Guia-Estudo-CDI3-MAP1

🎯 Guia de Estudo — CDI-III MAP1

Parent project: Cálculo Diferencial e Integral III Notas irmãs: 📘 Resumo — MAP1 · 🧮 Formulário — MAP1 Prova: 20 out 2026 (ter) 19:30 · 1 h · sem consulta nem calculadora · 50 % da nota final

De onde vem este guia

• Provas analisadas: MAP1/Teste 1 2025/26 (LEC e LEME, enunciado + soluções) e Teste 1 2024/25 (LEIC-A, enunciado + soluções — as soluções correspondem a uma versão ligeiramente diferente do enunciado).
• Matéria: Fichas 1–6 → superfícies, Gauss, Stokes, EDOs de 1.ª ordem, Picard, $e^{At}$, sistemas $X^{\prime }=AX$ e diagramas de fase. Toda a teoria está no Resumo; este guia diz o que sai e como se resolve.
• ⚠️ Formato novo em 2026/27 (informação do professor): 5 exercícios/alíneas →
  • 1 obrigatório de EDOs;
  • 1 obrigatório de sistemas $X^{\prime }=AX$ (provavelmente com matriz diagonalizável);
  • 3 opcionais — Gauss, Stokes, Picard — dos quais só contam 2.
• Os MAPs antigos nunca tiveram sistemas nem Picard → para essas duas secções os exemplos vêm das Fichas 5–6 e do Resumo. Os valores de cada questão ainda não são conhecidos — a tabela abaixo usa uma estimativa (≈ 5 val. cada uma das 4 que contam).

🗺️ Estrutura do Exame

Formato 2026/27 (anunciado)

Q	Tema	Valores (estimativa)	Fichas	Probabilidade
Q1	EDO de 1.ª ordem (obrigatória) — mudança de variável / linear / separável + intervalo máximo	~5	4	Certa
Q2	Sistema $X^{\prime }=AX$ (obrigatória) — valores/vetores próprios, $e^{At}$, PVI, diagrama de fase	~5	5–6	Certa
Q3	Gauss (opcional) — fluxo, quase sempre “fechar a superfície”	~5	2	Certa (escolhes)
Q4	Stokes (opcional) — rotacional + circulação via superfície mais simples	~5	3	Certa (escolhes)
Q5	Picard (opcional) — unicidade, infinitas soluções, iteradas	~5	5	Certa (escolhes)

Histórico (para perceber o estilo do professor)

Prova	P1	P2	P3
2025/26	[7] Esboço de paraboloide + Gauss fechando com disco → $2\pi$	[6] $\nabla \times B$ + Stokes trocando semiesfera por disco → $0$	[7] Logística $x^{\prime }=(a-bx)x$ com $w=1/x$ → linear
2024/25	[6] Circulação direta + Stokes (cilindro ∩ plano) → $9\pi$	[7] Esboço de tronco de cone + Gauss com 2 tampas → $12\pi$	[7] Homogénea com $z=x/t$ → separável + $I_{\max }$

Estratégia global de tempo (60 min, 4 exercícios contam)

1. Min 0–3: lê tudo. Decide já quais 2 opcionais fazes e não mudes de ideias a meio.
2. Ordem sugerida: o opcional que te parecer mais fácil → Q1 EDO → Q2 Sistema → segundo opcional.
3. ≈ 13 min por exercício; os 5 min finais são para verificar sinais e orientações.
4. Escolha dos opcionais: Gauss e Stokes são os mais mecânicos e têm historial (sabes exatamente o que sai). Picard é rápido se for o molde “infinitas soluções / não contradição”; se pedir iteradas com integrais feios, foge. Regra: escolhe os dois em que já vês o caminho completo na primeira leitura.
5. Se o enunciado disser “responda apenas a 2”, risca claramente o terceiro — se fizeres os 3, pode contar só os 2 primeiros.

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1️⃣ Q1 — EDO de 1.ª ordem (obrigatória)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem: uma EDO não linear em que o enunciado dá a mudança de variável ($w=1/x$, $z=x/t$, $v=y^{1-n}$…), mostrar que a nova equação é linear ou separável, resolvê-la, voltar à variável original, impor a condição inicial e (muito frequente) indicar o intervalo máximo de existência ou o limite quando $t\to \infty$ / esboço.
• Não pedem: equações de ordem superior, Laplace (são do MAP2). Equações exatas são raras.

A lógica

Qualquer EDO do MAP reduz-se a um de dois moldes que sabes resolver de olhos fechados:

• Linear: $y^{\prime }+a(t)y=b(t)$ → fator integrante $\mu =e^{\int a}$ → $(\mu y{)}^{\prime }=\mu b$.
• Separável: $y^{\prime }=g(t)h(y)$ → $\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(t)dt$ (+ não esquecer as soluções constantes $h(y)=0$). A mudança de variável é só a ponte para lá chegar.

Passos

1. Substituir a mudança dada: escrever $y$ e $y^{\prime }$ em função da nova variável (ex.: $x=tz\Rightarrow x^{\prime }=z+t{z}^{\prime }$; $w=1/x\Rightarrow w^{\prime }=-x^{\prime }/x^2$).
2. Simplificar até ter a forma linear ou separável — mostrar esse resultado (costuma valer uma alínea).
3. Resolver a nova equação (fator integrante ou separação).
4. Voltar à variável original.
5. Impor $y(t_0)=y_0$ para obter a constante.
6. Intervalo máximo (molde oficial): “O domínio de diferenciabilidade da solução é $D=\dots$; $I_{\max }$ é o maior intervalo $I\subset D$ com $t_0\in I$.” Procurar: denominadores a zero, raízes pares de negativos, logaritmos de não positivos, e os pontos excluídos pela própria EDO (ex.: $t=0$ se a EDO tem $t$ no denominador).

O truque que distingue nota 3 de nota 5

• Intervalo máximo: tem de conter $t_0$ e ser um intervalo (não uma união). Se o domínio for $]-\infty ,-a[\cup ]a,+\infty [$ e $t_0=1>a$, a resposta é só $]a,+\infty [$.
• Sinal da raiz: ao isolar $x$ de $x^4=\dots$ ou $x^2=\dots$, escolhe o sinal pela condição inicial.
• Constante “absorvida”: $\ln |z|=\dots +C\Rightarrow z=K{e}^{\dots }$ com $K\ne 0$ — e depois verifica se $K=0$ (solução constante) também serve.

Tabela de reconhecimento rápido

Forma	Mudança	Resulta em
$y^{\prime }+a(t)y=b(t)$	—	linear
$y^{\prime }=g(t)h(y)$	—	separável
$y^{\prime }+a(t)y=b(t)y^n$ (Bernoulli)	$v=y^{1-n}$	linear em $v$
$y^{\prime }=(a-by)y$ (logística)	$w=1/y$	linear: $w^{\prime }+aw=b$
$y^{\prime }=F(y/t)$ (homogénea)	$z=y/t$	separável: $t{z}^{\prime }=F(z)-z$
$y^{\prime }=F(at+by+c)$	$v=at+by+c$	separável

Exemplo real (MAP1 2025/26, P3 — 7 val.)

Equação logística $x^{\prime }=(a-bx)x$, $a,b>0$. (a) Mostre que $w=1/x$ satisfaz $w^{\prime }+aw=b$. (b) Resolva a equação em $w$. (c) Determine $x(t)$, calcule ${\lim }_{t\to +\infty }x(t)$ e esboce soluções.

Resolução passo-a-passo

1. Substituir. $w=1/x\Rightarrow w^{\prime }=-\frac{x^{\prime }}{x^2}=-\frac{(a-bx)x}{x^2}=-\frac{a}{x}+b=-aw+b$, logo $\boxed{w^{\prime }+aw=b}\text{(linear)}$ 2. Fator integrante $\mu =e^{at}$: $(e^{at}w{)}^{\prime }=b{e}^{at}\Rightarrow e^{at}w=\frac{b}{a}{e}^{at}+C$, ou seja $\boxed{w(t)=\frac{b}{a}+C{e}^{-at}}$ 3. Voltar a $x$: $\boxed{x(t)=\frac{1}{\frac{b}{a}+C{e}^{-at}}}{\lim }_{t\to +\infty }x(t)=\frac{a}{b}$ 4. Esboço: retas de equilíbrio $x=0$ e $x=a/b$. Soluções com $0<x(0)<a/b$ crescem para $a/b$ (forma de “S”); com $x(0)>a/b$ decrescem para $a/b$. Pela unicidade (Picard), as curvas não se cruzam nem cruzam os equilíbrios.

Verificação

$C=0\Rightarrow x\equiv a/b$, que é de facto equilíbrio ($a-b\cdot \frac{a}{b}=0$). ✓

Exemplo real (Teste 1 2024/25, P3 — 7 val.)

$x^{\prime }=\frac{2x^4+3t^4}{x^{3}t}$, $x(1)=1$. Usando $z=x/t$, determine a solução e o intervalo máximo.

Resolução passo-a-passo

1. Substituir. $x=tz\Rightarrow x^{\prime }=z+t{z}^{\prime }$. O lado direito é $\frac{2t^4{z}^4+3t^4}{t^3{z}^{3}t}=\frac{2z^4+3}{z^3}$. Então $t{z}^{\prime }=\frac{2z^4+3}{z^3}-z=\frac{z^4+3}{z^3}\text{(separaˊvel)}$ 2. Separar: $\int \frac{z^3}{z^4+3}dz=\int \frac{dt}{t}\Rightarrow \frac{1}{4}\ln (z^4+3)=\ln |t|+c\Rightarrow z^4+3=C{t}^4$. 3. Voltar a $x$: $x^4=t^4(C{t}^4-3)$. 4. CI $x(1)=1$: $1=C-3\Rightarrow C=4$. Como $x(1)>0$ e $t>0$: $\boxed{x(t)=t\sqrt[4]{4t^4-3}}$ 5. Intervalo máximo. A EDO exige $t\ne 0$, $x\ne 0$; a solução exige $4t^4-3>0$ (para $x\ne 0$ e diferenciabilidade da raiz) $\Rightarrow |t|>\sqrt[4]{3/4}$. Contendo $t_0=1$: $\boxed{I_{\max }=\left]\sqrt[4]{3/4},+\infty \right[}$

Verificação

$\sqrt[4]{3/4}\approx 0,93<1$ ✓ — o ponto inicial está dentro do intervalo. (A versão das soluções oficiais usa $y^{\prime }=\frac{t^4+2y^4}{t{y}^3}$, $y(1)=1$ → $y=t\sqrt[4]{2t^4-1}$, $I_{\max }=]\sqrt[4]{1/2},+\infty [$. Mesmo método.)

Variantes prováveis

• Bernoulli $y^{\prime }+y=t{y}^3$ → $v=y^{-2}$, $v^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }$ → $v^{\prime }-2v=-2t$ (linear).
• Linear pura com $I_{\max }$: o intervalo é o maior intervalo onde $a(t)$ e $b(t)$ são contínuas e que contém $t_0$.
• “Esboce as soluções” → equilíbrios + sinal de $y^{\prime }$ entre eles + “não se cruzam por unicidade”.

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2️⃣ Q2 — Sistema $X^{\prime }=AX$ (obrigatória)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem (provável): matriz $2\times 2$ (talvez $3\times 3$ triangular/bloco), valores e vetores próprios, solução geral ou PVI, eventualmente $e^{At}$ e o diagrama de fase (classificação + esboço). Pode vir um termo constante $b$ (equilíbrio $X^{\ast }=-A^{-1}b$).
• Não esperar: sistemas de ordem superior. A variação das constantes com $b(t)$ não constante é possível mas improvável numa questão de ~13 min.
• O professor disse “provavelmente diagonalizável” → domina o caso diagonalizável, mas treina λ duplo e λ complexos (5 min cada) por segurança.

A lógica

Se $Av=\lambda v$, então $X(t)=e^{\lambda t}v$ é solução. Com dois vetores próprios independentes: $X(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{v}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{v}_2,e^{At}=S{e}^{\Lambda t}{S}^{-1},S=[v_1|v_2]$ e o PVI é simplesmente $X(t)=e^{A(t-t_0)}{X}_0$.

Passos (caso diagonalizável)

1. Polinómio característico $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-(\mathrm{tr}A)\lambda +\det A=0$.
2. Vetores próprios: resolver $(A-{\lambda }_{i}I)v=0$ (basta uma linha em $2\times 2$).
3. Solução geral: $X=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{v}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{v}_2$ (= $S{e}^{\Lambda t}c$).
4. PVI: resolver $Sc=X_0$ (com $t_0=0$).
5. Se pedirem $e^{At}$: $S{e}^{\Lambda t}{S}^{-1}$ — para $2\times 2$, $S^{-1}=\frac{1}{\det S}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$.
6. Diagrama de fase: classificar (tabela abaixo), desenhar as retas dos vetores próprios, setas pelo sinal de $\lambda$, e curvas tangentes à direção do λ de menor $|\lambda |$ junto à origem.

Classificação (2×2)

Valores próprios	Nome	Estabilidade
${\lambda }_1,{\lambda }_2>0$ reais distintos	nó	instável (repulsor)
${\lambda }_1,{\lambda }_2<0$ reais distintos	nó	estável (atrator)
${\lambda }_1<0<{\lambda }_2$	sela	instável
${\lambda }_1=0$, ${\lambda }_2\ne 0$	reta de equilíbrios	—
$a\pm ib$, $a>0$ / $a<0$	foco	instável / estável
$\pm ib$	centro	estável (não assint.)
$\lambda$ duplo, $A=\lambda I$	estrela	sinal de $\lambda$
$\lambda$ duplo, $A\ne \lambda I$	nó degenerado (impróprio)	sinal de $\lambda$

Atalho: $\det A<0$ ⇒ sela; $\det A>0$ e $(\mathrm{tr}A{)}^2<4\det A$ ⇒ foco/centro (sinal de $\mathrm{tr}A$). Sentido de rotação (complexos): se $a_{21}>0$ → anti-horário; se $a_{21}<0$ → horário (ver o vetor no ponto $(1,0)$: $A(1,0{)}^T=(a_{11},a_{21})$).

O truque que distingue nota 3 de nota 5

• Ordem das colunas: em $S=[v_1|v_2]$ e $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ tem de ser a mesma ordem.
• Verifica sempre $Av=\lambda v$ antes de continuar (10 segundos que salvam a pergunta inteira).
• Verifica a CI no fim: $X(0)=X_0$.
• No diagrama de uma sela, as trajetórias aproximam-se pela reta do $\lambda <0$ e afastam-se pela do $\lambda >0$.

Exemplo de treino (Ficha 6 — Resolvidos, ex. 1)

Resolva $X^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]X$, $X(0)=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$; determine $e^{At}$ e classifique a origem.

Resolução passo-a-passo

1. Valores próprios. $\mathrm{tr}A=6$, $\det A=5$: ${\lambda }^2-6\lambda +5=0\Rightarrow {\lambda }_1=5,{\lambda }_2=1$. 2. Vetores próprios. $\lambda =5$: $(A-5I)v=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -2\end{array}\right]v=0\Rightarrow v_1=(1,1)$. $\lambda =1$: $\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right]v=0\Rightarrow v_2=(1,-1)$. 3. Solução geral. $X=c_1{e}^{5t}(1,1)+c_2{e}^t(1,-1)$. 4. CI. $c_1+c_2=1$, $c_1-c_2=2\Rightarrow c_1=\frac{3}{2},c_2=-\frac{1}{2}$: $\boxed{X(t)=\left(\frac{3e^{5t}-e^t}{2},\frac{3e^{5t}+e^t}{2}\right)}$ 5. $e^{At}$. $S=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$, $S^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$: $\boxed{e^{At}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{e}^{5t}+e^t& e^{5t}-e^t\\ e^{5t}-e^t& e^{5t}+e^t\end{array}\right]}$ 6. Diagrama. $5>1>0$ → nó instável. Retas invariantes $y=x$ (rápida) e $y=-x$ (lenta); as órbitas saem da origem tangentes a $y=-x$ e ficam paralelas a $y=x$ ao longe.

Verificação

$X(0)=(\frac{3-1}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$ ✓; $e^{A\cdot 0}=I$ ✓.

Variante 1 — λ duplo (não diagonalizável)

$A=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 8\end{array}\right]$: $\mathrm{tr}=10$, $\det =25$ ⇒ $\lambda =5$ duplo. $N=A-5I=\left[\begin{array}{cc}-3& -3\\ 3& 3\end{array}\right]$, $N^2=0$, logo $e^{At}=e^{5t}(I+tN)=e^{5t}\left[\begin{array}{cc}1-3t& -3t\\ 3t& 1+3t\end{array}\right]$ Com $X(0)=(4,-3)$: $X(t)=e^{5t}(4-3t,3t-3)$ (mesma forma do resultado da Ficha 6, ex. 1b). Origem: nó degenerado instável.

Variante 2 — λ complexos

$A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$: $\lambda =1\pm 2i$. Fórmula: $e^{At}=e^{at}\left(\cos (bt)I+\frac{\sin (bt)}{b}(A-aI)\right)$ com $a=1,b=2$: $e^{At}=e^t\left[\begin{array}{cc}\cos 2t& -\mathrm{sen}2t\\ \mathrm{sen}2t& \cos 2t\end{array}\right]$ Origem: foco instável, rotação anti-horária ($a_{21}=2>0$).

Variante 3 — termo constante $X^{\prime }=AX+b$

Equilíbrio $X^{\ast }=-A^{-1}b$ (resolver $A{X}^{\ast }=-b$); então $X(t)=X^{\ast }+e^{At}(X_0-X^{\ast })$ e o diagrama é o de $A$ centrado em $X^{\ast }$. Ex.: com a matriz do exemplo acima e $b=(-5,-5)$, $A{X}^{\ast }=(5,5)\Rightarrow X^{\ast }=(1,1)$. (Ficha 6, ex. 6: equilíbrio $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$.) Para $b(t)$ geral: $X(t)=e^{A(t-t_0)}{X}_0+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-s)}b(s)ds$.

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3️⃣ Q3 — Teorema de Gauss (opcional)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem: fluxo de $F$ através de uma superfície aberta $S$ (paraboloide, cone, semiesfera…) com normal exterior. Nos dois MAPs antigos foi sempre preciso fechar a superfície com tampa(s) planas. Frequentemente vem antes uma alínea de esboço.
• Não pedem: calcular o fluxo diretamente pela parametrização (seria longo) — se o enunciado diz “use o Teorema da Divergência”, usa-o.

A lógica

${\iint }_{\partial V}F\cdot \nu dS={\iiint }_V\mathrm{div}FdV$ Se $S$ não é fechada: $\partial V=S\cup T$ (tampas). Logo fluxo em $S$ = (integral da div) − (fluxo nas tampas). As tampas são planas → normal constante → fluxo fácil (muitas vezes $0$).

Passos

1. Esboço de $S$ (identifica eixo, vértice, raios nas fronteiras).
2. Fechar: escolher tampa(s) $T$ e a respetiva normal exterior (ex.: tampa em $x=0$ de um sólido em $x\ge 0$ → $\nu =(-1,0,0)$).
3. $\mathrm{div}F$ (muitas vezes constante → integral = constante × volume).
4. Integral tripla em coordenadas adaptadas (cilíndricas em torno do eixo da superfície, esféricas…). Jacobiano: $\rho$ / $r^2\mathrm{sen}\varphi$.
5. Fluxo nas tampas: ${\iint }_{T}F\cdot \nu dS$ — substitui a equação do plano em $F$ antes de integrar.
6. Subtrair.

O truque que distingue nota 3 de nota 5

• Eixo das cilíndricas: se a superfície é $x=1-y^2-z^2$, o eixo é o x → $y=\rho \cos \theta$, $z=\rho \mathrm{sen}\theta$.
• Normal das tampas: é a exterior ao sólido, não “para cima” por defeito. A tampa de baixo tem $\nu =(0,0,-1)$ (ou $(0,-1,0)$, …).
• Sinal na subtração: ${\Phi }_S=\iiint \mathrm{div}F-{\Phi }_T$ — escreve sempre a equação completa antes de fazer contas.
• Volumes de cone/tronco de cone: $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$ — usa-o para confirmar.

Exemplo real (MAP1 2025/26, P1 — 7 val.)

$S=\{(x,y,z):x=1-y^2-z^2,x\ge 0\}$. (a) Esboce as curvas de nível $x=0$ e $x=\frac{3}{4}$ e a superfície. (b) Calcule o fluxo de $E=(x,2y,z)$ através de $S$, segundo a normal exterior.

Resolução passo-a-passo

1. Esboço. $x=0$: $y^2+z^2=1$ (circunferência de raio 1); $x=\frac{3}{4}$: $y^2+z^2=\frac{1}{4}$ (raio $\frac{1}{2}$). $S$ é um paraboloide de eixo $x$, vértice $(1,0,0)$, aberto para $x$ negativo, cortado em $x=0$. 2. Fechar com o disco $T=\{x=0,y^2+z^2\le 1\}$, normal exterior ${\nu }_T=(-1,0,0)$. 3. Divergência: $\mathrm{div}E=1+2+1=4$. 4. Integral tripla (cilíndricas em torno do eixo $x$, $0\le \rho \le \sqrt{1-x}$): ${\iiint }_{V}4dV=4{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{1-x}}\rho d\rho dxd\theta =4\cdot 2\pi {\int }_0^1\frac{1-x}{2}dx=8\pi \cdot \frac{1}{4}=2\pi$ 5. Tampa: $E\cdot {\nu }_T=-x=0$ em $x=0$ ⇒ ${\Phi }_T=0$. 6. $\boxed{{\Phi }_S=2\pi -0=2\pi }$

Verificação

Volume do sólido $={\int }_0^1\pi (1-x)dx=\frac{\pi }{2}$; $4\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi$ ✓.

Exemplo real (Teste 1 2024/25, P2 — 7 val.)

$F=(x+e^z,y+1,z+\cos (xy))$, $S=\{y+2=\sqrt{x^2+z^2},0<y<2\}$. (a) Esboce $S$. (b) Calcule o fluxo de $F$ através de $S$ (normal exterior).

Resolução passo-a-passo

1. Esboço. Tronco de cone de eixo $y$: raio $2$ em $y=0$ e raio $4$ em $y=2$. 2. Fechar com $T_0=\{y=0,x^2+z^2\le 4\}$, $\nu =(0,-1,0)$ e $T_2=\{y=2,x^2+z^2\le 16\}$, $\nu =(0,1,0)$. 3. $\mathrm{div}F=1+1+1=3$. 4. $\mathrm{Vol}=\frac{\pi \cdot 2}{3}(16+8+4)=\frac{56\pi }{3}\Rightarrow \iiint 3dV=56\pi$. 5. Tampas: em $T_0$, $F\cdot \nu =-(0+1)=-1$ ⇒ ${\Phi }_{T_0}=-4\pi$; em $T_2$, $F\cdot \nu =2+1=3$ ⇒ ${\Phi }_{T_2}=3\cdot 16\pi =48\pi$. 6. $\boxed{{\Phi }_S=56\pi -(-4\pi )-48\pi =12\pi }$

Verificação

As componentes “feias” ($e^z$, $\cos (xy)$) nunca entram nas contas: não contribuem para a div nem para o fluxo nas tampas (normal segundo $y$). É o sinal de que Gauss era o caminho. (A versão das soluções oficiais dá $0$ por ter dados ligeiramente diferentes.)

Variantes

• Superfície já fechada (esfera, cubo) → só a integral tripla. Fichas: Ficha 2 ex. 6b ($\pi /2$), 7d ($136\pi /3$), 7e ($2\pi /3$), 13 ($4\pi /3$).
• Fechar superfície: Ficha 2 ex. 8 ($13\pi /20$), ex. 9 ($3\pi /2$).
• Campo $r/|r{|}^3$ (singular na origem): não se aplica Gauss a um sólido que contenha a origem → usar uma esfera pequena (fluxo $4\pi$).

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4️⃣ Q4 — Teorema de Stokes (opcional)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

• Pedem: $\nabla \times F$; a circulação ${\oint }_{\Gamma }F\cdot d\gamma$ ao longo de uma curva fechada (interseção de superfícies ou bordo de uma superfície); por vezes calculá-la também diretamente e confirmar. Quase sempre a escolha esperta é trocar a superfície por um disco plano com o mesmo bordo.
• Orientação: quando o enunciado diz “escolha uma orientação”, declara-a explicitamente e mantém-na coerente.

A lógica

${\oint }_{\partial S}F\cdot d\gamma ={\iint }_S(\nabla \times F)\cdot \nu dS,\nabla \times F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)$ O lado direito só depende do bordo ⇒ qualquer superfície com o mesmo bordo dá o mesmo valor → escolhe a mais simples (normal constante).

Passos

1. Rotacional (escreve a fórmula antes).
2. Curva $\Gamma$: identificar e parametrizar (ex.: $\gamma (\theta )=(R\cos \theta ,R\mathrm{sen}\theta ,z_0)$).
3. Orientação: regra da mão direita — curva anti-horária vista de cima ⇔ $\nu$ com componente $z$ positiva.
4. Superfície $S$ com $\partial S=\Gamma$ (o disco plano) e $\nu$ coerente.
5. Fluxo do rotacional: $(\nabla \times F)\cdot \nu$ constante ⇒ resultado = constante × área.
6. Se pedirem o cálculo direto: ${\int }_0^{2\pi }F(\gamma (\theta ))\cdot {\gamma }^{\prime }(\theta )d\theta$ e confirmar.

O truque que distingue nota 3 de nota 5

• Sinais do rotacional: a componente do meio é $P_z-R_x$ (não $R_x-P_z$).
• Coerência de orientação: se mudas a normal, a circulação muda de sinal — escreve sempre “com $\nu =\dots$, a curva é percorrida no sentido …”.
• ${\int }_0^{2\pi }{\mathrm{sen}}^2\theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$; ${\int }_0^{2\pi }\mathrm{sen}\theta d\theta =0$.

Exemplo real (MAP1 2025/26, P2 — 6 val.)

$B=(y,x,x^2)$. (a) Calcule $\nabla \times B$. (b) Calcule a circulação de $B$ ao longo do bordo da semiesfera $x^2+y^2+z^2=4$, $z\ge 0$.

Resolução passo-a-passo

1. $\nabla \times B=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)=(0-0,0-2x,1-1)$: $\boxed{\nabla \times B=(0,-2x,0)}$ 2. O bordo é a circunferência $x^2+y^2=4$, $z=0$. Orientação: anti-horária vista de cima. 3. Troca a semiesfera pelo disco $D=\{z=0,x^2+y^2\le 4\}$, $\nu =(0,0,1)$. 4. $(\nabla \times B)\cdot \nu =0$ em todo o disco ⇒ $\boxed{{\oint }_{\Gamma }B\cdot d\gamma =0}$

Verificação

Direto: $\gamma =(2\cos \theta ,2\mathrm{sen}\theta ,0)$, $B\cdot {\gamma }^{\prime }=-4{\mathrm{sen}}^2\theta +4{\cos }^2\theta =4\cos 2\theta$ ⇒ integral $0$ ✓.

Exemplo real (Teste 1 2024/25, P1 — 6 val.)

$\Gamma$: interseção do cilindro $x^2+y^2=9$ com o plano $z=1$; $F=(z-y,0,y)$. (a) Escolha uma orientação, parametrize $\Gamma$ e calcule a circulação. (b) Indique $S$ com $\partial S=\Gamma$ e confirme pelo Teorema de Stokes.

Resolução passo-a-passo

1. Parametrização (anti-horária vista de cima): $\gamma (\theta )=(3\cos \theta ,3\mathrm{sen}\theta ,1)$, ${\gamma }^{\prime }=(-3\mathrm{sen}\theta ,3\cos \theta ,0)$. 2. $F(\gamma )=(1-3\mathrm{sen}\theta ,0,3\mathrm{sen}\theta )$ ⇒ $F\cdot {\gamma }^{\prime }=-3\mathrm{sen}\theta +9{\mathrm{sen}}^2\theta$. ${\oint }_{\Gamma }F\cdot d\gamma ={\int }_0^{2\pi }(-3\mathrm{sen}\theta +9{\mathrm{sen}}^2\theta )d\theta =0+9\pi =\boxed{9\pi }$ 3. Stokes. $\nabla \times F=(1-0,1-0,0-(-1))=(1,1,1)$. $S=\{z=1,x^2+y^2\le 9\}$, $\nu =(0,0,1)$ (coerente com a orientação escolhida): ${\iint }_S(1,1,1)\cdot (0,0,1)dS=\acute{\mathrm{a}}\mathrm{rea}(S)=9\pi ✓$

Verificação

As duas vias dão $9\pi$. (Nas soluções oficiais o raio é 1 → $\pi$.)

Variantes

• Trocar superfície: Ficha 3 ex. 3a ($-2\pi$), 3b ($9\pi$), 4b ($0$).
• Bordo por troços (triângulos, quadrados): somar segmento a segmento ou, melhor, Stokes no plano que os contém.
• Fichas com Stokes direto: Ficha 3 ex. 1 ($-\pi$), 2b ($-2\pi$); Resolvidos ex. 5 ($-\pi$).
• Se $\nabla \times F=0$ num domínio simplesmente conexo → circulação $0$ (campo gradiente).

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5️⃣ Q5 — Teorema de Picard (opcional)

O que pedem (e o que NÃO pedem)

Três moldes possíveis (nenhum caiu nos MAPs antigos — vêm da Ficha 5):

• A. Unicidade/existência local: verificar as hipóteses de Picard para um PVI e concluir que há solução única; ou usar a unicidade para mostrar que soluções não se cruzam (ficam presas entre equilíbrios).
• B. “Infinitas soluções” / não contradição (o mais provável): mostrar que um PVI tem infinitas soluções e explicar porque isso não contradiz Picard.
• C. Iteradas de Picard: calcular $y_1,y_2$ (às vezes $y_3$).

A lógica

Teorema (Picard–Lindelöf): se $f$ é contínua num aberto $D\ni (t_0,y_0)$ e localmente Lipschitz em $y$ (basta $\partial f/\partial y$ contínua em $D$), então o PVI $y^{\prime }=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$ tem solução única num intervalo em torno de $t_0$. Iteradas: $y_0(t)\equiv y_0$, $y_{n+1}(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,y_n(s))ds$.

Passos — Molde B (infinitas soluções)

1. Encontrar a solução constante (ex.: $y\equiv 0$).
2. Encontrar as soluções não triviais por separação de variáveis.
3. “Cortar e colar”: $y_{\alpha }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le \alpha \\ \text{soluc¸a˜o na˜o trivial},& t>\alpha \end{array}$ — uma para cada $\alpha \ge t_0$.
4. Mostrar que $y_{\alpha }$ é diferenciável no ponto de colagem (derivadas laterais iguais, ambas $0$) e satisfaz a EDO.
5. Não contradição: $f$ é contínua (⇒ existência, Peano) mas $\partial f/\partial y$ não é limitada perto de $y=y_0$ ⇒ $f$ não é Lipschitz ⇒ Picard não se aplica, logo não garante unicidade.

O truque que distingue nota 3 de nota 5

• Picard dá condição suficiente, não necessária: falhar a hipótese não prova que há várias soluções — é preciso exibi-las.
• Na colagem, verifica explicitamente as derivadas laterais em $t=\alpha$.
• Nas iteradas, não simplifiques antes de integrar se a expressão já está polinomial; integra termo a termo.

Exemplo de treino (Ficha 5, ex. 1)

Mostre que $y^{\prime }=\sqrt{y}$, $y(0)=0$ tem infinitas soluções e explique porque isso não contradiz o Teorema de Picard.

Resolução passo-a-passo

1. $y\equiv 0$ é solução. 2. Para $y>0$: $\int y^{-1/2}dy=\int dt\Rightarrow 2\sqrt{y}=t-\alpha \Rightarrow y=\frac{(t-\alpha {)}^2}{4}$, $t>\alpha$. 3. Para cada $\alpha \ge 0$: $\boxed{y_{\alpha }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le \alpha \\ \frac{(t-\alpha {)}^2}{4},& t>\alpha \end{array}}$ 4. Em $t=\alpha$: derivada à esquerda $0$, à direita $\frac{t-\alpha }{2}{|}_{\alpha }=0$ ⇒ diferenciável; e $y_{\alpha }^{\prime }=\frac{t-\alpha }{2}=\sqrt{y_{\alpha }}$ para $t>\alpha$ ✓. Todas satisfazem $y(0)=0$ ⇒ infinitas soluções. 5. Não contradição: $f(t,y)=\sqrt{y}$ é contínua, mas $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\to +\infty$ quando $y\to 0^{+}$ ⇒ $f$ não é localmente Lipschitz em nenhuma vizinhança de $(0,0)$ ⇒ a hipótese de Picard falha.

Verificação

Treina também: Ficha 5 Resolvidos ex. 2 ($y^{\prime }=2t{y}^{2/3}$ → $y=t^6/27$ e família colada) e ex. 3 ($y^{\prime }=p|y{|}^{(p-1)/p}$).

Exemplo de treino (Ficha 5, ex. 3) — iteradas

Calcule as duas primeiras iteradas de Picard para $y^{\prime }=t^2+y^2$, $y(0)=0$.

Resolução passo-a-passo

$y_0\equiv 0$. $y_1(t)={\int }_0^t(s^2+0)ds=\frac{t^3}{3}$. $y_2(t)={\int }_0^t\left(s^2+\frac{s^6}{9}\right)ds=$ $\boxed{y_2(t)=\frac{t^3}{3}+\frac{t^7}{63}}$

Verificação

$y_2^{\prime }=t^2+\frac{t^6}{9}=t^2+y_1^2$ ✓.

Variantes (Molde A)

• Soluções presas: $y^{\prime }=y(1-y)$, $y(0)=\frac{1}{2}$. $f$ é $C^1$ ⇒ unicidade; $y\equiv 0$ e $y\equiv 1$ são soluções ⇒ a solução não as pode cruzar ⇒ $0<y(t)<1$ para todo $t$, e é crescente ($y^{\prime }>0$).
• Ramificação: Ficha 5 ex. 2: $(1-t)y{y}^{\prime }=1-y^2$, $y(\frac{1}{2})=2$ → $y=\sqrt{1+12(1-t{)}^2}$, $I_{\max }=]-\infty ,1[$; em $(1,1)$ as hipóteses falham ($t=1$ anula o coeficiente) e várias soluções passam aí.
• Prolongamento: se a solução está limitada e $f$ é regular, pode prolongar-se; o $I_{\max }$ só termina se a solução “explode” ou atinge a fronteira de $D$.

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🔁 Padrões Recorrentes

O que o professor repete

1. Esboço antes de Gauss (curvas de nível + superfície) — vale pontos fáceis, não deixes em branco.
2. Gauss = fechar a superfície com tampa plana; o campo tem termos “feios” que desaparecem na div ou na tampa.
3. Stokes = trocar por um disco plano; $\nabla \times F$ costuma ser constante ou anular-se no disco.
4. EDO com mudança de variável dada → linear ou separável → CI → $I_{\max }$ ou limite/esboço.
5. Respostas finais “redondas”: múltiplos de $\pi$ ($2\pi$, $9\pi$, $12\pi$, $0$). Se te sair $\frac{37\pi }{11}$, revê.
6. Novidade 2026/27: sistemas $X^{\prime }=AX$ obrigatórios e Picard opcional — espera exercícios curtos (≈ 13 min), no estilo das Fichas 5–6.

Checklist anti-erro

• Gauss: normal exterior de cada tampa escrita explicitamente
• Gauss: cilíndricas em torno do eixo certo + jacobiano $\rho$
• Gauss: ${\Phi }_S=\iiint \mathrm{div}F-{\Phi }_{\text{tampas}}$ (sinal!)
• Stokes: componente do meio do rotacional é $P_z-R_x$
• Stokes: orientação da curva declarada e coerente com $\nu$
• EDO: mostrei a forma linear/separável depois da substituição
• EDO: não perdi soluções constantes ao dividir
• EDO: $I_{\max }$ é um intervalo que contém $t_0$
• Sistema: verifiquei $Av=\lambda v$ para cada vetor próprio
• Sistema: ordem de $S$ e $\Lambda$ coincide; verifiquei $X(0)=X_0$
• Sistema: classificação + setas + tangência à direção lenta no diagrama
• Picard: exibi as várias soluções e expliquei qual hipótese falha
• Só 2 opcionais entregues (o terceiro riscado)

📅 Plano de Estudo Sugerido

15 → 20 de outubro

• Qui 15/10 — EDOs (Q1): reler §4 do Resumo; refazer MAP 2025/26 P3 e MAP 2024/25 P3 sem ver; 3 exercícios da Ficha 4 (um Bernoulli, uma homogénea, uma linear com $I_{\max }$).
• Sex 16/10 — Sistemas (Q2): §6 do Resumo; Ficha 6 Resolvidos ex. 1, 3, 4; Ficha 6 ex. 1a, 1b, 2 (diagrama), 6 ($b$ constante); treinar as variantes λ duplo e complexos deste guia.
• Sáb 17/10 — Gauss + Stokes (Q3/Q4): refazer os 4 exercícios reais deste guia; Ficha 2 ex. 8, 9; Ficha 3 ex. 3a, 3b, 4b.
• Dom 18/10 — Picard (Q5) + $e^{At}$: Ficha 5 ex. 1, 2, 3 e Resolvidos ex. 2, 3; Ficha 5 ex. 5c ($A=\left[\begin{array}{cc}5& -3\\ 1& 1\end{array}\right]$, $\lambda =4,2$).
• Seg 19/10 — Simulação: 60 min cronometrados com o “MAP simulado” abaixo; corrigir com o checklist; rever o Formulário.
• Ter 20/10 — Dia da prova: só rever o checklist anti-erro e as tabelas (reconhecimento de EDOs, classificação de diagramas). Nada de matéria nova.

🧪 MAP simulado (formato 2026/27, 60 min — escolhe 2 dos opcionais)

1. (EDO) $x^{\prime }=(2-x)x$, $x(0)=1$: com $w=1/x$ resolva, calcule ${\lim }_{t\to \infty }x(t)$ e esboce. (Resp.: $x=\frac{2}{1+e^{-2t}}$, limite 2.)
2. (Sistema) $X^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]X$, $X(0)=(1,0)$; classifique a origem. (Resp.: $\lambda =3,-1$; $X=\frac{1}{2}{e}^{3t}(1,1)+\frac{1}{2}{e}^{-t}(1,-1)$; sela.)
3. (Gauss) Fluxo de $F=(x,y,z)$ pela semiesfera $x^2+y^2+z^2=1$, $z\ge 0$, normal exterior. (Resp.: fechar com $z=0$; $3\cdot \frac{2\pi }{3}-0=2\pi$.)
4. (Stokes) Circulação de $F=(-y,x,z)$ no bordo do paraboloide $z=4-x^2-y^2$, $z\ge 0$ (anti-horário visto de cima). (Resp.: $\nabla \times F=(0,0,2)$; disco de raio 2 ⇒ $8\pi$.)
5. (Picard) Mostre que $y^{\prime }=3y^{2/3}$, $y(0)=0$ tem infinitas soluções. (Resp.: $y_{\alpha }=0$ para $t\le \alpha$, $(t-\alpha {)}^3$ para $t>\alpha$; $\partial f/\partial y=2y^{-1/3}$ ilimitada.)

📂 Provas e fichas para treino

• MAPS Anos Anteriores/CDI3-teste1-2025-26.pdf + CDI3-teste1-solucoes-2025-26.pdf
• MAPS Anos Anteriores/CDI3-teste1-2024-25.pdf + CDI3-teste1-2024-25-solucoes.pdf (as soluções são de uma versão com dados diferentes)
• PDF Exercícios/ficha2 (Gauss) · ficha3 (Stokes) · ficha4 (EDOs) · ficha5 (Picard, $e^{At}$) · ficha6 (sistemas, diagramas) — e as respetivas versões em PDF Exercícios Resolvidos/

🔗 Notas relacionadas

• 📘 Resumo — MAP1 — toda a teoria e os moldes oficiais
• 🧮 Formulário — MAP1 — referência rápida de todas as fórmulas da prova
• MOC — Cálculo III · Planeamento de Aulas — Cálculo III

TABLE WITHOUT ID link(file.link, file.name) AS "Nota", date AS "Data", status AS "Estado"
FROM "2.Técnico/2º Ano/1Semestre/Calculo III"
WHERE (type = "note" OR type = "project") AND file.name != this.file.name
SORT date DESC

Notas modificadas recentemente

dv.list(dv.pages('"2.Técnico/2º Ano/1Semestre/Calculo III"')
  .where(p => p.file.name !== dv.current().file.name)
  .sort(p => p.file.mtime, 'desc')
  .limit(5)
  .map(p => p.file.link))