 instáveis sabendo que pelo menos 1 é).

Resolução passo-a-passo

1. (a) $\frac{(2\alpha {)}^2}{12}=\frac{{\alpha }^2}{3}=3\Rightarrow \alpha =\boxed{3}$. $P(|X|>0.6)=1-\frac{1.2}{6}=\boxed{0.8}$.

2. (b) $Y\sim Bi(4,0.8)$: $P(Y\ge 3)=4(0.8{)}^3(0.2)+0.8^4=0.8192$; $P(Y\ge 1)=1-0.2^4=0.9984$. $P(Y\ge 3\mid Y\ge 1)=\frac{0.8192}{0.9984}=\boxed{0.8205}$

Lição

Três ideias numa pergunta: parâmetro a partir da $Var$ → probabilidade → dois níveis + condicional disfarçada.

Exemplo real (Recurso 30/06/2026 C, P3, 3 val.)

Duração $X\sim Exp(0.02)$ horas. (a) Já funcionou 30 h: $P$(durar pelo menos mais 20 h). (b) Duração mediana.

Resolução passo-a-passo

1. (a) Amnésia: $P(X>50\mid X>30)=P(X>20)=e^{-0.4}=\boxed{0.6703}$.

2. (b) $1-e^{-0.02q}=0.5\Rightarrow q=\frac{\ln 2}{0.02}=\boxed{34.66\text{h}}$. A mediana fica abaixo da média $1/\lambda =50$, porque a cauda é longa à direita.

Variantes que já saíram

• Moda da binomial (16/06-C, 1.5 val.): demonstrar $np+p-1\le m_0\le np+p$ pelo quociente $\frac{P(X=m)}{P(X=m-1)}$; para $Bi(8,0.75)$, $5.75\le m_0\le 6.75\Rightarrow m_0=\boxed{6}$.
• $E[X]-$ moda na Poisson (30/06-C, EM): $\lambda =100.9$, moda $=100$, diferença $=\boxed{0.9}$.
• Demonstrar $E(Y)=np$ pela definição (16/06-B, 1 val.): tirar $np$ para fora da soma e reconhecer a soma de uma $Bi(n-1,p)$ como 1.
• Uniforme “disfarçada” (19/01 P3, EM): autocarros de 20 em 20 min e chegada $X\sim U(0,20)$. A espera é $20-X$, logo “espera $>10$ sabendo que espera $<15$” é $P(X<10\mid X>5)=\frac{5}{15}=\boxed{\frac{1}{3}}$.
• Intervalo na Poisson (21/07): $P(7\le X\le 12)=F(12)-F(6)=0.661$, com $F(6)$ e não $F(7)$.
• Treino na coletânea: 4.1, 4.3, 4.5, 4.9, 4.10, 4.14 (amnésia), 3.14 ($n,p$ a partir de momentos), 5.8.

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4️⃣ Q4 — Pares aleatórios (Cap. 5.1–5.2)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Discreto (tabela): marginais → condicional → $E[X\mid Y=y]$, ou $Cov$/$Corr$ + independência. Contínuo (densidade no quadrado $[0,1{]}^2$): marginais → $E[X]$, $E[XY]$ → $Cov$ → independência. Não saíram suportes triangulares nem $F_{X,Y}$ contínua: a coletânea é mais difícil do que os exames aqui.

A lógica

$f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}E[X\mid Y=y]={\sum }_{x}x{f}_{X\mid Y=y}(x)Cov=E[XY]-E[X]E[Y]Corr=\frac{Cov}{\sqrt{VarXVarY}}$ Não independência: basta uma célula com $f_{X,Y}\ne f_X{f}_Y$ (de preferência um 0 na tabela) ou $Cov\ne 0$.

Passos

1. Tabela: escreve as marginais na margem e confirma que somam 1.
2. Se a conjunta não for dada, constrói-a: $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X=x}(y)$ (19/01 P4).
3. Condicional: a linha/coluna a dividir pela marginal.
4. $Cov$: $E[XY]$ soma só as células com $xy\ne 0$.
5. Independência: zero na tabela, ou $Cov\ne 0$, ou um ponto onde $f\ne f_X{f}_Y$.

O truque que distingue 1.5 val. de 3 val.

• ”$Cov\ne 0$ ⇒ dependentes” é uma justificação válida (e a mais rápida). O recíproco não: $Cov=0$ não prova independência (Coletânea 5.6).
• $F_{X,Y}(0.5,0)$ numa tabela (21/07 P3): soma todas as células com $x\le 0.5$ e $y\le 0$, ou seja $0.23+0.02+0.02+0=0.27$ (e não $0.29$). A afirmação 4 era falsa.
• $E[2Y+1\mid X=3]=2E[Y\mid X=3]+1$: a linearidade vale para o esperado condicional. Em 16/06-C, $Y\mid X=3\sim Bi(3,\frac{1}{2})$ ⇒ $E=\frac{3}{2}$ ⇒ resposta $\boxed{4}$. Reconhecer a família da condicional poupa a soma toda.

Exemplo real (Época Normal 19/01/2026 A, P4, 2 val.)

$P(X=1,2,3)=0.2,0.5,0.3$; $P(Y=2\mid X=x)=q_x$ e $P(Y=-2\mid X=x)=1-q_x$, com $q=0.1,0.5,0.7$. Calcule $E[X\mid Y=-2]$.

Resolução passo-a-passo

1. Conjunta ($y=-2$): $f(1,-2)=0.2(0.9)=0.18$; $f(2,-2)=0.5(0.5)=0.25$; $f(3,-2)=0.3(0.3)=0.09$.

2. Marginal: $P(Y=-2)=0.52$.

3. $E[X\mid Y=-2]=\frac{1(0.18)+2(0.25)+3(0.09)}{0.52}=\frac{0.95}{0.52}=\boxed{1.827}$.

Lição

Atalho: $E[X\mid Y=y]=\frac{{\sum }_{x}xf(x,y)}{f_Y(y)}$, sem calcular cada condicional à parte.

Exemplo real (Recurso 30/06/2026 A, P4, 3 val.)

$R\backslash T$	0	1	2
0	0.40	0	0
1	0.25	0.10	0
2	0.10	0.10	0.05

(a) $Corr[R,T]$. (b) $R$ e $T$ independentes?

Resolução passo-a-passo

1. Marginais: $f_R=0.40,0.35,0.25$; $f_T=0.75,0.20,0.05$.

2. Momentos: $ER=0.85$, $E{R}^2=1.35$, $VarR=0.6275$; $ET=0.3$, $E{T}^2=0.4$, $VarT=0.31$.

3. $E[RT]=1\cdot 1(0.10)+2\cdot 1(0.10)+2\cdot 2(0.05)=0.5$; $Cov=0.5-0.255=0.245$. $Corr=\frac{0.245}{\sqrt{0.6275\times 0.31}}=\boxed{0.556}$

4. (b) $f(0,2)=0\ne f_R(0)f_T(2)=0.02$ ⇒ não independentes (ou simplesmente $Corr\ne 0$).

Exemplo real (Recurso 02/02/2026, P3, 3 val.)

$f(x,y)=x+y$ em $[0,1{]}^2$. Calcule $Cov(X,Y)$ e comente ”$X$ e $Y$ são independentes”.

Resolução passo-a-passo

1. Marginais: $f_X(x)=x+\frac{1}{2}$, $f_Y(y)=y+\frac{1}{2}$ (simetria).

2. $EX={\int }_0^{1}x(x+\frac{1}{2})dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=EY$.

3. $E[XY]={\int }_0^1{\int }_0^{1}xy(x+y)dxdy=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$.

4. $Cov=\frac{1}{3}-\frac{49}{144}=\boxed{-\frac{1}{144}}\ne 0$ ⇒ dependentes, logo a afirmação é falsa.

Lição

Com $f=x+y$ no quadrado, $f\ne f_X{f}_Y$ logo à vista. Mas o enunciado pedia a $Cov$, e é ela que justifica a resposta.

Variantes que já saíram

• Contínuo com relações dadas (30/06-C, 3 val.): $f_{T,R}=\frac{6}{11}(t^2+3r)$ em $[0,1{]}^2$, com $E[T]$ e $E[TR]$ dados em função de $E[R]$. Basta calcular $E[R]=\frac{6}{11}\left(\frac{1}{6}+1\right)=\frac{7}{11}$, e $Cov=\frac{15}{44}-\frac{6}{11}\cdot \frac{7}{11}\approx \boxed{-0.0062}$.
• EM de “afirmações verdadeiras” sobre uma tabela 3×3 (21/07 P3): condicional, distribuições marginais iguais e bimodais, dependência, $F_{X,Y}$. Verifica as quatro.
• Treino na coletânea: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.21, 5.22. A secção do Cap. 5 resolve os que não estão no Resumo.

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5️⃣ Q5 — Somas: normais e TLC (Cap. 5.3)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Uma probabilidade sobre uma soma/diferença/média. Há dois casos: (i) normais independentes, e a soma é exatamente normal; (ii) i.i.d. de qualquer modelo (Poisson, Bernoulli, uma densidade dada, ou só $E$ e $DP$), e a soma é aproximadamente normal pelo TLC. Quase sempre EM de 2 val.; às vezes é a alínea b) de uma pergunta de 3 val.

A lógica: receita em 3 linhas

$E[\sum c_i{X}_i]=\sum c_{i}E[X_i]Var[\sum c_i{X}_i]\stackrel{\text{ind.}}{=}\sum c_i^{2}Var[X_i]P(S\le s)\approx \Phi \left(\frac{s-E[S]}{\sqrt{Var[S]}}\right)$ Soma de $n$ i.i.d.: $E=n\mu$, $Var=n{\sigma }^2$. Média: $E=\mu$, $Var={\sigma }^2/n$.

Passos

1. Definir $X_i$ = … ($i=1,\dots ,n$) e $S=\sum X_i$ (ou $W=3X-2Y$).
2. $E[X_i]$ e $Var[X_i]$ de uma parcela (do modelo, ou dados no enunciado).
3. $E[S]$ e $Var[S]$, escrevendo “ind.” e “i.d.” por cima dos $=$ (é assim que a resolução oficial cota).
4. Escrever ”$S\sim N(\cdot ,\cdot )$ (reprodutividade da normal)” ou ”$S\stackrel{a}{\sim }N(\cdot ,\cdot )$ pelo TLC”, padronizar e ler $\Phi$.

O truque que distingue 1 val. de 2 val.

• “Desvio padrão igual a 3” (02/02 P4) ⇒ $Var=9$, não 3. Em $N(\mu ,{\sigma }^2)$ o 2.º parâmetro é a variância (19/01: $N(10,4)$ tem $\sigma =2$).
• Combinação com coeficientes: $Var[3X-2Y]=9VarX+4VarY$. Os coeficientes saem ao quadrado e o sinal − desaparece.
• Unidades de tempo: “3 anos” = 36 meses (02/02); “uma hora” = 60 minutos (21/07).
• Sem correção de continuidade: as resoluções oficiais de 2025/26 aplicam o TLC diretamente, mesmo em somas discretas (30/06-B: $P(S>150)$ com $z=\frac{150-160}{\sqrt{96}}$).

Exemplo real (Época Normal 19/01/2026 A, P5, 2 val., EM)

$X\sim N(10,4)$ e $Y\sim N(5,9)$ independentes; $W=3X-2Y$ e aprova-se se $W>0$. $P$(aprovar)? (A: 0.991 · B: 0.900 · C: 0.832 · D: 0.055)

Resolução passo-a-passo

1. $EW=30-10=20$; $VarW=9(4)+4(9)=72$.

2. $W\sim N(20,72)$ ⇒ $P(W>0)=1-\Phi \left(\frac{-20}{\sqrt{72}}\right)=\Phi (2.357)=\boxed{0.991}$ → A.

Exemplo real (Recurso 02/02/2026, P4, 2 val., EM)

Acidentes por mês: $E=2.5$, $DP=3$, meses independentes. $P$(mais de 100 acidentes em 3 anos)? (A: 0.17 · B: 0.29 · C: 0.52 · D: 0.71)

Resolução passo-a-passo

1. $W={\sum }_{i=1}^{36}{X}_i$: $EW=36(2.5)=90$; $VarW=36(9)=324$, ${\sigma }_W=18$.

2. TLC: $P(W>100)\approx 1-\Phi \left(\frac{10}{18}\right)=1-\Phi (0.556)=\boxed{0.29}$ → B.

Lição

O TLC não precisa do modelo: chegam $E$ e $DP$ de uma parcela.

Exemplo real (Época Especial 21/07/2026, P4b, 2 val.)

Veículos por minuto com $E=100$ e $Var=100^2/6$ (alínea a). $P$(mais de 5500 veículos numa hora)?

Resolução passo-a-passo

1. $S_{60}$: $E=6000$, $Var=60\cdot \frac{10^4}{6}=10^5$, $\sigma =316.2$.

2. TLC: $P(S>5500)\approx 1-\Phi \left(\frac{-500}{316.2}\right)=\Phi (1.58)=\boxed{0.9429}$.

Variantes que já saíram

• Soma de 2 normais (16/06-A, EM): $T=X_1+X_2\sim N(24,4.5)$ ⇒ $P(T>26)=1-\Phi (0.943)=\boxed{0.1729}$. Atenção que $Var=2(1.5^2)$, e não $(2\cdot 1.5{)}^2$.
• Média de Poisson (16/06-B, EM): $\bar{X}\stackrel{a}{\sim }N(2,2/50)$ ⇒ $P(1.5\le \bar{X}\le 2.4)=\Phi (2)-\Phi (-2.5)=\boxed{0.9710}$.
• Bernoulli → binomial pelo TLC (30/06-B, 3 val.): $S\stackrel{a}{\sim }N(400\cdot 0.4,400\cdot 0.4\cdot 0.6)=N(160,96)$ ⇒ $P(S>150)\approx \boxed{0.8463}$.
• Treino na coletânea: 5.8, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.19, 5.20, 5.23, 5.24.

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🧩 Cap. 5 — cobertura completa da coletânea

Porque é que esta secção existe

Os exames só usaram uma parte do Cap. 5, mas o MAP1 pode ir buscar o resto. A tabela mostra os 24 exercícios do Cap. 5: que tipo de pergunta são, onde já saíram, e onde está a resolução.

Ex.	Tipo	Q	Já saiu em exame?	Resolução
5.1	Tabela: marginais, $F$, condicional	Q4	Sim (19/01 P4, 30/06-A P4)	Resumo
5.2	Conjunta construída a partir de lançamentos	Q4	Parecido (19/01 P4)	Soluções da coletânea
5.3	Tabela: marginais, condicional, $E[X\mid Y]$ como v.a.	Q4	Sim (16/06-C P4)	Resumo
5.4	Conjunta construída a partir de 2 provas independentes: $|A-B|$ e $A+B$	Q4	Não	Aqui ↓
5.5	$Corr$ + $E[X\mid Y=3]$ em suporte triangular discreto	Q4	Parecido (30/06-A P4)	Soluções da coletânea
5.6	$Cov=0$ sem independência	Q4	Ideia usada em EM (21/07 P3)	Resumo
5.7	Bernoullis independentes “escondidas” numa fórmula	Q4	Não	Aqui ↓
5.8	Poisson + binomial (2 níveis) + filtragem de Poisson	Q3/Q5	Não (a parte dos 2 níveis sim)	Aqui ↓
5.9	Uniforme no quadrado: constante, independência, $F_Y$	Q4	Parecido (02/02 P3)	Soluções da coletânea
5.10	Densidade num triângulo: independência, $F_X$, condicional	Q4	Não	Resumo + aqui ↓
5.11	Marginais com termo ímpar que se anula; $P(X<Y)$	Q4	Não	Aqui ↓
5.12	Problema do encontro (área no quadrado)	Q4	Não	Resumo
5.13	$Corr$ e $Var[X\mid Y]$ no triângulo	Q4	Não	Resumo
5.14	Combinação linear de normais (tubo)	Q5	Sim (19/01 P5)	Resumo
5.15	Soma de normais (elevador)	Q5	Sim (16/06-A P4)	Resumo
5.16	Soma de consumos (TLC)	Q5	Reciclado (02/02 P4)	Soluções da coletânea
5.17	Exponencial → TLC	Q5	Parecido (21/07 P4b)	Resumo
5.18	Discreta dada → TLC	Q5	Parecido (02/02 P4)	Resumo
5.19	Uniforme + condicional (sem amnésia) + TLC da média	Q2/Q5	Não	Aqui ↓
5.20	Uniforme → binomial → TLC (três níveis)	Q3/Q5	Não (os 2 níveis sim)	Aqui ↓
5.21	Condicional de $X$ dada a soma $X+Y=z$	Q4	Não	Aqui ↓
5.22	$Corr$ numa tabela 3×3 + comentário	Q4	Parecido (30/06-A P4)	Aqui ↓
5.23	Diferença de normais	Q5	Parecido (19/01 P5)	Resumo
5.24	TLC para a média	Q5	Parecido (16/06-B)	Resumo

Coletânea 5.4: conjunta a partir de duas provas independentes

Provas $A$ e $B$ independentes, com notas 0/1/2 e probabilidades $A$: 0.2, 0.5, 0.3 e $B$: 0.2, 0.6, 0.2. Seja $X=|A-B|$ e $Y=A+B$. (a) Conjunta, marginais e $f_{X\mid Y=2}$. (b) Independência. (c) $E[Y\mid X=2]$, $P(Y=2\mid XY=0)$, $P(X+Y\text{ ıˊmpar})$.

Resolução passo-a-passo

1. Percorrer as 9 combinações $(a,b)$, com $P=p_A(a)p_B(b)$ porque as provas são independentes, e ver para onde vai cada uma:

$(a,b)$	$P$	$(X,Y)$
(0,0) · (1,1) · (2,2)	0.04 · 0.30 · 0.06	(0,0) · (0,2) · (0,4)
(0,1) · (1,0)	0.12 · 0.10	(1,1)
(1,2) · (2,1)	0.10 · 0.18	(1,3)
(0,2) · (2,0)	0.04 · 0.06	(2,2)

2. Tabela conjunta:

$X\backslash Y$	0	1	2	3	4	$f_X$
0	0.04	0	0.30	0	0.06	0.40
1	0	0.22	0	0.28	0	0.50
2	0	0	0.10	0	0	0.10
$f_Y$	0.04	0.22	0.40	0.28	0.06	1

3. $f_{X\mid Y=2}$: $X=0$ com $\frac{0.30}{0.40}=\boxed{0.75}$ e $X=2$ com $\boxed{0.25}$.

4. (b) $f(1,0)=0\ne f_X(1)f_Y(0)=0.02$ ⇒ não independentes.

5. (c) Se $X=2$, então $Y=2$ com certeza ⇒ $E[Y\mid X=2]=2$ e $V[Y\mid X=2]=0$. $XY=0$ acontece se $X=0$ (o caso $Y=0$ já está dentro de $X=0$) ⇒ $P(XY=0)=0.40$, logo $P(Y=2\mid XY=0)=\frac{0.30}{0.40}=\boxed{0.75}$. $X+Y=|A-B|+A+B=2\max (A,B)$ é sempre par ⇒ $P(X+Y\text{ ıˊmpar})=\boxed{0}$.

Lição

Quando a conjunta não é dada, faz a tabela das combinações primeiro e só depois agrupa. É o mesmo gesto de 19/01 P4, com mais casas.

Coletânea 5.22: correlação numa tabela (molde 30/06-A P4)

$X$ = acidentes por ano e $Y$ = anos de experiência:

$X\backslash Y$	0	1	2
0	0.05	0.10	0.15
1	0.20	0.10	0.05
2	0.15	0.10	0.10

Calcule $Corr(X,Y)$ e comente.

Resolução passo-a-passo

1. Marginais: $f_X=0.30,0.35,0.35$; $f_Y=0.40,0.30,0.30$.

2. Momentos: $EX=1.05$, $E{X}^2=1.75$, $VarX=0.6475$; $EY=0.9$, $E{Y}^2=1.5$, $VarY=0.69$.

3. $E[XY]=1(0.10)+2(0.05)+2(0.10)+4(0.10)=0.8$, logo $Cov=0.8-1.05(0.9)=-0.145$. $Corr=\frac{-0.145}{\sqrt{0.6475\times 0.69}}=\boxed{-0.217}$

4. Comentário: a associação linear é negativa e fraca: mais anos de experiência tendem a vir com menos acidentes. $Corr\ne 0$ ⇒ não independentes.

Coletânea 5.19: uniforme, condicional e TLC

Intervalo entre comboios $X\sim U(5,15)$ minutos. (a) $P(X>8)$. (b) Já passaram 8 min: $P$(esperar pelo menos mais 5) e o tempo esperado de espera adicional. (c) $P({\bar{X}}_{100}>9)$.

Resolução passo-a-passo

1. (a) $P(X>8)=\frac{15-8}{10}=\boxed{0.7}$.

2. (b) $P(X\ge 13\mid X>8)=\frac{P(X\ge 13)}{P(X>8)}=\frac{2/10}{7/10}=\boxed{0.286}$. Como $X\mid X>8\sim U(8,15)$, vem $E[X-8\mid X>8]=11.5-8=\boxed{3.5}$ min.

3. (c) $EX=10$ e $VarX=\frac{100}{12}$ ⇒ $\bar{X}\stackrel{a}{\sim }N\left(10,\frac{1}{12}\right)$ pelo TLC, ${\sigma }_{\bar{X}}=0.2887$: $P(\bar{X}>9)\approx 1-\Phi (-3.46)=\boxed{0.9997}$.

Lição

A uniforme NÃO tem amnésia. Com uma exponencial, a resposta da (b) seria $P(X\ge 5)$. Aqui não é: a condicional encolhe o intervalo para $(8,15)$. É a armadilha inversa da Q3.

Coletânea 5.20: uniforme → binomial → TLC

Horas de sono por noite $\sim U(7,12)$. (a) $P(>11\text{ h})$. (b) Em 20 noites, $P$(pelo menos 3 noites com mais de 11 h). (c) $P$(mais de 1100 h em 100 noites).

Resolução passo-a-passo

1. (a) $p=P(X>11)=\frac{1}{5}=\boxed{0.2}$.

2. (b) Dois níveis: $N$ = n.º de noites com mais de 11 h $\sim Bi(20,0.2)$. $P(N\ge 3)=1-F_N(2)=1-(0.0115+0.0576+0.1369)=\boxed{0.7939}$.

3. (c) TLC: $ES=100(9.5)=950$ e $VarS=100\cdot \frac{25}{12}=208.3$ ⇒ $z=\frac{1100-950}{14.43}=10.4$ ⇒ $P\approx \boxed{0}$.

Lição

É o padrão de dois níveis da Q3 com um TLC por cima. Uma só pergunta pode cobrir Cap. 4 e Cap. 5.

Coletânea 5.8: Poisson, binomial e filtragem

Partículas por período $X\sim Poi(\lambda )$ com $E[X^2]=6$. (a) Em 7 períodos, $P$(pelo menos um período com 4 ou mais partículas). (b) Um contador regista cada partícula com probabilidade 0.9: mostrar que $Y$ (registadas) $\sim Poi(1.8)$ e calcular $EY$ e a mediana.

Resolução passo-a-passo

1. Parâmetro: $E[X^2]=Var+E^2=\lambda +{\lambda }^2=6$ ⇒ $\lambda =2$.

2. (a) $p=P(X\ge 4)=1-e^{-2}\left(1+2+2+\frac{4}{3}\right)=0.1429$; $N\sim Bi(7,p)$ ⇒ $P(N\ge 1)=1-(0.8571{)}^7=\boxed{0.6602}$.

3. (b) $Y\mid X=x\sim Bi(x,0.9)$ ⇒ pela probabilidade total $P(Y=k)={\sum }_{x\ge k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)0.9^{k}0.1^{x-k}\frac{e^{-2}{2}^x}{x!}=\frac{e^{-1.8}1.8^k}{k!}$, ou seja $Y\sim Poi(1.8)$. $EY=\boxed{1.8}$. Mediana: $F(1)=0.463<0.5\le F(2)=0.731$ ⇒ mediana $=\boxed{2}$.

Coletânea 5.7, 5.10, 5.11 e 5.21: os "truques de leitura"

Quatro exercícios curtos em que a dificuldade está em ver a estrutura antes de fazer contas.

Resolução passo-a-passo

5.7. $p^{2-x-y}{q}^{x+y}=(p^{1-x}{q}^x)(p^{1-y}{q}^y)$: a conjunta fatoriza, logo $X,Y$ são Bernoulli$(q)$ independentes. $Z=X+Y\sim Bi(2,q)$ ⇒ $V(Z)=\boxed{2pq}$; $E[X\mid Y]=\boxed{q}$ (é constante, por independência). Um par com as mesmas marginais mas outra conjunta é $U=V\sim Ber(q)$: aí $P(U=1,V=1)=q\ne q^2$.

5.10. $f=6(1-x-y)$ no triângulo $x,y>0$, $x+y<1$. Suporte não retangular ⇒ não independentes (é a justificação mais rápida). $f_X(x)=3(1-x{)}^2$ ⇒ $F_X(x)=1-(1-x{)}^3$ em $(0,1)$. $f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{2(1-x-y)}{(1-y{)}^2}$ para $0<x<1-y$. Com $y=\frac{1}{2}$: $P(X<\frac{1}{4}\mid Y=\frac{1}{2})={\int }_0^{1/4}8(\frac{1}{2}-x)dx=\boxed{\frac{3}{4}}$. E $P(X<\frac{3}{4}\mid Y>\frac{1}{2})=\boxed{1}$, porque $Y>\frac{1}{2}$ obriga a $X<\frac{1}{2}$.

5.11. O termo $x(y-1)[x^2-(y-1{)}^2]$ é ímpar em $x$ (e em $u=y-1$) ⇒ integra a 0 ⇒ $f_X=\frac{1}{2}$ em $(-1,1)$ e $f_Y=\frac{1}{2}$ em $(0,2)$. Pela mesma simetria, $P(X<Y)$ fica igual à de um par uniforme: $1-\frac{\text{aˊrea}\{x\ge y\}}{4}=1-\frac{1/2}{4}=\boxed{\frac{7}{8}}$.

5.21. Com $X,Y$ geométricas (a começar em 0) independentes: $P(X=x\mid X+Y=z)=\frac{P(X=x)P(Y=z-x)}{P(X+Y=z)}=\frac{(1-p{)}^{x}p(1-p{)}^{z-x}p}{(1+z)(1-p{)}^z{p}^2}=\boxed{\frac{1}{z+1}}$, ou seja uniforme em $\{0,\dots ,z\}$.

Lição

Antes de integrar: a conjunta fatoriza? O suporte é retangular? Há termos ímpares que se anulam? Estas três perguntas resolvem metade do exercício.

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🔁 Padrões Recorrentes

Aparece quase sempre

• Probabilidade condicional “disfarçada” $P(A\mid B)$ com $A\subset B$ ⇒ $\frac{P(A)}{P(B)}$: 19/01 P3, 16/06-A P3b, 16/06-B P3b, 16/06-C P3, 30/06-A P2b, 30/06-C P3a.
• Bayes/probabilidade total na Q1 (5 dos 9 enunciados).
• Parâmetro a partir de uma pista indireta (Poisson, binomial, uniforme, exponencial), e logo a seguir uma probabilidade.
• Padrão de dois níveis: probabilidade de um evento → $Bi(n,p)$ (02/02, 16/06-A, 21/07).
• Amnésia (geométrica ou exponencial), sempre como EM com distratores $P(X>s+t)$ e $P(X>s)$.
• Momentos $E$, $E[X^2]$, $Var$: em praticamente todas as perguntas abertas.
• $Cov$ + “são independentes?” num par aleatório.
• TLC ou soma de normais numa EM de 2 val.
• Exercícios reciclados da coletânea: 2.12 (transístores), 2.16 (projeto de construção), 3.14 ($n,p$ a partir de momentos), 4.14 (amnésia), 5.16 (soma de consumos).

Checklist anti-erro

• Escrevi $X$ = … ∼ Modelo(parâmetros) com a justificação (provas independentes, $p$ constante)?
• A condicional pedida é $P(\cdot \mid T)$ ou $P(\cdot \mid \bar{T})$? Usei os complementares certos?
• Em v.a. discretas: $<$ ou $\le$? ($F(12)-F(6)$ para $7\le X\le 12$.)
• Exponencial: $\lambda =1/\text{meˊdia}$? Normal: dividi pelo desvio padrão?
• $Var[aX+b]=a^{2}Var$; $Var[X-Y]=VarX+VarY$ (ind.); $Var[2X]\ne Var[X_1+X_2]$?
• Poisson/somas: o intervalo de tempo e as unidades batem certo (meses ↔ anos, min ↔ h)?
• TLC: disse “aproximadamente, pelo TLC” e usei $n{\sigma }^2$ (soma) ou ${\sigma }^2/n$ (média)?
• Independência: dei um contra-exemplo ($f\ne f_X{f}_Y$) ou $Cov\ne 0$, e não ”$Cov=0$ logo independentes”?
• Todas as EM ficaram assinaladas (o palpite tem valor esperado positivo)?

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📅 Plano de Estudo Sugerido

Roteiro (≈ 6 sessões)

• Sessão 1 — Q1: reler Resumo §2; fazer a P1 de todos os 9 enunciados (≈10 min cada) + Coletânea 2.16, 2.20, 2.23, 2.26.
• Sessão 2 — Q2: Resumo §3; 19/01 P2, 16/06-A P2, 30/06-A P2–P3, 30/06-B P2, 21/07 P4a + Coletânea 3.6, 3.12.
• Sessão 3 — Q3: Resumo §4; 02/02 P2, 16/06-A P3, 16/06-B P2–P3, 16/06-C P2–P3, 30/06-B P3, 30/06-C P2–P3, 21/07 P2 + Coletânea 3.14, 4.14.
• Sessão 4 — Q4 + Q5: Resumo §5; 19/01 P4–P5, 02/02 P3–P4, 16/06-A P4, 16/06-B P4, 16/06-C P4, 30/06-A P4, 30/06-B P4, 30/06-C P4, 21/07 P3–P4b.
• Sessão 5 — Cap. 5 além dos exames: secção do Cap. 5; fazer 5.4, 5.10, 5.19, 5.20, 5.22 sem olhar para a resolução, e depois 5.7, 5.8, 5.11, 5.21 (truques de leitura).
• Sessão 6 — Simulação: a 1.ª metade de um exame ainda não feito (as versões D/E/F têm outros números), cronometrada a 60 min, só com o formulário oficial e as tabelas. Corrigir com a resolução e rever a checklist anti-erro.

Exames disponíveis para treino (resoluções oficiais)

Para o MAP1, usar só as P1–P4/P5 (até à primeira pergunta de estimação ou intervalos).

Data	Época	Versões	Perguntas do MAP1
19/01/2026	Normal	A · B	P1–P5
02/02/2026	Recurso	A · B	P1–P4
16/06/2026	Normal	A · B · C · D · E · F	P1–P4
30/06/2026	Recurso	A · B · C · D · E · F	P1–P4
21/07/2026	Especial	única	P1–P4

Pares com o mesmo enunciado: 16/06 A≈D, B≈E, C≈F; 30/06 A≈D, B≈E, C≈F. A segunda versão de cada par serve de re-treino com outros números.

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🔗 Notas relacionadas

• Resumo MAP1: teoria e exercícios resolvidos da coletânea (a base deste guia).
• Formulário MAP1: fórmulas que saem segundo este guia, com as que não estão no formulário oficial assinaladas.
• Coletânea 2026/27 (soluções no fim).

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Recém-modificadas em Probabilidade e Estatística (DataviewJS)

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