Resumo — MAIG MAP2

Parent project: Modelação e Análise de Informação Geográfica

Âmbito desta nota

Matéria do MAP2: Temas 3–6. Cobre o modelo matricial (álgebra de mapas, reamostragem, interpolação), modelação do relevo e hidrológica, generalização (MAUP, falácia ecológica) e superfícies de custo (Dijkstra, corredores, Steiner). Cada secção tem: teoria explicada → passos do método → exemplos/fórmulas → erros comuns. Usa esta nota como referência durante os exercícios.

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Mapa da Matéria

Tema	Assunto central	Ferramenta / conceito-chave
3	Modelo Matricial	Álgebra de mapas (local/focal/zonal/global), reamostragem, interpolação
4	Modelação do Relevo e Hidrológica	MDT, declive, orientação, Strahler/Shreve, Dijkstra hidrológico
5	Generalização	Operadores gráficos, MAUP, falácia ecológica, COSP
6	Superfícies de Custo	Custo acumulado, Dijkstra, corredores, Steiner

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Tema 3 — Modelo Matricial

Estrutura da grelha

Grelha regular de células formando uma tesselação/pavimentação.

• Cada célula tem um único valor (inteiro ou real)
• Células sem dados → No Data / Null
• Polígonos que formam tesselações: triângulos, quadrados, hexágonos — pentágonos não dão

Zonas e Regiões

• **Zona** = grupo de células com o mesmo valor (cada zona ↔ linha na tabela de atributos)
• **Região** = zona contígua (o número varia consoante a definição de contiguidade)

Resolução espacial

Célula menor	Célula maior
+ resolução / precisão espacial	− detalhe
− processamento (mais lento)	+ processamento (mais rápido)
+ espaço em disco	− espaço em disco

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Reamostragem e Compatibilização

Definição de reamostragem

Alteração da resolução espacial de uma matriz → nova matriz com células de tamanho diferente. Necessária em transformações de coordenadas e operações de álgebra de mapas entre matrizes de resolução diferente.

Método	Como funciona	Quando usar
Vizinho mais próximo	Valor da célula mais próxima na matriz original	Dados categóricos / nominais
Interpolação bilinear	Média ponderada das 4 células mais próximas	Dados contínuos
Convolução cúbica/bicúbica	Usa mais células vizinhas (mais suave)	Dados contínuos

Cuidados na reamostragem

• Vizinho mais próximo: não altera valores originais, mas estruturas lineares ficam com aspeto zigzag
• Bilinear: pode gerar valores que não existiam na matriz original → não usar para dados nominais

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Álgebra de Mapas

Os 4 tipos de funções

A álgebra de mapas divide-se em quatro famílias segundo o âmbito espacial da operação: local, focal, zonal e global.

Funções Locais

Funções Locais — definição

Combinam valores de uma ou mais matrizes na mesma posição (célula a célula).

• Operadores aritméticos: + − × /
• Operadores booleanos: AND OR NOT XOR (0=FALSE, 1=TRUE; −0 também é TRUE)
• **Reclassificação** — das operações locais mais usadas

Exemplo de função local

VarPop = ((Pop2010 − Pop2000) / Pop2000) × 100 Atenção à divisão inteira vs. divisão real e à precedência de operadores.

Funções Focais

Funções Focais — definição

Usam os valores das células numa vizinhança próxima (foco) em torno de cada célula-alvo.

Tipo	Descrição
Função Focal (janela móvel)	Vizinhanças sobrepõem-se
Função de Bloco	Vizinhanças justapostas — valor igual em todas as células do bloco

O foco pode ter qualquer forma: circular, anular, cunha, irregular…

Aplicações das funções focais

• Remoção de ruído / outliers
• Cálculo de declive e orientação (janela 3×3)
• Rugosidade: $R_{std}=\sqrt{\sum (X_{ij}-\bar{X}{)}^2}$
• TPI (Índice de Posição Topográfica)

Funções Zonais

Funções Zonais — definição

Calculam para cada célula um valor usando todas as células da mesma zona.

Tipo	Zona definida por	Resultado
Tipo I	Valor isolado (uma matriz)	Estatísticas ou geometria da zona (área, perímetro, profundidade)
Tipo II	Segunda matriz	Preencher zonas com estatísticas de outra matriz

Exemplos tipo II: Máximo, Mínimo, Média, Mediana, Soma, Variância, Variedade…

Funções Globais

Funções Globais — definição

Todas as restantes funções de análise matricial — o resultado de cada célula depende de toda a matriz.

Exemplos de funções globais

• Distâncias (a entidades vetoriais ou células com valor específico)
• Visibilidade
• Custos acumulados / caminhos de menor custo → ver Tema 6
• Propagação / Alocação / “Voronoi matricial”

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Interpolação

Definição e pressuposto

Técnica para estimar valores desconhecidos a partir de valores conhecidos da mesma função. Pressuposto: os valores são espacialmente dependentes — 1ª Lei da Geografia de Tobler: “Tudo está relacionado com tudo, mas coisas próximas estão mais relacionadas do que coisas distantes.”

Método	Características	Exato?
Vizinho mais próximo (Thiessen)	Área do polígono Thiessen = peso; descontinuidades	✅
Vizinho natural	Pesos ∝ área de Thiessen	✅
IDW	Pesos ∝ 1/d^n; tende para a média ao afastar-se	✅
Trend (Superfície de tendência)	Polinómio por mínimos quadrados	❌
Splines	Superfície de curvatura mínima	✅
Triangulações (TIN)	Interpolação linear dentro do triângulo	✅
Raio fixo	Média dos pontos dentro do raio	❌
Krigagem	Baseada em variabilidade espacial + autocorrelação; fornece mapa de incerteza	✅

IDW — Inverse Distance Weighted

$z(x_0)=\frac{{\sum }_{i=1}^{n}z(x_i)\cdot d_i^{-p}}{{\sum }_{i=1}^n{d}_i^{-p}}\sum {\lambda }_i=1$

• p maior → maior diferença entre células vizinhas
• vizinhança maior → superfície mais suave
• Estima exatamente nos pontos amostrais

Erros de interpolação

$e=\hat{f}(x,y)-f(x,y)$ $MAE=\frac{1}{n}\sum |\hat{f}(x,y)-f(x,y)|MSE=\frac{1}{n}\sum [\hat{f}(x,y)-f(x,y){]}^2$

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Conversão Vetorial → Matricial

Regras de atribuição de valor

• Maior parte da área (para áreas)
• Valor no centro
• Presença na célula (para entidades lineares)

Resolução recomendada

≤ ½ do menor comprimento ou ≤ ¼ da menor área do menor elemento vetorial não pontual

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Matricial vs. Vetorial

	Matricial ✅	Vetorial ✅
Vantagens	Estrutura simples; análise fácil; deteção remota; algoritmos simples	Precisão posicional; menor volume de dados; topologia; produtos cartográficos
Desvantagens	Inexatidão posicional; generalização do conteúdo; grande volume de dados	Manipulação complexa; processamento geométrico; edição demorada

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Tema 4 — Modelação do Relevo e Hidrológica

Modelos Digitais do Terreno

MDT vs. MDS

• **MDT** (Modelo Digital do Terreno) — inglês: DEM / DTM → superfície do terreno
• **MDS** (Modelo Digital da Superfície) — inglês: DSM → inclui árvores e edifícios

Forma de representação	Descrição
Matriz (GRID)	Células regulares
TIN	Triangulated Irregular Network
Isolinhas	Curvas de nível (polylines)

Criação de MDTs

Curvas de nível + interpolação · fotografia aérea estereográfica · LiDAR · satélite · GNSS

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Grandezas Derivadas

Parâmetros morfométricos

• Altitude — valor direto
• Declive + Orientação — 1.ª derivada (variação)
• Curvatura (longitudinal + transversal) — 2.ª derivada (variação da variação)

Declive

Fórmula do declive

$\frac{dh}{dp}=\sqrt{{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dy}\right)}^2}$ $decl(°)=\arctan \left(\frac{dh}{dp}\right)decl(\%)=\frac{dh}{dp}\times 100$

Fórmula para janela 3×3 (letras a–i, espaçamento c)

a | b | c
d | e | f
g | h | i

$\frac{dz}{dx}=\frac{(a+2d+g)-(c+2f+i)}{8\times c_x}\frac{dz}{dy}=\frac{(g+2h+i)-(a+2b+c)}{8\times c_y}$

Exemplo numérico (espaçamento = 30 m)

a=80, b=74, c=63, d=69, e=67, f=56, g=60, h=52, i=48

$dz/dx=0,229$ · $dz/dy=-0,329$

$\text{Decl}=\sqrt{0,229^2+0,329^2}=0,401\Rightarrow \arctan (0,401)=21,8°$

$\text{Orient}=\arctan (0,229/-0,329)=-34,8°\stackrel{+180°}{\to }145,2°$ (SE)

Orientação

Fórmula da orientação

Direção de maior declive descendente (N=0°, E=90°, S=180°, W=270°) $Orient=\arctan \left(\frac{dz/dx}{dz/dy}\right)\text{(ajustar ao quadrante)}$

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Caracterização Morfométrica

Forma (PT)	Forma (EN)	Descrição
Cume	PEAK	Convexidade em todas as direções
Festo	RIDGE	Convexidade ortogonal a uma direção sem concavidade
Colo	PASS	Convexidade ortogonal a uma concavidade
Plano	PLANE	Sem concavidade/convexidade em nenhuma direção
Talvegue	CHANNEL	Concavidade ortogonal a uma direção plana
Depressão	PIT	Concavidade em todas as direções

Índice de Posição Topográfica (TPI)

TPI — intuição

Diferença entre altitude de uma célula e a média da vizinhança.

Interpretação do TPI

Valor	Forma	Interpretação
TPI > 0	Tergo/cume	Célula mais alta que a vizinhança
TPI ≈ 0 + declive alto	Meia-encosta
TPI ≈ 0 + declive baixo	Planície
TPI < 0	Vale/depressão	Célula mais baixa que a vizinhança

Comparando TPI numa vizinhança pequena (VP) e grande (VG) → 10 classes morfométricas

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Modelação da Visibilidade

Condição de visibilidade

O ponto q é visível a partir do observador p se: $\partial \overline{pq}=\frac{(f(q)+a_q)-(f(p)+a_p)}{\Vert p,q\Vert }\ge \partial \overline{pi}=\frac{f(i)-(f(p)+a_p)}{\Vert p,i\Vert }\forall i:\Vert p,i\Vert <\Vert p,q\Vert$

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Modelação Hidrológica

Workflow completo — escoamento superficial

MDT ──[Fill]──► MDT sem depressões
                      │
              [Dir. escoamento]
                      │
        Matriz de direções de escoamento
                      │
          [Escoamento acumulado]
                      │
        Matriz de escoamento acumulado
                 /          \
     [Reclassificação]    Flow length · Snap pour
             │
       Linhas de água ──► Segmentos ──► Ordem hierárquica
             │
      Bacia hidrográfica

Direções de escoamento — 8 direções

Codificação em potências de 2

Porquê potências de 2? — Cada valor é único e não ambíguo (representação binária).

32	64	128
16	—	1
8	4	2

Pits (depressões/poços)

Pits — o que são e como resolver

• Célula que não drena para nenhuma vizinha
• MDTs artificiais criam pits artificiais
• Se não resolvidos → sumidouros que isolam partes da bacia hidrográfica
• **Pit filling = 1.ª operação** a realizar antes de calcular direções de escoamento

Área de drenagem

Número de células que drenam para cada célula.

• Com a própria célula → mínimo = 1
• Sem a própria célula → mínimo = 0

Linhas de água e limiar

Células com área de drenagem acima de um limiar:

• Limiar baixo → mais linhas, mais detalhe, sub-bacias menores
• Limiar alto → menos linhas, sub-bacias maiores

Classificações hierárquicas

Strahler vs. Shreve

	Strahler	Shreve
Dois afluentes iguais	→ ordem seguinte (n+1)	Soma (n+n=2n)
Dois afluentes diferentes	→ maior ordem	Soma sempre
Exemplo	1+1=2 · 1+2=2 · 2+2=3	1+1=2 · 1+2=3 · 2+3=5

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Classificação das funções — Resumo Tema 4

Tabela por tipo de função (útil para exercício)

Locais	Focais	Zonais	Globais
Altitude	Declive	Área de drenagem	Direções de escoamento
Reclassificação	Orientação	Bacias hidrográficas	Linhas de água (via acumulação)
	Curvatura	Segmentos de linhas de água	Visibilidade
	Rugosidade		Caminhos de menor custo
	TPI		Distância euclidiana
	Hillshade		Propagação/Alocação

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Tema 5 — Generalização

Tipos de Generalização

Dois tipos principais

Tipo	O que muda	Operações
**Conceptual**	Muda a legenda	Seleção/omissão, reclassificação, ressimbolização
**Gráfica**	Mantém a legenda	Operações gráficas

Operadores de Generalização Gráfica

Os 10 operadores

Operador	Descrição
Simplificação	Redução do nº de vértices (ex: Douglas-Peucker)
Suavização	Deslocamento de vértices; alteração da sinuosidade
Agregação	Agrupamento em entidade hierarquicamente superior
Colapso	Mudança de classe topológica (área→linha, área→ponto)
Refinamento	Seleção de subconjunto representativo mantendo padrão
Exagero	Ampliar dimensão/forma para evidenciar características
Realce	Alteração de forma/dimensão/tipo de símbolo
Deslocação	Deslocar entidades para legibilidade
Omissão/Seleção	Não representar determinadas entidades
Classificação	Agrupamento de atributos (redução de classes)

Efeitos da Generalização na Análise SIG

Efeitos a conhecer

• Diminuição (em geral) do comprimento de linhas
• Alteração de áreas e perímetros (podem aumentar ou diminuir)
• Alteração de posições relativas
• Mudança de classe topológica
• Diminuição do número de entidades
• Perda de detalhe e precisão espacial → introdução de erros de agregação (MAUP)
• Perda de conectividade e topologia

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Autocorrelação Espacial

1ª Lei da Geografia — Waldo Tobler

“Tudo está relacionado com tudo, mas coisas próximas estão mais relacionadas do que coisas distantes.”

Medidas de autocorrelação espacial

Joins count statistics · I de Moran · C de Geary · Nuvem do variograma

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Correlação Cruzada

Correlação ≠ Causalidade

A correlação pode ser positiva, negativa ou zero entre duas variáveis espaciais — mas a existência de correlação não implica causalidade.

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MAUP — Problema da Unidade de Área Modificável

Definição

As unidades espaciais são arbitrariamente definidas → uma organização distinta cria resultados analíticos diferentes.

Dois efeitos:

Efeito	Descrição	Exemplo
**De escala**	Valorações distintas ao agregar a diferentes níveis	Freguesia vs. concelho vs. distrito
**De generalização**	Mesmo nível de agregação, diferentes agrupamentos → resultados diferentes	Zoneamentos alternativos

Gerrymandering

Ação propositada de alterar as unidades de base para condicionar resultados analíticos/eleitorais. O mesmo conjunto de pontos pode dar resultados 4-0, 3-1, 2-2 ou 1-3 consoante o zoneamento escolhido.

MAUP — conclusões

• É inerente a qualquer análise espacial com dados agregados
• A escala e o zoneamento importam sempre
• Pode distorcer profundamente políticas públicas baseadas em dados SIG

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Falácia Ecológica

Falácia Ecológica

Ocorre quando se faz uma inferência sobre um indivíduo com base em informação agregada.

Exemplo: Correlação entre % desemprego e % votos num partido → “Os desempregados votam nesse partido” ❌

Oposto: **Generalização Precipitada** (inferência de grupo com base em indivíduo)

COSP — Problema de Mudança de Suporte

MAUP + Falácia Ecológica = COSP São fontes sistemáticas de enviesamento em qualquer análise baseada em dados georreferenciados agregados. → Consciência metodológica e análise multi-escala são essenciais.

Exemplos práticos de COSP

Área	Exemplo	Risco
Saúde Pública	Mortalidade por distrito vs. unidade de saúde familiar	Atribuir causas coletivas ignorando variáveis individuais
Criminologia	Índices de criminalidade por bairro	Perfil racial com base em estatísticas agregadas
Economia Regional	PIB per capita por NUTS	Inferir rendimento individual do rendimento médio municipal
Estudos Eleitorais	Padrões de voto por círculo	Assumir homogeneidade eleitoral dentro do círculo

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Tema 6 — Superfícies de Custo

Distâncias: conceitos base

Tipos de distância

Conceito	Descrição
Distância euclidiana	Linha reta; distância mínima de cada célula à origem mais próxima
Distância célula-a-célula	Caminho via células consecutivas

Erro máximo da distância célula-a-célula vs. euclidiana

Direções	Erro máximo
4	41,41%
8 (mais comum)	**7,96%**
16	3,96%

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Os 5 Tipos de Matrizes

Sequência de obtenção

#	Nome	Como se obtém
1	Superfície de custo (pesos/atrito)	Dada / construída
2	Distância acumulada (custo acumulado)	De 1 + local(ais) de origem
3	Direções (back-link)	De 1 + local(ais) de origem
4	Caminho ótimo (menor custo)	De 3 + local de destino
5	Matriz de alocação/associação	De 3

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Obtenção do Caminho de Menor Custo

Custo de transição entre células

Cardinal: $C(A,B)=\frac{c_A+c_B}{2}\times 1$

Diagonal: $C(A,B)=\frac{c_A+c_B}{2}\times \sqrt{2}\approx \frac{c_A+c_B}{2}\times 1,414$

Dijkstra vs. Maior Descida

**Só o algoritmo de Dijkstra garante o caminho de menor custo.** A regra da maior descida não garante o ótimo global — pode ficar preso em mínimos locais.

Algoritmo de Dijkstra

• Calcula distância mínima da origem a todos os nós do grafo
• Funciona apenas com pesos ≥ 0
• Baixa complexidade computacional

Passos para obter o caminho de menor custo

1. Superfície de custo (dada)
2. Definir vizinhanças → grafo induzido pelas transições entre células
3. Calcular custo de cada transição (fórmulas acima)
4. Selecionar origem e destino
5. Executar Dijkstra → superfície de custo acumulado + back-link
6. Seguir o back-link do destino até à origem → caminho ótimo

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Extensões

Anisotropia

Anisotropia

Custo dependente do **sentido** de atravessamento — ex: custo de subir ≠ custo de descer num declive.

Aplicação prática: localização de canais para transporte de líquidos (solução gravítica vs. bombagem).

Novas Direções e Métricas

Métricas de distância célula-a-célula

Métrica	Cardinal / Diagonal	Erro máx. vs. euclidiana
A	1 / 1	41,41%
B	2 / 1	29,29%
**C**	**√2 / 1**	**7,96%**
D	1,36… / 0,96…	3,96%

Pontes e Túneis

Saltos entre células não adjacentes

$C(A,B{)}_{ponte}=D(A,B)\times custo\_unit\_ponte+custo\_altura\_ponte$ $C(A,B{)}_{t\acute{u}nel}=D(A,B)\times custo\_unit\_t\acute{u}nel$

Corredores

Corredores

Faixas que ligam dois locais sem exceder um custo máximo. As faixas não têm largura constante. Muito usados em modelação ambiental.

Passos para obter corredores

1. Calcular superfície de custo acumulado a partir da origem
2. Calcular superfície de custo acumulado a partir do destino
3. Somar as duas superfícies
4. Reclassificar as células abaixo de um valor limiar → corredor

Redes com 3+ Pontos (Steiner)

Topologias de rede

Topologia	Descrição
A — geral	Triângulo simples
**B — Steiner**	Minimiza comprimento total — ponto de Steiner no interior
C — utilização	Minimiza distância entre vértices

Encontrar o ponto de Steiner (3 locais)

1. Calcular 3 superfícies de custo acumulado (uma por local)
2. Somá-las
3. Célula com **valor mínimo** na matriz soma = ponto de Steiner

Com 4+ pontos o problema é geometricamente muito mais difícil (combinatória enorme).

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Limitações das Superfícies de Custo

Limitações

• Nulos são barreiras absolutas
• Difícil modelar sentidos proibidos
• Difícil modelar custos dependentes do sentido (sem anisotropia)
• Difícil modelar saltos entre células não adjacentes (sem extensão ponte/túnel)
• Corredores e novas direções requerem configurações explícitas

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Quadro-Resumo Geral — Álgebra de Mapas

Classificação completa por tipo de função

Local	Focal	Zonal	Global
Reclassificação	Declive	Área de drenagem	Distância euclidiana
Operações aritméticas	Orientação	Bacias hidrográficas	Visibilidade
Operações booleanas	Curvatura	Segmentos de linhas de água	Direções de escoamento
Variação percentual	Rugosidade	Estatísticas zonais	Custos acumulados / Dijkstra
	TPI		Propagação / Alocação
	Hillshade

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Não esquecer (lê antes do teste)

• Reclassificação é local (célula a célula, mesma posição)
• Declive e orientação são focais (janela 3×3)
• Só **Dijkstra** garante o caminho de menor custo — maior descida não garante
• **Pit filling = 1.ª operação** na modelação hidrológica
• 8 direções em potências de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
• **MAUP + Falácia Ecológica = COSP** — correlação ≠ causalidade
• Vizinho mais próximo → categórico; bilinear → contínuo
• Corredores = soma de 2 superfícies acumuladas + reclassificação pelo limiar
• TPI > 0 = tergo · TPI < 0 = vale · TPI ≈ 0 = encosta/plano
• Strahler: dois iguais avançam · Shreve: soma sempre

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Recursos

Ficheiros e materiais de estudo

Resumo da matéria: esta nota cobre os Temas 3–6. Exercícios de teste: ver pasta Preparação MAP2/ com testes dos anos 23-24 e 24-25.

Notas relacionadas (Dataview)

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Recém-modificadas (DataviewJS)

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