Guia-Estudo-MO-MAP2

Guia de Estudo — MO MAP2

Parent project: Mecânica e Ondas Resumo teórico: Resumo MO MAP2

De onde vem este guia

Análise dos testes MAP2 de 2023 (Maio e Junho) e 2025 e dos tópicos confirmados pelo professor: Dinâmica Rotacional · Teorema Impulso-Momento Rotacional · Lagrange · Regime Forçado. O padrão repete-se de ano para ano — abaixo estão os moldes por tópico, com receitas de resolução e questões de prática.

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Estrutura do Teste (o molde que se repete)

Tópico	MAP2 2023 (Maio)	MAP2 2023 (Junho)	MAP2 2025	Probabilidade
Placa retangular / oscilador de torção	✅ I.1	—	✅ I.1	Quase certo
Impulso-Momento Linear (motocicleta / atrito)	✅ I.2	—	—	Provável
Centro de Massa (barca + objeto)	—	—	✅ I.2	Provável
Engrenagem / Relação de transmissão	—	✅ I.1	—	Moderado
Conservação L angular + órbita	—	✅ I.2	—	Moderado
Fator de qualidade Q / Largura de banda	✅ II.1	—	—	Provável
Lagrange (massa-mola)	—	✅ II.1	✅ II.1	Quase certo
Regime Forçado ($\zeta$, $r$, ${\omega }_m$, $X$)	—	—	✅ II.2	Quase certo
Oscilação amortecida (decaimento, $b$, vel. term.)	—	✅ II.2–II.3	—	Provável
Interferência de ondas sonoras	✅ II.2	—	—	Baixo

Quase garantido no teu teste

A placa retangular com barra de torção apareceu em 2023 E 2025 com enunciado IDÊNTICO ($k=1.5$ N·m/rad, $m=10$ kg, $a=0.2$ m, $b=0.3$ m → $T=1.69$ s). Sabe de cor.

O Lagrange da massa-mola apareceu em 2023 (Junho) e 2025. Espera também este ano.

O Regime Forçado (${\omega }_0$, $\zeta$, $r$, $X$) foi pedido em 2025 com valores concretos — alta probabilidade de repetir.

Estratégia global de tempo

Tópicos I (rotação + impulso) são mecânicos → garante-os primeiro. Lagrange e Regime Forçado pedem mais desenvolvimento → deixa tempo suficiente. Faz pelo menos 1 teste anterior cronometrado.

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Onde estudar — Ficheiros por tópico

Tópico	Ficheiro principal	Livro/Book
Dinâmica Rotacional	Semana 4 / 6-MO-Movimento rotacional.pdf	Book_MO_f13, f14, f15
Impulso-Momento Rotacional	Semana 3 / 5-MO-energia-CM-impulso.pdf + S4 slides	Book_MO_f9, f10, f11, f15
Lagrange	Semana 5 / 7_MO-Moviment planetario e MHS e Lagrangianos.pdf	Book_MO_f18
Regime Forçado	Semana 6 / 8-MO-Oscilacoes amortecidas e forcadas.pdf	Book_MO_f19, f20
Exercícios práticos	Resumo MO MAP2	Exercícios Adicionais S4, S5, S6

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Tópico 1 — Dinâmica Rotacional

O que é

Extensão da dinâmica de Newton para corpos rígidos em rotação. Cada grandeza linear tem um análogo rotacional.

Analogias linear–rotacional

Linear	Rotacional
posição $x$	ângulo $\phi$
velocidade $v$	velocidade angular $\omega =d\phi /dt$
aceleração $a$	aceleração angular $\alpha =d\omega /dt$
força $F$	binário/torque $\tau$
massa $m$	momento de inércia $I$
$F=ma$	$\tau =I\alpha$
$K=\frac{1}{2}m{v}^2$	$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Cinemática rotacional ( $\alpha$ constante)

$\omega (t)={\omega }_0+\alpha t$ $\phi (t)={\phi }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\phi -{\phi }_0)$

Relações linear–angular (ponto a raio $r$):

• Velocidade tangencial: $v=r\omega$
• Aceleração tangencial: $a_t=r\alpha$
• Aceleração centrípeta: $a_c=r{\omega }^2=v^2/r$

Momento de inércia $I$

$I=\int r^{2}dm={\int }_V\rho r^{2}dV$

Corpo	Eixo	$I$
Vara fina	Centro $\perp$	$\frac{1}{12}M{L}^2$
Vara fina	Extremidade $\perp$	$\frac{1}{3}M{L}^2$
Disco / Cilindro sólido	Eixo central	$\frac{1}{2}M{R}^2$
Anel (parede fina)	Eixo central	$M{R}^2$
Cilindro oco	Eixo central	$\frac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)$
Esfera sólida	Diâmetro	$\frac{2}{5}M{R}^2$
Casca esférica oca	Diâmetro	$\frac{2}{3}M{R}^2$
Placa retangular	Centro $\perp$	$\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$
Quadrado	Centro	$\frac{1}{6}M{a}^2$

Teoremas de eixos

Huygens-Steiner (eixos paralelos): $I_z=I_{cm}+M{d}^2$ $I_{cm}$ = momento em relação ao CM; $d$ = distância entre eixos.

Eixos perpendiculares (só lâminas planas): $I_z=I_x+I_y$

Lei fundamental da rotação e rolamento

${\tau }_{res}=I\alpha$ Rolamento sem deslizamento: $v_{cm}=R\omega$, $a_{cm}=R\alpha$ Energia total: $K=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2$

Dica de exame

Somar momentos em relação ao pivô elimina as reações de apoio e dá a solução mais directa para $\alpha$.

Receita A — Oscilador de Torção (Placa Retangular)

Tipo de enunciado

“Uma placa rectangular suspensa no centro por uma barra de torção constante $k$. Determine o período natural de vibração.”

Passos

1. Calcular $I_o$: para placa retangular em torno do CM → $I_o=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
2. Escrever equação de Newton rotacional: $\tau =I_o\ddot{\theta }$
3. Substituir torque restaurador: $-k\theta =I_o\ddot{\theta }$
4. Reorganizar em forma canónica de MHS: $\ddot{\theta }+\frac{k}{I_o}\theta =0\Rightarrow {\omega }_n^2=\frac{k}{I_o}$
5. Calcular $T=2\pi \sqrt{I_o/k}$

Resolução numérica do caso recorrente (2023 e 2025)

$I_o=\frac{1}{12}(10)\left[(0.2{)}^2+(0.3{)}^2\right]=\frac{10\times 0.13}{12}=0.1083{\text{kg⋅m}}^2$ ${\omega }_n=\sqrt{1.5/0.1083}=3.72\text{rad/s}$ $\boxed{T=2\pi \sqrt{0.1083/1.5}=2\pi \times 0.269=1.69\text{s}}$

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Tópico 2 — Teorema Impulso-Momento (Rotacional)

Impulso-Momento Linear (base)

$\vec{I}={\int }_{t_i}^{t_f}\vec{F}(t)dt=\Delta \vec{p}={\vec{p}}_f-{\vec{p}}_i$

Coeficiente de restituição: $e=|v_1^{\prime }-v_2^{\prime }|/|v_1-v_2|$ — ($e=1$ elástica, $e=0$ perfeitamente plástica)

Pêndulo balístico: $m{v}_1=(m+M)v_f$ → depois energia: $v_f^2/(2g)=h$

Regra das colisões

Em colisões instantâneas, as forças externas não impulsivas (gravidade, mola) são desprezáveis durante o impacto → conservação do momento linear. Nunca aplicar trabalho-energia durante o impacto — só antes e depois.

Momento Angular e Teorema Impulso-Momento Rotacional

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}\text{(partıˊcula)}L=I\omega \text{(corpo rıˊgido)}$ $\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{ext}$ ${\int }_{t_1}^{t_2}\tau dt=\Delta L=I{\omega }_f-I{\omega }_i$

Conservação do momento angular (se ${\tau }_{ext}=0$): $L=\text{constante}$

Exemplo: Roda sobre Obstáculo

Durante o impacto, a roda pivota sobre a aresta A — sem escorregamento → conservação de L em torno de A: $(H_A{)}_1=(H_A{)}_2$ $r^{\prime }m(v_G{)}_1+I_G{\omega }_1=rm(v_G{)}_2+I_G{\omega }_2$ Depois, usa conservação de energia para subir o degrau: $\frac{1}{2}{I}_A{\omega }_2^2=mg\cdot h$

Exemplo: Carrossel

Estudante caminha do rim ($R$) para raio $r$: $I_i{\omega }_i=I_f{\omega }_f$ $\left(\frac{1}{2}M{R}^2+m{R}^2\right){\omega }_i=\left(\frac{1}{2}M{R}^2+m{r}^2\right){\omega }_f$ Nota: a energia cinética aumenta — o trabalho vem dos músculos do estudante.

Receita B — Impulso-Momento Linear (Motocicleta / Atrito)

Tipo de enunciado

“Uma força de atrito age sobre um veículo durante $\Delta t$ segundos. Calcule o impulso e a velocidade resultante.”

Passos

1. Calcular a força de atrito: $F_{at}={\mu }_k{F}_N$
2. Calcular o impulso: $I=F_{at}\cdot \Delta t$
3. Aplicar Teorema Impulso-Momento: $I=\Delta p=m{v}_f-m{v}_i$
4. Resolver para $v_f=\frac{I}{m}+v_i$

Exemplo (2023/2024): ${\mu }_k=0.8$, $F_N=1100$ N, $M=210$ kg, $\Delta t=5$ s

Impulso da roda: $I_{roda}=0.8\times 1100\times 5=4400\text{N⋅s}$

Para a velocidade da mota (usa peso total no impulso de propulsão): $I_x={\mu }_k\times Mg\times \Delta t=0.8\times 2061\times 5=8244\text{N⋅s}$

$\boxed{v=8244/210=39.3\text{m/s}\approx 141\text{km/h}}$

Receita C — Centro de Massa Fixo (Barca + Carro)

Tipo de enunciado

“Um carro move-se sobre uma barca (sem atrito com a água). Determine o deslocamento da barca.”

Passos

1. Reconhecer: sem forças externas horizontais → CM do sistema permanece fixo
2. Escrever: $m\Delta x_{carro}^{solo}+M\Delta x_{barca}^{solo}=0$
3. Relacionar com o deslocamento relativo (carro percorre $L$ sobre a barca): $\Delta x_{carro}^{solo}=-L+d(d=\text{deslocamento da barca})$
4. Substituir e resolver: $m(-L+d)+Md=0\Rightarrow \boxed{d=\frac{mL}{m+M}}$

Exemplo (2025): $m=1500$ kg, $M=10000$ kg, $L=20$ m

$\boxed{d=\frac{1500\times 20}{1500+10000}=\frac{30000}{11500}\approx 2.61\text{m}}$

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Tópico 3 — Mecânica de Lagrange

O que é

Reformulação da mecânica que usa coordenadas generalizadas em vez de forças. Mais poderosa para sistemas com vínculos (constraints).

Conceitos fundamentais

• Graus de liberdade (g.l.): $\text{g.l.}=n-m$ (n = nº coords, m = nº vínculos)
• Coordenadas generalizadas $q_i$: quaisquer parâmetros independentes (ângulos, comprimentos, …)
• Lagrangiano: $\mathcal{L}=K-U$
• Ação: $S=\int \mathcal{L}dt$
• Princípio de Hamilton: a trajetória real é aquela que extremiza a ação $S$.

Equação de Euler-Lagrange

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0$ Uma equação por cada grau de liberdade.

Momento generalizado e Hamiltoniano

$p_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_i}H={\sum }_i{p}_i{\dot{q}}_i-\mathcal{L}=E$

Receita D — Lagrange (Massa-Mola Vertical ou Pêndulo)

Tipo de enunciado

“Determine o Lagrangiano e a equação de movimento por Euler-Lagrange. Qual a frequência natural?”

Passos

1. Escolher coordenada generalizada $q$ (ex: $x$ = deslocamento desde equilíbrio, $\theta$ = ângulo)
2. Escrever $K$ em função de $\dot{q}$
3. Escrever $U$ em função de $q$ (medir desde equilíbrio elimina a gravidade automaticamente)
4. Calcular $\mathcal{L}=K-U$
5. Aplicar EL: $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0$
6. Extrair ${\omega }_n$ da equação resultante ($\ddot{q}+{\omega }_n^{2}q=0$)

Massa-mola 1D

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$

EL: $m\ddot{x}+kx=0$ ✓

Pêndulo simples (coord. $\theta$, comprimento $L$)

$K=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2$, $U=-mgL\cos \theta$

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2+mgL\cos \theta$

EL: $\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0$

Pequenas oscilações: ${\omega }_0=\sqrt{g/L}$, $T=2\pi \sqrt{L/g}$

Berlinde numa taça esférica (raio $R$, berlinde raio $r$)

Com vínculo de rolamento e $I=\frac{2}{5}m{r}^2$: $\boxed{\omega =\sqrt{\frac{5g}{7(R-r)}},T=2\pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}}$

Massa-mola vertical (2025)

$q=x$ desde equilíbrio: $K=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$, $U=\frac{1}{2}k{x}^2$

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$

EL: $m\ddot{x}+kx=0\Rightarrow {\omega }_n=\sqrt{k/m},T=2\pi \sqrt{m/k}$

Armadilha — coordenada desde posição natural da mola

Se medir $x$ desde a posição natural (não desde equilíbrio), aparecem termos $mgx$ em $U$. Nesse caso $U=\frac{1}{2}k{x}^2-mgx$ e a EL ainda dá $m\ddot{x}+kx=mg$ → equilíbrio em $x=mg/k$, mas ${\omega }_n$ é o mesmo. Mais fácil: medir sempre desde o equilíbrio.

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Tópico 4 — Regime Forçado

Oscilações amortecidas (sem forçamento)

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$ Com ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ e $\gamma =b/m$:

Regime	Condição	Solução
Sub-amortecido	$\gamma <2{\omega }_0$	$x=A{e}^{-\gamma t/2}\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi )$
Criticamente amortecido	$\gamma =2{\omega }_0$	$x=(A+Bt)e^{-\gamma t/2}$
Super-amortecido	$\gamma >2{\omega }_0$	$x=A_1{e}^{-{\alpha }_{1}t}+A_2{e}^{-{\alpha }_{2}t}$

${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2/4}({\omega }^{\prime }<{\omega }_0)$ $b_c=2\sqrt{km}\text{(amortecimento crıˊtico — retorno mais raˊpido sem oscilar)}$

Energia e fator de qualidade Q

$E(t)=E_0{e}^{-\gamma t},\tau =\frac{1}{\gamma }=\frac{m}{b}$ $\boxed{Q={\omega }_0\tau =\frac{{\omega }_0}{\gamma }=\frac{{\omega }_{0}m}{b}}$

• Q grande → oscilações duram muito, pouca dissipação
• Q pequeno → amortecimento rápido

Oscilações forçadas — Regime Estacionário

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=f_0\cos (\omega t)$ Solução estacionária (transitório extinto): $x(t)=x_0\cos (\omega t+\theta )$ $\boxed{x_0=\frac{f_0}{\sqrt{(k-m{\omega }^2{)}^2+(b\omega {)}^2}}}$ $\boxed{\tan \theta =\frac{-b\omega }{k-m{\omega }^2}}$

Ressonância e tabela de fases

${\omega }_m=\sqrt{{\omega }_0^2-\frac{b^2}{2m^2}}\text{(ressonaˆncia em amplitude)}$ Ressonância em velocidade/potência ocorre sempre em $\omega ={\omega }_0$, independentemente do amortecimento.

Frequência	Fase $\theta$	Amplitude	Controla
$\omega \ll {\omega }_0$	≈ 0°	$f_0/k$	Mola
$\omega ={\omega }_0$	−90°	$f_0/(b{\omega }_0)$	Amortecimento
$\omega \gg {\omega }_0$	−180°	$f_0/(m{\omega }^2)$	Massa

Impedância mecânica e potência média

$Z=b+i\left(m\omega -\frac{k}{\omega }\right)$ $v_0=\frac{f_0}{\sqrt{b^2+(m\omega -k/\omega {)}^2}}\text{(maˊxima em }\omega ={\omega }_0\text{)}$ $P_{avg}=\frac{f_0^2}{2m}\cdot \frac{2{\omega }^2\lambda }{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\lambda \omega {)}^2},\lambda =\frac{b}{2m}$ Largura a meia potência: $2\Delta {\omega }_{1/2}=\gamma =1/\tau$ $Q=\frac{{\omega }_0}{2\Delta {\omega }_{1/2}}=\frac{\text{frequeˆncia ressonante}}{\text{largura de banda}}$

Receita E — Regime Forçado (${\omega }_0$, $\zeta$, $r$, ${\omega }_m$, $X$)

Tipo de enunciado

“Dado $m$, $b$, $k$ e $F(t)=f_0\cos (\omega t)$: calcule ${\omega }_0$, ${\delta }_{st}$, $\zeta$, $r$. Determine ${\omega }_m$ e a amplitude estacionária $X(\omega )$.”

Passos

1. Parâmetros base: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}},{\delta }_{st}=\frac{f_0}{k},\zeta =\frac{b}{2\sqrt{km}},r=\frac{\omega }{{\omega }_0}$

2. Frequência de ressonância em amplitude: ${\omega }_m={\omega }_0\sqrt{1-2{\zeta }^2}\text{(soˊ existe se }\zeta <1/\sqrt{2}\approx 0.707\text{)}$ Se $\zeta \ge 0.707$: não há pico — amplitude decresce monotonicamente com $\omega$.

3. Amplitude estacionária: $X(\omega )=\frac{{\delta }_{st}}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$

Exemplo numérico (2025): $m=2$ kg, $b=200$ N·s/m, $k=10000$ N/m, $f_0=500$ N, $f=0.5$ Hz

${\omega }_0=\sqrt{10000/2}=70.7\text{rad/s}{\delta }_{st}=500/10000=0.05\text{m}$ $\zeta =200/(2\sqrt{10000\times 2})=200/282.8=0.707\omega =2\pi \times 0.5=\pi \text{rad/s};r=\pi /70.7=0.044$ $\zeta =0.707\Rightarrow 2{\zeta }^2=1\Rightarrow$ sem pico de ressonância (${\omega }_m$ não existe)

$\boxed{X\approx {\delta }_{st}/\sqrt{(1-0{)}^2+(0{)}^2}\approx 5\text{cm}}\text{(regime quasi-estaˊtico, }\omega \ll {\omega }_0\text{)}$

Receita F — Fator de Qualidade Q

Tipo de enunciado

“Dado ${\omega }_0$ e largura a meia-potência $\Delta \omega$. Calcule $Q$, energia armazenada, ${\omega }_0$ para $Q$ alvo.”

Grandeza	Fórmula
Fator Q	$Q=\frac{{\omega }_0}{2(\Delta \omega {)}_{1/2}}=\frac{{\omega }_0}{\gamma }$
Energia armazenada	$E=\frac{Q\cdot \Delta E}{2\pi }$
Tipo de ressonância	Q > 10 → estreita (seletiva); Q < 5 → ampla (dissipativa)
${\omega }_0$ para atingir $Q$ alvo	${\omega }_0=2(\Delta \omega {)}_{1/2}\cdot Q_{alvo}$

Exemplo (2023/2024): ${\omega }_0=10$ rad/s, $(\Delta \omega {)}_{1/2}=2$ rad/s

$Q=10/(2\times 2)=2.5\text{→ ressonaˆncia ampla (dissipa muito por ciclo)}$ Para $\Delta E=100$ J: $E=(2.5\times 100)/(2\pi )=39.8\text{J}$

Para $Q=100$: ${\omega }_0=2\times 2\times 100=400\text{rad/s}$

Receita G — Oscilação Amortecida ($b$ e Decaimento de Amplitude)

Tipo de enunciado

“Qual é $b$ dada a velocidade terminal? Em que instante $t_1$ a amplitude cai para metade?”

Passos

1. Velocidade terminal → b: aceleração nula em $v_t$: $mg-b{v}_t=0\Rightarrow b=mg/v_t$
2. Decaimento de amplitude ($A(t)=A_0{e}^{-\gamma t/2}$, com $\gamma =b/m$): $\frac{A(t_1)}{A_0}=e^{-\gamma t_1/2}\Rightarrow t_1=\frac{2\ln (A_0/A_1)}{\gamma }$

Exemplo (2023 Junho): $m=3$ kg, $v_t=25$ m/s, $A_0=20$ cm → $A_1=10$ cm

$b=3\times 9.8/25=1.176\text{kg/s}$; $\gamma =1.176/3=0.392{\text{s}}^{-1}$

$\boxed{t_1=2\ln (20/10)/0.392=2\ln 2/0.392=3.6\text{s}}$

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Questões de Prática

Como usar

Tenta resolver cada questão antes de ver a solução. Escreve os passos no papel — simula o teste.

P1 — Oscilador de Torção (variação da placa recorrente)

Enunciado

Uma vara fina de massa $M=5$ kg e comprimento $L=0.6$ m está suspensa no seu ponto médio por uma mola de torção $k=2$ N·m/rad. O eixo de rotação é perpendicular à vara.

(a) Qual é o momento de inércia em relação ao eixo de suspensão? (b) Determine ${\omega }_n$ e $T$. (c) Se deslocada de ${\theta }_0=5°$ e solta em repouso, escreve $\theta (t)$.

Resolução passo-a-passo

(a) Vara, eixo no centro, $\perp$: $I=\frac{1}{12}M{L}^2=\frac{5\times 0.36}{12}=0.15{\text{kg⋅m}}^2$

(b) ${\omega }_n=\sqrt{2/0.15}=3.65\text{rad/s}\boxed{T=2\pi /3.65=1.72\text{s}}$

(c) ${\theta }_0=5°=0.0873\text{rad}$ $\boxed{\theta (t)=0.0873\cos (3.65t)\text{rad}}$

P2 — Centro de Massa (variação da barca)

Enunciado

Uma pessoa de 70 kg está numa canoa de 130 kg que repousa em água parada (sem atrito). A canoa tem 4 m de comprimento. A pessoa caminha do fundo para a proa (percorre 4 m relativamente à canoa).

(a) Qual é o deslocamento da canoa em relação à água? (b) Qual é o deslocamento da pessoa em relação à água?

Resolução passo-a-passo

(a) $d_{canoa}=\frac{mL}{m+M}=\frac{70\times 4}{70+130}=\frac{280}{200}=\boxed{1.4\text{m}}\text{(para traˊs)}$

(b) $\boxed{\Delta x_{pessoa}^{solo}=-4+1.4=-2.6\text{m}}\text{(para a frente, 2.6 m em relac¸a˜o aˋ aˊgua)}$

P3 — Lagrange: Pêndulo Simples

Enunciado

Pêndulo de comprimento $L=0.5$ m, massa $m=0.3$ kg, oscilações pequenas.

(a) Escreve $\mathcal{L}$ com coordenada generalizada $\theta$. (b) Aplica EL e obtém a equação de movimento. (c) ${\omega }_0$, $T$, e momento generalizado conjugado a $\theta$?

Resolução passo-a-passo

(a) $K=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2$; $U=-mgL\cos \theta$ $\mathcal{L}=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2+mgL\cos \theta$

(b) $\frac{d}{dt}(m{L}^2\dot{\theta })+mgL\sin \theta =0$

Pequenas oscilações $(\sin \theta \approx \theta )$: $\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\theta =0$

(c) ${\omega }_0=\sqrt{9.8/0.5}=4.43\text{rad/s}\boxed{T=1.42\text{s}}$ $p_{\theta }=\partial \mathcal{L}/\partial \dot{\theta }=m{L}^2\dot{\theta }$ = momento angular em relação ao pivô

P4 — Regime Forçado Completo

Enunciado

Sistema: $m=1$ kg, $k=100$ N/m, $b=4$ N·s/m, $F(t)=20\cos (\omega t)$ N.

(a) Calcula ${\omega }_0$, $\zeta$, e $b_c$. (b) Existe pico de ressonância em amplitude? Calcula ${\omega }_m$ se existir. (c) Para $\omega ={\omega }_0$, qual é a amplitude $X$ e a fase $\theta$? (d) Para $\omega =2$ rad/s, calcula $X$ usando a fórmula completa.

Resolução passo-a-passo

(a) ${\omega }_0=\sqrt{100/1}=10\text{rad/s}\zeta =4/(2\sqrt{100})=0.2b_c=2\sqrt{100}=20\text{N⋅s/m}$

(b) $\zeta =0.2<0.707$ → existe pico $\boxed{{\omega }_m=10\sqrt{1-2(0.04)}=10\sqrt{0.92}=9.59\text{rad/s}}$

(c) Em $\omega ={\omega }_0$ ($r=1$): $\boxed{X=f_0/(b{\omega }_0)=20/(4\times 10)=0.5\text{m}\theta =-90°}$

(d) ${\delta }_{st}=0.2\text{m}$; $r=2/10=0.2$ $\boxed{X=\frac{0.2}{\sqrt{(1-0.04{)}^2+(2\times 0.2\times 0.2{)}^2}}=\frac{0.2}{\sqrt{0.9216+0.0064}}=\frac{0.2}{0.963}=0.208\text{m}}$

P5 — Fator Q: Energia e Largura de Banda

Enunciado

Sistema vibrante com ${\omega }_0=50$ rad/s e $b=0.5$ N·s/m, $m=1$ kg.

(a) Calcula $\gamma$, $\tau$, $Q$ e $(\Delta \omega {)}_{1/2}$. (b) Ressonância estreita ou ampla? Justifica. (c) Energia inicial $E_0=200$ J. Qual a energia após 3 períodos?

Resolução passo-a-passo

(a) $\gamma =b/m=0.5{\text{s}}^{-1}\tau =2\text{s}Q={\omega }_0\tau =100$ $(\Delta \omega {)}_{1/2}=\gamma /2=0.25\text{rad/s}\text{(meia-largura)}$

(b) $Q=100\gg 10$ → estreita e seletiva — armazena energia eficientemente

(c) $T=2\pi /50=0.1257\text{s}$; $t=3T=0.377\text{s}$ $\boxed{E=200e^{-0.5\times 0.377}=200\times 0.828=165.6\text{J}}$

P6 — Amortecimento: Velocidade Terminal + Tempo de Decaimento

Enunciado

Esfera de $m=2$ kg, força resistiva $F=-b\dot{x}$, velocidade terminal $v_t=40$ m/s.

(a) Qual é $b$? (b) A esfera está presa a mola $k=80$ N/m, amplitude inicial 15 cm. Após quanto tempo a amplitude é 5 cm? (c) O sistema é sub ou super-amortecido?

Resolução passo-a-passo

(a) $\boxed{b=mg/v_t=2\times 9.8/40=0.49\text{kg/s}}$

(b) $\gamma =b/m=0.245{\text{s}}^{-1}$ $\boxed{t_1=\frac{2\ln (15/5)}{0.245}=\frac{2\ln 3}{0.245}=\frac{2.197}{0.245}=8.97\text{s}}$

(c) $b_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{80\times 2}=25.3\text{N⋅s/m}$ $\boxed{b=0.49\ll b_c\Rightarrow \text{fortemente sub-amortecido}}\text{(oscila muitos ciclos antes de parar)}$

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Padrões Recorrentes

Lista de "aparece quase sempre"

1. Placa retangular com barra de torção → $I_o=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$, $T=2\pi \sqrt{I_o/k}$ — aparece em 2023 e 2025 com valores idênticos.
2. Lagrange massa-mola → mede desde equilíbrio, elimina gravidade, extrai ${\omega }_n$.
3. Regime forçado → sequência ${\omega }_0\to {\delta }_{st}\to \zeta \to r\to {\omega }_m\to X(\omega )$.
4. Impulso-Momento rotacional (roda sobre obstáculo) → conserva L em torno da aresta durante o impacto, depois energia para subir.
5. CM fixo (barca) → $d=mL/(m+M)$.
6. Fator Q → $Q={\omega }_0\tau ={\omega }_0/(2\Delta \omega )$.

Erros a evitar

• Aplicar trabalho-energia durante o impacto (usar impulso-momento nessa fase).
• Esquecer o Jacobiano/fator de Huygens-Steiner ao mudar de eixo.
• Medir coordenada de Lagrange desde a posição natural da mola em vez do equilíbrio.
• Calcular ${\omega }_m$ quando $\zeta \ge 0.707$ — não existe pico.
• Confundir largura a meia-potência $\Delta {\omega }_{1/2}$ (meia-largura) com $2\Delta {\omega }_{1/2}$ (largura total).
• Esquecer que ressonância de velocidade/potência é sempre em $\omega ={\omega }_0$, não em ${\omega }_m$.

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Plano de Estudo Sugerido

Roteiro

1. Dinâmica Rotacional → slides S4, exercícios adicionais S4
2. Impulso-Momento Rotacional → slides S3+S4, ex. roda sobre obstáculo (S5, Ex.7)
3. Lagrange → slides S5, derivar EL para pêndulo e massa-mola
4. Regime Forçado → slides S6, focar amplitude/fase/ressonância/Q
5. Testes anteriores → Teste_e_Exames_de_MO_e_EO.pdf na raiz da pasta MO
6. Refaz 1 teste completo cronometrado por dia nos últimos dias

Checklist final — O que Saber de Cor

• $I_o$ para todos os corpos: disco $\frac{1}{2}M{R}^2$, vara $\frac{1}{12}M{L}^2$, esfera $\frac{2}{5}M{R}^2$, placa $\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$
• Placa retangular com barra de torção → resolve de cor ($k=1.5$, $m=10$, $a=0.2$, $b=0.3$ → $T=1.69$ s)
• Impulso-Momento: $F\Delta t=\Delta p$ linear · $\tau \Delta t=\Delta L$ rotacional
• CM fixo (barca): $d=mL/(m+M)$
• Lagrange: escreve $\mathcal{L}=K-U$, aplica EL, extrai ${\omega }_n$
• Regime forçado: sabe calcular ${\omega }_0,{\delta }_{st},\zeta ,r,{\omega }_m,X(\omega )$ em sequência
• Q: $Q={\omega }_0/(2\Delta \omega )$ · $E=Q\Delta E/(2\pi )$ · estreita Q>10 / ampla Q<5
• Amortecimento: $b=mg/v_t$ · $t_1=2\ln (A_0/A_1)/\gamma$

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Recursos

Ficheiros de estudo

Testes anteriores: Teste_e_Exames_de_MO_e_EO.pdf na raiz da pasta MO. Exercícios adicionais: Exercícios Adicionais / Semana X / (S4, S5, S6, S8, S9, S10). Resumo MO MAP2 — exercícios práticos S4–S6 com resoluções completas. Rever em particular: track car e taco de golfe (problemas adicionais S4–S6).

Notas relacionadas (Dataview)

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Recém-modificadas (DataviewJS)

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