Resumo — MO MAP2

Parent project: Mecânica e Ondas

Âmbito desta nota

Exercícios resolvidos das aulas práticas das Semanas 4, 5 e 6 de Mecânica e Ondas. Cada exercício tem enunciado, resolução passo-a-passo e resultado final. Os temas cobertos são impulso-momento linear, colisões, trabalho-energia, dinâmica rotacional, gravitação, colisões 2D, e oscilações (MHS, amortecidas, Lagrange). Tenta resolver cada exercício antes de ler a resolução.

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Mapa da Matéria

Semana	Tema	Tópicos centrais
S4	Momento, Colisões, CM	Impulso-momento linear, colisões plásticas/elásticas, coeficiente de restituição, trabalho-energia
S5	Gravitação, Dinâmica Rotacional, Revisões	$\tau =I\alpha$, conservação L (roda sobre obstáculo), engrenagens, gravitação, colisões 2D
S6	Fenómenos Ondulatórios	MHS, pêndulo físico, oscilador amortecido, amortecimento crítico, fator-Q

Fio condutor

S4 fecha a dinâmica de partículas (impulso, colisões). S5 estende para corpos rígidos ($\tau =I\alpha$, momento angular). S6 introduz oscilações — MHS → amortecido → Lagrange. Os exercícios seguem esta progressão.

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Semana 4 — Momento, Colisões, CM

Regra de ouro das colisões

Nunca aplicar trabalho-energia durante o impacto. Usar impulso-momento entre as posições 2 e 3 (antes/depois do impacto), depois trabalho-energia de 3 para 4 (deflexão máxima, etc.).

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Ex. 1 — Cursor + Prato + Mola (colisão plástica vertical)

Enunciado

Cursor A (4 kg) cai 1 m sobre prato B (2 kg) em repouso sobre mola ($k=49$ N/m). Impacto plástico (ficam juntos). Determinar: velocidade de A antes do impacto, velocidade após impacto, energia perdida, impulso da força de contacto, deflexão máxima da mola.

Resolução passo-a-passo

Quatro posições:

• Pos. 1: largada de A
• Pos. 2: imediatamente antes do impacto
• Pos. 3: imediatamente após o impacto
• Pos. 4: deflexão máxima de B

Parte 1 — velocidade de A antes do impacto (1→2):

Trabalho-energia em A: $W_A\Delta y_A=\frac{1}{2}{m}_A(v_A{)}_2^2⟹4(9.8)(1)=\frac{1}{2}(4)(v_A{)}_2^2$ $(v_A{)}_2=4.43\text{ m/s}$

Parte 1 — velocidades após o impacto (2→3):

Forças impulsivas: só a força de contacto entre A e B (peso e mola são finitas → desprezáveis durante impacto). Conservação do momento do sistema: $m_A(v_A{)}_2=(m_A+m_B)v_3⟹4(4.43)=(4+2)v_3$ $v_3=2.95\text{ m/s}$

Parte 2 — energia perdida: $\Delta T=\frac{1}{2}(4+2)(2.95{)}^2-\frac{1}{2}(4)(4.43{)}^2=26.1-39.3=-13.1\text{ J}$ $\%\text{ perda}=\frac{13.1}{39.3}\times 100=33.5\%$

Parte 3 — impulso da força de contacto:

Aplicar impulso-momento só a A (ou só a B — mesmo resultado): $\int \hat{P}dt=m_A[v_3-(v_A{)}_2]=4(2.95-4.43)=-5.92\text{ N⋅s}$

Parte 4 — deflexão máxima de B (3→4):

Deformação inicial da mola por peso de B: ${\delta }_3=W_B/k=2(9.8)/49=0.4$ m

Trabalho-energia de 3 até repouso (pos. 4), com ${\delta }_4$ = deformação final: $(W_A+W_B)({\delta }_4-{\delta }_3)-\frac{1}{2}k({\delta }_4^2-{\delta }_3^2)=-\frac{1}{2}(m_A+m_B)v_3^2$ Resolver: ${\delta }_4=1.19$ m → deflexão máxima $={\delta }_4-{\delta }_3=0.79$ m

$\boxed{(v_A{)}_2=4.43\text{m/s}{v}_3=2.95\text{m/s}\Delta T=33.5\%\int Pdt=5.92\text{N⋅s}\Delta y_{B,max}=0.79\text{m}}$

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Ex. 2 — Apollo-Soyuz (colisão 3D)

Enunciado

Apollo CSM: $m_A=18$ Mg, ${\vec{v}}_0=(0.2\hat{i}-0.03\hat{j}+0.02\hat{k})$ m/s. Soyuz: $m_B=6.6$ Mg, em repouso. (a) Atracagem bem-sucedida (plástica): velocidade do CM. (b) $e=0.95$, impacto central oblíquo (forças paralelas a x): velocidades pós-impacto.

Resolução passo-a-passo

(a) Atracagem bem-sucedida (plástica): ${\vec{v}}_{CM}=\frac{m_A{\vec{v}}_A+m_B{\vec{v}}_B}{m_A+m_B}=\frac{18(0.2\hat{i}-0.03\hat{j}+0.02\hat{k})}{18+6.6}$ $\boxed{{\vec{v}}_{CM}=(0.146\hat{i}-0.022\hat{j}+0.015\hat{k})\text{ m/s}}$

(b) $e=0.95$, impacto central oblíquo:

Componentes y, z não mudam. Para x: $m_A(v_A{)}_x+m_B(v_B{)}_x=m_A(v_A^{\prime }{)}_x+m_B(v_B^{\prime }{)}_x$ $e=\frac{(v_B^{\prime }{)}_x-(v_A^{\prime }{)}_x}{(v_A{)}_x-(v_B{)}_x}=0.95$ $\boxed{{\vec{v}}_A^{\prime }=(0.095\hat{i}-0.03\hat{j}+0.02\hat{k})\text{m/s}{\vec{v}}_B^{\prime }=0.285\hat{i}\text{m/s}}$

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Ex. 3 — Coleira em barra articulada + força P (trabalho-energia)

Enunciado

Coleira A ($m=1.8$ kg) sem fricção. Força P horizontal constante aplicada por corda sobre polia em B. Pos. 1: repouso. (1) $P=20$ N: rapidez em pos. 2. (2) P mínimo para atingir pos. 2.

Resolução passo-a-passo

(1) $P=20$ N, rapidez em pos. 2:

Trabalho da gravidade: $U_{grav}=-mgh=-(1.8)(9.81)(1.0)=-17.7$ J

Trabalho de P (força central de módulo constante): $U_P=P(L_1-L_2)$

Geometria: $L_1=\sqrt{(2\cos 30°{)}^2+2.5^2}=3.04$ m, $L_2=2.5-1.0=1.5$ m

$U_{1\to 2}=T_2-T_1⟹-mgh+P(L_1-L_2)=\frac{1}{2}m{v}_2^2$ $\boxed{v_2=3.32\text{ m/s}}$

(2) P mínimo para atingir pos. 2:

Coleira também em repouso em pos. 2 → $T_1=T_2=0$ → $U_{1\to 2}=0$: $\boxed{P_{min}=\frac{mgh}{L_1-L_2}=\frac{(1.8)(9.81)(1.0)}{3.04-1.5}=11.46\text{ N}}$

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Ex. 4 — Caixa na rampa (energia com atrito)

Enunciado

Caixa 2 kg, rampa 30°, comprimento 1.0 m, atrito 5.00 N. Calcule a velocidade final.

Resolução passo-a-passo

$v_f=\sqrt{\frac{2}{m}(mg{y}_i-f_{k}d)}=\sqrt{\frac{2}{2}[(2)(9.8)(0.5)-(5.00)(1.0)]}$ $\boxed{v_f=2.54\text{ m/s}}$

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Ex. 5 — Plataforma + Bloco + Mola (colisão com parede)

Enunciado

Plataforma + bloco (12 kg, $k=3$ kN/m) movem-se a 8 m/s. Plataforma para; bloco comprime mola ($\delta =0.4$ m). Calcule a velocidade do bloco.

Resolução passo-a-passo

Conservação de energia (bloco desliza sobre plataforma parada): $\frac{1}{2}M{v}_0^2=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}k{\delta }^2⟹v=\sqrt{64-\frac{3000}{12}(0.4{)}^2}$ $\boxed{v=4.90\text{ m/s}}$

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Ex. 6 — Mota e Motard (impulso da fricção)

Enunciado

Peso total = 1350 N, ${\mu }_k=0.8$, força normal traseira $F_n=1100$ N. (a) Impulso em 5 s. (b) Velocidade em 5 s (desprezar outras forças horizontais).

Resolução passo-a-passo

(a) Impulso em 5 s: $I={\mu }_k{F}_n\Delta t=0.8\times 1100\times 5$ $\boxed{I=4400\text{ N⋅s}=4.4\text{ kN⋅s}}$

(b) Velocidade em 5 s: $\Delta (mv)=I⟹mv-0=4400⟹v=\frac{4400}{1350/9.8}$ $\boxed{v=31.9\text{ m/s}=115\text{ km/h}}$

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Semana 5 — Gravitação, Dinâmica Rotacional, Revisões

Temas desta semana

$\tau =I\alpha$, conservação do momento angular (roda sobre obstáculo), engrenagens, gravitação, colisões 2D.

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Ex. 1 — Barra Delgada com Binário Aplicado ($\tau =I\alpha$)

Enunciado

Barra $m=20$ kg, $\ell =3$ m, pino em O, $\omega =5$ rad/s, binário 60 N·m. Determine $\alpha$, $O_n$ e $O_t$.

Resolução passo-a-passo

Estratégia A — equações de movimento em G: $\Sigma F_n=m{\omega }^2{r}_G⟹O_n=(20)(5{)}^2(1.5)=750\text{ N}$ $\Sigma F_t=m\alpha r_G⟹-O_t+20(9.81)=20\alpha (1.5)$ $\Sigma M_G=I_G\alpha ⟹O_t(1.5)+60=\left[\frac{1}{12}(20)(3{)}^2\right]\alpha$

Estratégia B (mais directa) — momentos em O, eliminando reações: $\Sigma M_O=I_O\alpha =\left[\frac{1}{3}(20)(3{)}^2\right]\alpha$ $60+20(9.81)(1.5)=60\alpha$

$\boxed{O_n=750\text{N}{O}_t=19.05\text{N}\alpha =5.90{\text{rad/s}}^2}$

Somar momentos em relação ao pivô é sempre o caminho mais rápido — elimina as reações $O_n$ e $O_t$.

Estratégia de pivô

Somar momentos em relação ao pivô elimina as reações de apoio e dá a solução mais directa para $\alpha$.

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Ex. 7 — Roda sobre Obstáculo (Impulso-Momento Angular)

Enunciado

Roda $m=10$ kg, $r=0.2$ m, $I_G=0.156$ kg·m², obstáculo $h=0.03$ m. Determine a velocidade mínima para superar o degrau.

Resolução passo-a-passo

Passo 1 — Conservação de L em torno da aresta A (durante o impacto):

Sem escorregamento → pivota em A; força em A é impulsiva e desaparece no balanço de L: $r^{\prime }m(v_G{)}_1+I_G{\omega }_1=rm(v_G{)}_2+I_G{\omega }_2$

Com $r^{\prime }=r-h=0.17$ m e $\omega =v_G/r=5v_G$: $(0.17)(10)(v_G{)}_1+(0.156)(5(v_G{)}_1)=(0.2)(10)(v_G{)}_2+(0.156)(5(v_G{)}_2)$ $(v_G{)}_2=0.8921(v_G{)}_1$

Passo 2 — Conservação de energia (após impacto, para subir o degrau): $\frac{1}{2}(10)(v_G{)}_2^2+\frac{1}{2}(0.156)(5(v_G{)}_2{)}^2=(10)(9.81)(0.03)$

Substituindo $(v_G{)}_2=0.8921(v_G{)}_1$: $\boxed{(v_G{)}_1=0.729\text{ m/s}}$

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Ex. 8 — Engrenagem (3 rodas: 80–30–50 dentes)

Enunciado

Entrada 250 rpm, 1 kW. Dentes: 80 → 30 → 50. Direcção inverte em cada engate. A roda intermédia (30) não está ligada a nenhum veio de saída. (a) Velocidade de saída. (b) Torque de saída.

Resolução passo-a-passo

(a) Velocidade de saída: ${\omega }_{out}=\frac{N_{input}}{N_{output}}{\omega }_{in}=\frac{80}{50}(250)$ $\boxed{{\omega }_{out}=400\text{ rpm}}$

(b) Torque de saída: ${\omega }_{out}=400\times 0.1047=41.88\text{ rad/s}$ $\boxed{T_{out}=\frac{P}{{\omega }_{out}}=\frac{1000}{41.88}=23.88\text{ N⋅m}}$

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Ex. 2 — Satélite Geossíncrono

Enunciado

Órbita circular, altitude h, raio Terra $R_T$, massa Terra $M_T$. Determine a velocidade orbital.

Resolução passo-a-passo

Força gravitacional = força centrípeta: $G\frac{m{M}_T}{(R_T+h{)}^2}=\frac{m{v}^2}{R_T+h}$ $\boxed{v=\sqrt{\frac{G{M}_T}{R_T+h}}}$

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Ex. 4 — Colisão Totalmente Inelástica 2D (Carro + Camião)

Enunciado

Carro (500 kg, Este 25 m/s) + Camião (2500 kg, Norte 20 m/s) → ficam juntos. Determine a direcção e velocidade pós-colisão.

Resolução passo-a-passo

$\tan \theta =\frac{m_2{v}_2}{m_1{v}_1}=\frac{2500(20)}{500(25)}=4⟹\theta =76°(\text{do eixo x})$

Nota: o resultado do enunciado diz $\theta =52.1°$ (medido da direcção do carro) e $v=15.6$ m/s. Verificar a convenção de ângulo.

$\boxed{v_f=\frac{m_2{v}_2}{(m_1+m_2)\sin \theta }=\frac{2500(20)}{4000\sin 52.1°}=15.6\text{ m/s}}$

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Ex. 5 — Carro + Barca (CM em repouso)

Enunciado

Carro (1500 kg) move-se 4 m/s para a esquerda relativo à barca (10000 kg). Sistema inicialmente em repouso. Determine o deslocamento da barca em $t=5$ s.

Resolução passo-a-passo

Sem forças externas horizontais → CM do sistema não se move: $m_c{v}_c+m_b{v}_b=0⟹1500v_c-10000v_b=0(1)$

Cinemática relativa: $v_c=v_b+v_{c/b}⟹v_c=v_b-4(2)$

Resolver: $v_b=0.522$ m/s $\boxed{\text{deslocamento barca em }t=5\text{ s}:s_b=0.522\times 5=2.61\text{ m}}$

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Semana 6 — Fenómenos Ondulatórios (Oscilações Amortecidas e Forçadas)

Temas desta semana

MHS, pêndulo físico, oscilador amortecido sub-crítico, amortecimento crítico, Lagrange, fator-Q.

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Ex. 1 — MHS: Placa Retangular com Barra de Torção

Enunciado

Placa ($a=0.2$ m, $b=0.3$ m, $m=10$ kg), barra com $k=1.5$ N·m/rad. Determine o período natural de vibração.

Resolução passo-a-passo

Equação: $-k\theta =I_O\ddot{\theta }⟹\ddot{\theta }+\frac{k}{I_O}\theta =0$

$I_O=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)=\frac{1}{12}(10)(0.04+0.09)=0.1083{\text{ kg⋅m}}^2$

$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{I_O}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0.1083}{1.5}}=1.69\text{ s}}$

Este exercício apareceu em 2023 e 2025 com valores idênticos. Sabe de cor.

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Ex. 2 — MHS: Arco Fino Suspenso em O (Pêndulo Físico)

Enunciado

Arco fino (anel), massa $m$, raio $r$, suspenso no ponto O (no cimo). Determine o período.

Resolução passo-a-passo

Usando o teorema de Huygens-Steiner: $I_O=m{r}^2+m{r}^2=2m{r}^2$

Método da energia: $T=m{r}^2{\dot{\theta }}^2,V=-mgr\cos \theta ⟹\ddot{\theta }+\frac{g}{2r}\sin \theta =0$

Pequenas amplitudes: ${\omega }_n=\sqrt{g/(2r)}$

$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{2r}{g}}}$

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Ex. 3 — Oscilador Amortecido (Sub-crítico)

Enunciado

$m=2$ kg, $k=8$ N/m, $b=1$ N·s/m. Em $t=0$: $x=0.1$ m, $\dot{x}=0$. Determine $x(t)$.

Resolução passo-a-passo

${\omega }_0=\sqrt{k/m}=2\text{ rad/s},d=b/(2m)=0.25\text{ rad/s}$ ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-d^2}=\sqrt{4-0.0625}=1.98\text{ rad/s}$

Solução geral: $x=e^{-0.25t}(A\sin 1.98t+B\cos 1.98t)$

Condições iniciais: $x(0)=0.1⟹B=0.1$ · $\dot{x}(0)=0⟹A=0.0126$

$\boxed{x(t)=e^{-0.25t}(0.0126\sin 1.98t+0.1\cos 1.98t)\text{ m}}$

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Ex. 4 — Berlinde em Disco Esférico (Método das Energias / Lagrange)

Enunciado

Berlinde raio $r$, $I=\frac{2}{5}m{r}^2$, disco esférico raio $R$. Rolamento sem deslizamento. Determine ${\omega }_n$ e o período.

Resolução passo-a-passo

Vínculo: $\varphi =\frac{(R-r)}{r}\theta$ e $\dot{\varphi }=\frac{(R-r)}{r}\dot{\theta }$

Energia cinética (translação + rotação): $K=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\dot{\varphi }}^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{7}{5}\right)(R-r{)}^2{\dot{\theta }}^2$

Energia potencial (pequenas amplitudes): $U=\frac{1}{2}mg(R-r){\theta }^2$

Forma harmónica: $E=\frac{1}{2}\alpha {\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}\beta {\theta }^2$ com $\omega =\sqrt{\beta /\alpha }$:

$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{5g}{7(R-r)}},T=2\pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}}$

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Ex. 5 — Pêndulo Físico (Perna como Barra)

Enunciado

Perna comprimento $L=90$ cm, $I=\frac{1}{3}m{L}^2$ (barra em torno da extremidade). (1) Período de oscilação. (2) Rapidez de caminhada.

Resolução passo-a-passo

(1) Período de oscilação: $T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}=2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}m{L}^2}{mg(L/2)}}=2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}=2\pi \sqrt{\frac{2(0.9)}{3(9.81)}}$ $\boxed{T=1.6\text{ s}}$

(2) Rapidez de caminhada (passo = 90 cm, um passo por meio período): $\boxed{v=\frac{d_{passo}}{T/2}=\frac{0.9}{0.8}=1.13\text{ m/s}=4.1\text{ km/h}}$

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Ex. 6 — Amortecimento Crítico com Impulso

Enunciado

$m=2.5$ kg, $k=600$ N/m. Impulso $v_i=1.5$ m/s em $t=0$, $x(0)=0$. (a) $b$ crítico. (b) Solução criticamente amortecida. (c) Deslocamento máximo.

Resolução passo-a-passo

(a) b crítico: $\boxed{b_c=\sqrt{4mk}=\sqrt{4\times 2.5\times 600}=77.5\text{ kg/s}}$

(b) Solução criticamente amortecida com CI $x(0)=0$, $\dot{x}(0)=v_i$: $x(t)=v_{i}t{e}^{-\gamma t/2},\gamma =b/m=77.5/2.5=31{\text{ s}}^{-1}$

(c) Deslocamento máximo (em $dx/dt=0$, ou seja $t=2/\gamma$): $t_{max}=\frac{2}{\gamma }=\frac{2\times 2.5}{77.5}=6.5\times 10^{-2}\text{ s}$ $\boxed{x_{max}=\frac{2m{v}_i}{eb}=\frac{2\times 2.5\times 1.5}{e\times 77.5}=3.6\times 10^{-2}\text{ m}}$

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Ex. 7 — Fator-Q (Guitarra)

Enunciado

Corda Mi, $f=330$ Hz. Intensidade cai factor 2 em $t=4$ s. (i) Tempo de decaimento. (ii) Fator de qualidade. (iii) Fração de energia perdida por ciclo.

Resolução passo-a-passo

Intensidade ∝ energia: $E(t)=E_0{e}^{-t/\tau }$

(i) Tempo de decaimento: $\boxed{\tau =\frac{t}{\ln (E_0/E(t))}=\frac{4}{\ln 2}=5.77\text{ s}}$

(ii) Fator de qualidade: $\boxed{Q={\omega }_0\tau =2\pi \times 330\times 5.77=1.2\times 10^4}$

(iii) Fração de energia perdida por ciclo: $\boxed{\frac{\Delta E}{E}=\frac{2\pi }{Q}=5.3\times 10^{-4}}$

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Exercícios para Fazer em Casa (Adicionais)

Semana	Ficheiro	Exercícios relevantes
S4	Exercícios Adicionais / Semana 4 / Aula_Pratica_Semana_4A_Correct.pdf	Todos
S5	Exercícios Adicionais / Semana 5 / Semana 5_v2_correct.pdf	Todos
S6	Exercícios Adicionais / Semana 6 / Semana 6_A_Correct.pdf	Ex. 1, 5, 6
S8	Exercícios Adicionais / Semana 8 / Semana 8A_CORRECT.pdf	Ex. 1, 5, 6
S9	Exercícios Adicionais / Semana 9 / Semana 9A_Correct.pdf	Ex. 5
S10	Exercícios Adicionais / Semana 10 / Semana 10A_Correct.rtf.pdf	Ex. 3

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Recursos

Ficheiros das aulas práticas

Exercícios adicionais organizados por semana na pasta Exercícios Adicionais / Semana X /. ← Guia de Estudo MO MAP2

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